Introducci n

1. Introducción Matemática Básica BANRURAL

2. ¿Por qué estudiar Matemática? Desarrolla un pensamiento lógico y esquematizado. Herramienta para la solución de problemas y el análisis de distintas situaciones. Herramienta Fundamental en Ingeniería. Lenguaje de la ciencia. Estudios de postgrado pueden requerir un buen nivel de análisis matemático. Como medirían los resultados de una buena administración?Como medirían los resultados de una buena administración?

3. Recordatorio Ideas Generales

4. ¿Qué es un número? El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. En otras palabras, numeral es el símbolo para la idea llamada número. Es decir, el número es la idea en la que pensamos cuando vemos o escuchamos el numeral. (conjunto) Dos metros, no pensamos en cantidad sino en medida, dimesiones, tamaño. Dos metros, no pensamos en cantidad sino en medida, dimesiones, tamaño.

5. ¿Qué es un número? Los números se usan con mucha frecuencia como: Etiquetas (números de teléfono, numeración de carreteras) Indicadores de orden (números de serie) Códigos (ISBN) Medida Cantidad Estadísticas Un número es una representación. En matemática, la definición de número se extiende para incluir abstracciones tales como números racionales, negativos, irracionales, reales, complejos, etc. La velocidad de la luz en el vacío es por definición una constante universal de valor 299.792.458 m/s (aproximadamente 300.000 km/s). La velocidad del sonido en el aire (a una temperatura de 20 ºC) es de 340 m/s La velocidad de la luz en el vacío es por definición una constante universal de valor 299.792.458 m/s (aproximadamente 300.000 km/s). La velocidad del sonido en el aire (a una temperatura de 20 ºC) es de 340 m/s

6. Conjuntos Numéricos

7. Números Naturales Problema: Contar objetos de la naturaleza. Un número natural es cualquiera de los números del conjunto N={1,2,3...} que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Notación: Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar. NOTA: Los números arábigos, son los símbolos que se usan para representar números. Se les llama “arábigos” solo por que los árabes los introdujeron en Europa, pero en realidad son una invención de los hindúes. Los tres puntos en los conjuntos reciben el nombre de elipsis. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar.Los tres puntos en los conjuntos reciben el nombre de elipsis. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar.

8. Números Naturales Los números naturales no son mas que conjuntos de símbolos. Y se construyen de las siguiente forma. ¿Que podemos hacer con los números naturales? Sumar. Restar. Multiplicar. Construcción de Números NaturalesConstrucción de Números Naturales

9. Números Enteros Problema: Hacer posible la resta en todos los casos. Medición de magnitudes relativas: ganancia/perdida, altitud, temperatura, etc. Los números enteros son el conjunto de números Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3...}. Incluyen: Enteros positivos: los naturales junto con el 0. Enteros negativos. Notación:

10. Números Racionales Problema: Necesidad de medir magnitudes continuas, tales como longitud, volumen, peso, etc. Resolver la ecuación ax = b, donde a,b son enteros. Un número racional es un número que se puede expresar como el cociente de dos enteros. Formalmente: Hacer el problema de medir un terreno con la almohadilla del pizarron… El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Hacer el problema de medir un terreno con la almohadilla del pizarron… El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales.

11. Números Racionales Recordatorio: Suma en Q: Multiplicación en Q: División en Q: Hacer ejemplos en donde igualamos los denominadores para sumar mas fácil. Hacer ejemplos en donde igualamos los denominadores para sumar mas fácil.

12. Números Racionales NOTA: Los racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos: Exacta: La parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo: 8/5 = 1.6 Periódica pura: Toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo: 1/7 = 0.142857142857... Periódica mixta: No toda la parte decimal se repite. Ejemplo: 1/60 = 0.0166...

