680 likes | 1.17k Views
ARMA/ARIMA modeliai. 2011-09-20. Literatūra: Asteriou D.Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 sk.13 ARIMA Models and Box-Jenkins methotology psl.245-264
E N D
ARMA/ARIMA modeliai 2011-09-20 Literatūra: Asteriou D.Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 sk.13 ARIMA Models and Box-Jenkins methotology psl.245-264 Maddala G.S., Kajal Lahiri Introduction to Econometrics., 2010 Chapter 12, psl.481-508 VU EF V.Karpuškienė
Paskaitos dalys • ARIMA modelio struktūra • Modelio įvertinimas: Box-Jenkins procedūra • Stacionarumo užtikrinimas • ARIMA modelio įvertinimas • Modelio diagnostika • Prognozavimas ARIMA modelio pagalba VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio struktūra • ARIMA modelių tikslas – prognozuoti nagrinėjamus ekonominius reiškinius • Pagrindinė idėja – prognozės sudaromos panaudojant nagrinėjamo reiškinio pradinių duomenų ir modelio paklaidų pokyčių ypatumus. VU EF V.Karpuškienė
ARIMA modelio struktūra • ARIMA –Autoregressive Integrated Moving Average Process • ARIMA modelio struktūra: • autoregresinis (AR) procesas • Integravimo I procesas • slenkamųjų vidurkių (MA) procesas VU EF V.Karpuškienė
ARMA modelis yt + 1yt-1 +...+ pyt-p +1t-1+ ...+qt-q + t, AR procesas MA procesas Gali būti: yt +β٠t + 1yt-1 +...+ pyt-p +1t-1+ ...+qt-q + t, yt1yt-1 +...+ pyt-p +1t-1+ ...+qt-q + t, VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio struktūraAutoregresinis procesasAR(p) • Autoregresinis procesas aiškina laiko eilutės stebėjimus ankstesniaisiais stebėjimais: Yt =1Yt-1 + 2Yt-2 +...+ pYt-p + t yt –laiko eilutės stebėjimai 1...1 – autoregresinio proceso parametrai t – atsitiktinės paklaidos, p – autoregresinio proceso eilė. VU EF V.Karpuškienė
ARIMA modelio struktūraAutoregresinis procesas Kur L –lago operatorius Lago operatoriaus savybė: VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio struktūraSlenkamųjų vidurkių procesasMA(q) • Slenkamųjų vidurkių procesas aiškina laiko eilutės stebėjimus Yt modelio paklaidomis: Yt=t + 1t-1 + 2t-2 +...+ qt-q VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio struktūraSlenkamųjų vidurkių procesas VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio struktūra ARMA (p,q) modelis Yt =1Yt-1 + 2Yt-2 +...+ pYt-p + t+ 1t-1 + 2t-2 +...+ qt-q VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelį galima sudaryti stacionarioms arba silpno stacionarumo laiko eilutėms!!!!!!!!!!!!!!!!! VU EF V.Karpuškienė
Stacionarumas • Griežtas stacionarumas • Silpnas stacionarumas
ARMA/ARIMA modelio griežtas stacionarumas 1) laiko eilutės vidurkis pastovus: E(Yt) =y=const1; (suskaidžius stebėjimus į atskiras grupes, kiekvienos grupės vidurkis turi būti toks pats) 2) laiko eilutės dispersija pastovi: E(Yt-y)2=2y=const2; (kiekvienos grupės dispersija turi būti vienoda) 3) laiko eilutės stebėjimų kovariacija nepriklauso nuo laiko: E[(Yt-y)(Yt-k-y)]=k=const3; VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio silpnas stacionarumas 1) laiko eilutės vidurkis pastovus: E(Yt) =y=const1; (suskaidžius stebėjimus į atskiras grupes, kiekvienos grupės vidurkis turi būti toks pats) (kiekvienos grupės dispersija turi būti vienoda) 2) laiko eilutės stebėjimų kovariacija nepriklauso nuo laiko: E[(Yt-y)(Yt-k-y)]=k VU EF V.Karpuškienė
