§ 5.5 ARMA 时序分析法

差分形式的 ARMA模型时移算子形式的ARMA模型 Z变换形式的ARMA模型模态参数 ARMA 系数 ARMR模型阶次差分形式的ARMA模型： (5.5-1) 反映系统特性反映系统特性自回归系数滑动平均系数 §5.5 ARMA时序分析法 ARMA法的基本思想：强迫振动方程一、ARMA模型对确定性系统，系统输入输出有以下关系：

bl＝0 al＝0 (5.5-3) MA模型 AR模型 (5.5-5) 定义时移算子Dl为：则时移算子形式的ARMA模型： (5.5-6) 式中算子a(D)和b(D)为 (5.5-7) 或写成 (5.5-2)

(1.2-1) 作差分 ARMA(2,0)模型 (5.5-8) 式中除t外，只与m、 c、k有关 (5.5-9) 二、强迫振动方程与ARMA模型的等价关系 1．单自由度系统

(1.4-38) 对某坐标x： (5.5-10) (5.5-11) ARMA(2n,2n-2)模型 (5.5-12) 时间序列xk的拉氏变换： 2．多自由度系统三、传递函数与ARMA模型的等价关系 1．Z变换

xk的Z变换： (5.5-15) 时移性质： (5.5-16) 可证： (5.5-17) 为Z变换因子记为 (5.5-14) Z变换将序列xk从时域变换到z平面，z为复数。Z变换与拉氏变换完全等价，具有相同的性质，如线性性质、位移定理、时移性质、卷积定理、初值定理、终值定理等。

(5.5-6) 时移算子形式的ARMA模型：作Z变换，并考虑式 (5.5-18) Z变换形式的ARMA模型：式中 p＝2n， q＝2n－2 Z变换形式的传递函数： (5.5-20) 2．传递函数与ARMA模型的等价关系

2n个共轭复根zi 2n个复频率si (5.5-23) 各阶模态的留数： nDOF系统的ARMA模型： (5.5-24) 令 (5.5-21) ARMA模型的特征方程：四、估算模态参数 1．估算ARMA模型的系数al和bl

式中 (5.5-26) {pk}、{}∈R4n－1 (5.5-27) 令起始采样点号k＝0,1,2,…, m (5.5-28) 式中 ∈Rm+1 (5.5-29) ∈R(m+1)×(4n－1) (5.5-30) 在采样点k＋2n处 (5.5-25)

(5.5-21) ARMA模型的特征方程： 2n个共轭复根zi mdi、mi、mi、mi LSE 实际测得 (5.5-33) 2．估算复模态频率mi和复模态阻尼比mi

各阶模态的留数： (5.5-23) e＝1,2,…, n，i＝1,2,…, n 留数矩阵 (5.5-34) 3．估算复模态矢量 [R]中各列即为系统各阶模态的复模态矢量

脉冲响应函数矩阵： ∈RM×L (1.5-61) (5.6-1) (5.6-2) §5.6 多参考点复指数法（PRCE） LSCE法的推广一、数学模型

(5.6-6) 转置 (5.6-7) [h(t)]T中第e列式中 ∈CM×2n (5.6-3) ∈C2n×2n (5.6-4) 模态参与因子矩阵： ∈C2n×L (5.6-5)

e＝1, 2, …, M k＝0, 1, 2, …, s ∈C2n×2n (5.6-11) 取采样点数s，使sL≥2n，则[G]行数比列数至少多L个，根据矩阵理论，存在L×(s＋1)L阶行满秩矩阵（[Ap]为L×L阶满秩矩阵， p＝0, 1, 2, …, s，且[As]＝[I]），使： [G]各分块元素线性无关 (5.6-14) (5.6-10)

相当于Prony多项式 (5.6-10) 起始采样点号为l (5.6-17) ∈CL×2n (5.6-16)

(5.6-19) (5.6-20) 脉冲响应序列的AR模型：式中 ∈RL×sL (5.6-21) ∈RsL (5.6-22) 左乘[A]并展开，考虑式(5.6-16) (5.6-18)

(5.6-20) 脉冲响应序列的AR模型：令l＝0, 1, 2, …, m，e＝0, 1 , 2, …, M，写成矩阵形式 (5.6-23) 式中 ∈RsL×(m＋1) (5.6-24) ∈RL×(m＋1)M (5.6-25) ∈RsL×(m＋1) (5.6-26) ∈RL×(m＋1) (5.6-27) 二、估算模态参数 1．估算自回归系数矩阵

由于[Te]的阶数很高，使用上式求逆时容易出 现病态，故可采用QL分解。设[T]为行满秩矩阵，则[T]＝[L][Q]，[L]∈RsL×sL为具有正对角元的下三角矩阵，[Q]∈RsL×(m＋1)M为行正交矩阵，即[Q][Q]T＝[I]。 (5.6-32) (5.6-33) (5.6-16) 设[T]为行满秩矩阵 (5.6-28) 2．估算复频率i