13. Números Irracionales Problema: Teorema de Pitágoras. Relación de la circunferencia al diámetro. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo, puede definirse número irracional como decimal infinito no periódico. Notación: Algunos decimales no entran en las tres categorías enunciadas anteriormente --- estos son los irracionales. Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Fue Pitagoras con su teorema que quien los descubrio. Algunos decimales no entran en las tres categorías enunciadas anteriormente --- estos son los irracionales. Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Fue Pitagoras con su teorema que quien los descubrio.

14. Números Irracionales Algunos números irracionales: p (Pi) (3.1415926535…) ? (2.7182818284…) Los números irracionales se clasifican en dos tipos: 1.- Irracionales algebraicos: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica: x2 - x - 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico. 2.- Irracionales trascendentes: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:Los números irracionales se clasifican en dos tipos: 1.- Irracionales algebraicos: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica: x2 - x - 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico.

15. Números Reales La unión del conjunto de los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales. Notación:

17. Ejercicio 1 Dado el siguiente conjunto: A = [-3, 4/3, 0.12, v2, p, 2.15,10] Enumere los números que son naturales, enteros, racionales, irracionales, reales.

18. Números Reales

19. Adición o Suma Conmutativa. Asociativa. Identidad. Inverso.

20. Producto o Multiplicación Conmutativa. Asociativa. Identidad. Inverso.

21. Propiedad Distributiva La multiplicación es distributiva sobre la adición.

22. Ejemplo Si p, q, R y S denotan números reales demuestre que: (p + q)(r + s) = pr + ps + qr + qs

23. Propiedades de Igualdad Si a = b y c es cualquier numero real, Entonces: a + c = b + c 2. ac = bc

24. Productos “0”

25. Propiedades de los Negativos - ( -a ) = a (- a ) b = - (ab) = a(-b) (- a )( - b ) = ab ( - 1 )a = - a

26. Definición de Resta y División Resta: División:

27. La Recta de Números Reales Los números reales se representan por puntos en una recta llamada la recta numérica. Existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos en una recta.

28. Símbolos de Desigualdad Definición de > Definición de < Definición de = Definición de =

29. Ejercicio 2 Utilizar la recta de números reales para graficar los siguientes conjuntos:

30. Valor Absoluto El valor absoluto de un número x se define como la distancia del origen a x en la recta real. ¿A qué distancia está 3 del origen? 3 unidades, es decir su valor absoluto es 3. ¿A qué distancia está -8 del origen? 8 unidades, es decir su valor absoluto es 8.

31. Valor Absoluto Si x es un número real, el valor absoluto de x denotado por |x| se define formalmente como:

32. Ejercicio 3

33. Distancia entre dos puntos sobre la recta real Si P y Q son dos puntos en la recta real con coordenadas a y b respectivamente, entonces: NOTAR QUE:

34. Ejercicio 3 Sean P, Q y R puntos en una recta de números reales con coordenadas -5, 7 y -3 encontrar:

35. Intervalos Conjuntos de números reales, que geométricamente corresponden a segmentos de recta.

37. Ejemplo Exprese el intervalo en términos de desigualdades y grafíquelos.

38. Exponentesy Radicales

39. Exponentes

40. Exponentes Notación Exponencial: an = a a a a a … a a a a a (n veces)

41. Propiedades de los Exponentes Hay que hablar de algunas que se derivan de estasHay que hablar de algunas que se derivan de estas

44. Ejercicio

45. Radicales

46. Radicales ¿Que significa?

47. Propiedades de los Radicales Hay que hablar de algunas que se derivan de estasHay que hablar de algunas que se derivan de estas

48. Ejemplos

49. Exponentes Racionales Para cualquier exponente racional

50. Ejemplo Regresemos a el ejercicio que nos causo hace unos momentos.

51. Racionalización

52. Racionalización Ejemplos:

53. Expresiones Algebraicas

54. Monomio Un monomio en una variable es el producto de una constante por una variable elevada a una potencia entera no negativa, tiene la forma:

55. Ejemplos ¿Es o no un monomio?

56. Polinomio Un polinomio en una variable es una expresión algebraica de la forma:

57. ¿Es o no un polinomio? Si lo es, encuentre el conjunto de coeficientes y el grado.