Griežtai stacionari laiko eilutė VU EF V.Karpuškienė
Nestacionari laiko eilutėNestacionarumas dėl trendo VU EF V.Karpuškienė
Silpnai stacionari laiko eilutė(Nestacionarumas dėl dispersijos) VU EF V.Karpuškienė
Modelio įvertinimas: Box-Jenkins procedūra Pirmas žingsnis: ARMA proceso stacionarumo nustatymas Antras žingsnis: Užtikrinamas stacionarumas integruojant laiko eilutę Trečias žingsnis: ARMA proceso p ir q eilės nustatymas Ketvirtas žingsnis: ARMA modelio ir jo alternatyvų vertinimas Penktas žingsnis: Modelio diagnostika VU EF V.Karpuškienė
Laiko eilutės stacionarumo nustatymas • Grafinė analizė • Autokoreliacijos funkcijų analizė • Dispersijos pastovumo analizė • Vienetinės šaknies testai (DF (Dickey Fuller) ir ADF VU EF V.Karpuškienė
Grafinė analizė VU EF V.Karpuškienė
Laiko eilutės stacionarumo nustatymasACF -Autokoreliacijos analizė kur rk – k-ojo lago autokoreliacijos koeficientas, PAC -Dalinės autokoreliacijos funkcija Dalinės koreliacijos koeficientai yra yt autoregresijos parametrų įverčiaiρi VU EF V.Karpuškienė
Autokoreliacijos funkcijų analizė(ACF ir PACF)Nestacionarus procesas pagal kovariaciją Dirb_priv korelograma Du_priv korelograma VU EF V.Karpuškienė
Autokoreliacijos funkcijų analizė (ACF ir PACF)Stacionarus procesas pagal kovariaciją EViews: View Correlogram VU EF V.Karpuškienė
Autokoreliacijos funkcijų analizė (ACF ir PACF) Box – Pierce Q – statistika Box – Pierce Q – statistika – tai tiesinė kvadratinių autokoreliacijų kombinacija Box – Pierce Q – statistika tikrinama jungtinė hipotezė, H0: Iki m-tojo lago reikšmingos autokoreliacijos nėra HA: Iki m-tojo lago yra bent vienas koreliacijos koef yra reikšmingas VU EF V.Karpuškienė
Dispersijos pastovumo analizė • Atliekame laiko eilutės pogrupių dispersijų lygybės testą. (statistika) VU EF V.Karpuškienė
ARIMA modeliai I(d) – integruotumo eilė • Nestacionari laiko eilutė turi būti transformuojama į stacionarią. Tam paprastai naudojama integravimo procedūra: yt= yt- yt-1. • Jei pirmos eilės skirtumai taip pat nestacionarūs, taikomas antros eilės integravimas (ir t.t.): yt= yt- yt-1= (yt- yt-1) – (yt-1- yt-2) = yt - 2yt-1 + yt-2. • Galima imti ir logaritmų skirtumines transformacijas log(yt) = log(yt)- log(yt-1) VU EF V.Karpuškienė
ARIMA modeliaiIntegruotumo eilės nustatymas • Autokoreliacijos funkcijų analizė • Mažiausiosdispersijos testas • Vienetinės šaknies testai:Dickey Fuller ir ADF testai VU EF V.Karpuškienė
Autokoreliacijos funkcijų analizėintegruotumo eilei nustatyti Du_priv_pradinių duomenų korelograma (d(Du_priv) pradinių duomenų skirtumų korelograma (Du_privm2) pradinių duomenų antrųjų skirtumų korelograma
Mažiausios dispersijos testas • Procedūra: • Sudarome tris laiko eilutes: • Yt • Yt=dYt • Yt=d(Yt, 2) • Integravimo eilei nustatyti išrenkame duomenų eilutę su mažiausia dispersija VU EF V.Karpuškienė
Vienetinės šaknies testai • Integruotumo eilei nustatyti dažniausiai naudojami vienetinės šaknies testai • Išplėstinis Dickey-Fuller (augmentedDickey-Fuller) (ADF) • Phillips-Perron testas (PP testas). VU EF V.Karpuškienė
Vienetinės šaknies testai ADF testas • Taikant ADF testą, norint patikrinti, ar kintamasis yt yra stacionarus, sudarome regresiją: DF -testas • ADF -testas • Ši regresija pertvarkoma į tokią: VU EF V.Karpuškienė