{i}∈CL为[]T的第i列 ∈CL×L 特征对：zi、{i} i、[]T (5.6-11) (5.6-40) e＝1, 2, …, M ∈C2n×M 其前n列即n个模态矢量。 ∈CM×2n (5.6-41) 取一列 (5.6-35) 特征值问题： 3．估算模态矢量

广义Hankel 矩阵系统最小实现模态参数另一形式的状态方程： (5.7-1) 式中 ∈R2n×1 (5.7-2) §5.7 特征系统实现法（ERA）特征系统实现法（ERA）的基本思想： MIMO脉冲响应函数特征系统实现法（ERA）的特点： • 由于使用了现代控制理论中的最小实现原理，使计算量大大减少。 • 理论推导严密，技术先进，计算量小，是当时乃至目前最完善、最先进的方法之一。一、状态方程 1. nDOF粘性阻尼时间连续系统状态空间矢量：

激励点数 输出向量（观测方程）： ∈RM (5.7-5) 位移、速度或加速度响应测量点数 ∈RM×2n观测矩阵 (5.7-13) 状态方程：式中系统矩阵： ∈R2n×L (5.7-11) ∈R2n×2n；观测方程： (5.7-14) 时间离散系统的一个实现：系统矩阵： ∈R2n×2n ∈R2n×L (5.7-3,4) 称[A,B,G] 为系统的一个实现——与系统固有特性有关。 2. 时间离散系统

能控矩阵 2n×2nL阶(5.7-15) 能观矩阵 2nM×2n阶(5.7-16) 一个系统可以有无穷多个实现。可证，对任意非奇异方阵[T] ∈R2n×2n，都是系统的实现，其中以阶次最小的实现称为最小实现。具有最小实现的系统是完全能控和能观的。最小实现理论是指，已知观测向量{z(k)}，构造常值矩阵[A1]、[B1]、[G]，使[A1, B1, G]的阶次最小。 3. 能控性与能观性定义：

时间序列的Z变换： (5.5-14) Z变换形式的传递函数： (5.7-19) 状态方程： Z变换观测方程：经推导，可证 (5.7.24a) (5.7.24b) 系统是能控的充要条件：rank[Q]＝2n 系统是能观的充要条件：rank[P]＝2n 二、脉冲响应函数 ERA的数学模型

(5.7-26) 式(5.7-24b) (5.7-27) 式中：能观矩阵 M×2n阶(5.7-28) 三、系统最小实现[A1,B1,G] 设已测得脉冲响应矩阵[h(k)]，M×L阶。以之构造广义Hankel矩阵：

(5.7-30) (5.7-31) (5.7-32) (5.7-33) 对[H(0)]做奇异值分解式中 [U]、[V]为列正交矩阵 (5.7-34) i为[H(0)]的奇异值 (5.7-35) 设 (5.7-40) 能控矩阵 2n×L阶(5.7-29) 、分别称为能观、能控指数，且有

(5.7-41) (5.7-46) [G] [A1] [B1] 与式(5.7-24b)比较，有 (5.7-47) 以下推导很繁！式(5.7-26) 因[A1]的阶数为2n，故由上式确定的[A1, B1, G]为系统的最小实现。

可证矩阵[A]与[A1]具有相同的特征矢量。设矩阵[A]的特征值矩阵为可证矩阵[A]与[A1]具有相同的特征矢量。设矩阵[A]的特征值矩阵为 []，则[A1]的特征值矩阵为。从而求得矩阵[A1]的特征对，即可得原系统的特征对，进而得到模态参数，其中模态矢量矩阵为 []＝[G][]。四、模态参数五、非随机噪声和非线性因素的影响由于非随机噪声和结构非线性因素的影响，在对[H(0)]进行奇异值分解时有时存在定阶困难。J. N. JUANG和R. S. PAPPA引入模态幅值相干系数MAC(Modal Amptitude Coherence)和模态相位共线性MPC（Modal Ph ase Collinearity）来区分有效模态和噪声模态[106]

ITD法的系统矩阵[A]由下式确定： (5.3-58) 式中 (5.7-72) (5.7-73) 取自由响应x(k) 为脉冲响应h(k) (5.7-74) {h(k+1)} 、{h(k)} ∈R2n 六、ERA与ITD法的关系 1．ITD法

可导出： (5.7-77) [G] [A1] [B1] 从而 (5.7-78) 当M＝2n，L＝1时＝1 (5.7-79) 此即ITD法的基本公式(5.7-74) 2．ERA法为系统的一个实现。这说明，当为单点激励(L＝1)，测点数恰为系统阶次(M=2n)时，ERA即退化为ITD法。为了给噪声模态留有出口，ITD法需增加测点数和采样点数，从而导致式(5.7-74)中的[A]矩阵阶数增大，即ITD法中的系统矩阵[A]不是最小实现。第5章完

§ 5.5 ARMA 时序分析法