58. Operaciones entre Polinomios Suma y resta de Polinomios Suma Horizontal: agrupar los términos semejantes. Suma Vertical: alinear verticalmente los términos semejantes.

59. Ejemplo: Dado los polinomios: Encontrar:

60. Multiplicación de Polinomios Los productos de polinomios se encuentran mediante el uso repetido de: Propiedad Distributiva Leyes de Exponentes

61. Ejemplo Dados los siguientes polinomios: Encontrar:

62. Productos Notables Son productos que aparecen con mucha frecuencia en álgebra.

63. Productos Notables:

64. Ejemplos Efectuar el producto:

65. Factorizacion

66. ¿Qué es factorizar? Factorizar es el proceso mediante el cual se encuentran los factores de un polinomio. Si un polinomio no se puede escribir como el producto de otros polinomios (excepto 1 o -1), entonces se dice que este es un Polinomio primo. Cuando un polinomio se escribe como un producto que consiste en sólo factores primos, se dice que está completamente factorizado.

67. Paso 1 Buscar monomios que sean factores comunes, esto es, utilice la distributividad. Ejemplos:

68. Paso 2 Si es posible, utilice alguno de los productos notables vistos anteriormente. Ejemplos:

69. Paso 3 Factorización de trinomios de la forma: Ejemplos:

70. Paso 4 Finalmente, factorizar por agrupación de términos. Ejemplos:

71. Division de polinomios

72. Ilustración El procedimiento para dividir polinomios es similar al procedimiento de dividir 2 enteros. Ejemplo: Dividir 872 entre 5

73. Ejemplo 1 Encuentre el cociente y el residuo de:

74. Ejemplo 2 Encuentre el cociente y el residuo de:

75. Expresiones racionales

76. Definición Una expresión racional es el cociente de dos polinomios. Ejemplo:

77. Ejemplo 1 Simplifique la expresión racional dada:

78. Multiplicación de Expresiones Racionales Mismas reglas que con números racionales:

79. Ejemplo 2 Simplificar:

80. Suma y Resta de Expresiones Racionales Mismas reglas que con números racionales:

81. Ejemplo 3 Simplificar:

82. Mínimo Común Múltiplo Si los denominadores de dos expresiones racionales que se van a sumar o restar tienen factores comunes, se aplica el MCM. Factorizar completamente el polinomio de los denominadores. El MCM del denominador es el producto de cada uno de estos factores elevados a una potencia igual al mayor número de veces que cada factor aparece en los polinomios. Escribir cada expresión racional usando el MCM como denominador común. Operar.

83. Ejemplo 4: Simplificar:

84. Cocientes mixtos Cuando aparecen sumas de expresiones racionales en el numerador o denominador de un cociente, este se llama cociente mixto o fracción compleja.

85. Ejemplo 5: Simplificar:

86. Ecuaciones

87. Introducción ¿Qué es una ecuación? Es una proposición abierta que involucra una relación de equivalencia y que no se cumple para cualquier valor de la(s) variable(s).

88. Ecuaciones Lineales Forma General:

89. Solución de Algunas Ecuaciones

90. Ecuaciones Cuadráticas Forma General:

91. Solución de Algunas Ecuaciones

92. Formula Cuadrática

93. Aplicaciones de las Ecuaciones Ing. Roberto Portillo

95. Ejemplo 1 En un curso de matemática, un estudiante obtiene calificaciones de 64 y 78. ¿Qué calificación en el 3er examen le dará un promedio de 90?

96. Ejemplo 2 Mary hereda $100,000.00 y los invierte en dos certificados de deposito. Un certificado paga 6% y el otro 4.5% anual de interés simple. Si el interés total es de $5,025.00 al año, ¿Cuánto dinero esta invertido a cada una de las tasas?