Vienetinės šaknies testai DF testas • Taikant DF testą, norint patikrinti, ar kintamasis yt yra stacionarus, sudarome regresiją: • Ši regresija pertvarkoma į tokią: VU EF V.Karpuškienė
Vienetinės šaknies testai ADF testas H0: (kintamasis Ytnėra stacionarus ir turi būti integruotas bent 1-a eile): H1 : kintamasis Yt yra stacionarus Testo statistika: Išvada: galime atmesti hipotezę H0, jeigu VU EF V.Karpuškienė
ADF testas • Jeigu laiko eilutė yra integruota pirma eile, tikrinama ar ji yra integruota antra eile VU EF V.Karpuškienė
ADF testas VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas Nustatyti AR ir MA procesus geriausiai aprašančius (generuojančius) nagrinėjamą reiškinį. Parenkamos kelios alternatyvos • ADF testo pagalba nustatoma integravimo eilė (I) • Nustatoma AR(p) proceso vėlavimo eilė p • Nustatoma MA(q) proceso vėlavimo eilė q VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasAR(p) nustatymas • AR(p) proceso eilė p nustatoma tiriant dalinės autokoreliacijos koeficientus PAC • (dalinės autokoreliacijos koeficientas parodo yt koreliavimą (sąryšį) tik su konkretaus lago (k) Yt-k reikšmėmis, t.y. eliminuojant kitų lagų Yt-i, ik įtaką). • Dalinės koreliacijos koeficientai PAC yra Yt autoregresijos parametrų įverčiai VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasAR(p) nustatymas AR procesui būdinga tai, jog dalinės autokoreliacijos koeficientasPAC p vėlavimų yra didelis (1,...,p), o likusiuose vėlavimuose dalinė autokoreliacija (p+1,...,p) yra nebereikšminga. VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasAR(p) nustatymas AR(1)PAC –dalinės autokoreliacijos grafikas VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas AR(2) PAC – dalinės autokoreliacijos grafikas VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasAR(p) nustatymas • Didėjant vėlavimo periodui k AR(1) proceso autokoreliacijos koeficientasAC eksponentiškai mažėja VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasMA(q) nustatymas • MA proceso eilė nustatoma tiriant autokoreliacijos koeficientus AC • rkkoeficientas parodo Yt bendrą koreliaciją su visais Yt-1,..., Yt-k: VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasMA(q) nustatymas • MA procesui būdinga tai, jog autokoreliacijos koeficientas ACyra didelis q vėlavimų (r1,..., rq). • Likusiuose vėlavimuose autokoreliacija yra nebereikšminga (rq+1,...,rk). VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasMA(q) nustatymas MA(1) AC – Autokoreliacijos grafikas VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasMA(q) nustatymas MA(2) AC – Autokoreliacijos grafikas VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio parametrų (koeficientų) vertinimas • Parametrų įvertinimas: kartu yra vertinami vėluojančių Yt-k kintamųjų ir paklaidų parametrai, todėl naudojamas maksimalaus tikėtinumo metodas, taikant iteracinę optimizavimo procedūrą. • EViews: ls d(Y)=C ar(1) ma(1) VU EF V.Karpuškienė
Regresijos parametrų vertinimo metodai • MKM – rasti tokius parametrų β1,β2 įverčius, kurie minimizuoja modelio paklaidas, t.y atsitiktinę modelio dalį. • MTM – rasti tokius parametrų įverčius β1,β2, kurie maksimizuoja sisteminės dalies ir Yi atitikimo tikimybę
Maksimalaus tikėtinumo metodas Tarkim nagrinėjame porinę priklausomybę, kurios Yt – atsitiktinis dydis pasiskirstęs N(, σ2) Yt=β1 + β2Yt-1+ut MTM – esmė