Dane INFORMACYJNE

Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół w Chwaliszewie • ID grupy: • 98/39_mf_g1 • Kompetencja: • Matematyczno – Fizyczna • Temat projektowy: • „Twierdzenie Pitagorasa” • Semestr/rok szkolny: • I / 2011/2012

DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 1 im. Żołnierzy Armii Krajowej w Gryficach • ID grupy: 98/22_MF_G1 • Kompetencja: Matematyczno - Fizyczna • Semestr/rok szkolny: V/2012

Twierdzenie Pitagorasa – twierdzenie geometrii euklidesowej dotyczące trójkątów prostokątnych, równoważne w istocie jest piątemu pewnikowi Euklidesa o prostych równoległych. • Pitagoras-(ur. ok. 572 p.n.e. na Samos, zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie) – grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem.

Pitagoras - prawdopodobnie żył w latach 572 – 497 p.n.e. Urodził się na wyspie Samos. Najbardziej owocne prace Pitagorasa przypadają na okres życia, który spędził w Krotonie (dzisiejsze południowe Włochy). Tam też założył filozoficzną szkołę pitagorejską, która stała się ośrodkiem badań naukowych, szczególnie w dziedzinie matematyki, astronomii i filozofii.

Samos,greckawyspanaMorzuEgejskim, w archipelaguSporadyPołudniowej, u wybrzeżyTurcji.

Pitagoras nie pozostawił żadnych prac i o jego działalności wiadomo niewiele. Dużo podróżował. We Francji i Babilonie miał okazję poznać dokonania tamtejszych matematyków i przenieść myśl matematyczną Egipcjan i Babilończyków do Grecji. Tzw. „Twierdzenie Pitagorasa” znane było Babilończykom na długo przed Pitagorasem. Nie był on prawdopodobnie odkrywcą tego twierdzenia, ale prawdopodobnie je udowodnił. Wiadomości o średniej arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej, zastosowanej przez Pitagorasa w muzyce, przejął również od matematyków babilońskich. Trudno jest wyodrębnić odkrycia samego Pitagorasa spośród tych, których dokonali jego uczniowie i następcy, nazywający siebie pitagorejczykami. Πό

Od pitagorejczyków pochodzi podział na liczby parzyste i nieparzyste. Odkryli oni wiele własności liczb i można ich uznać za twórców początków teorii liczb. Wiedzieli o istnieniu liczb niewymiernych, ale zobowiązani byli do zachowania tego w tajemnicy. Istnienie liczb niewymiernych było niezgodne z ich filozofią, niezgodne z harmonią świata, w którym liczby naturalne odkrywały według nich szczególną rolę.

Ciekawostki na temat pitagorasa • Do szkoły pitagorejskiej należało w sumie około 220 uczniów a okres jej trwania datuje się na 150 lat • Szkoła uległa rozpadowi gdyż jedni chcieli dzielić się wiedzą a inni dążyli do jej rozpowszechniania jedynie w wąskim gronie uczniów • Uczniowie szkoły nie musieli składać żadnych przyrzeczeń – każde ich słowo uważane było za prawdziwe • Pitagorejczycy odkryli jaką długość mają mieć dwie struny aby wspólnie pięknie brzmieć

Zagadki związane z pitagorasem • Zapytał raz tyran Syrakuz greckiego mędrca:Zacny Pitagorasie, ty muz oblubieńcze,Iluż też uczniów muzomW twym domu się chowa?Powiem ci, Polikratesie: połowaWzniosłą matematyką ćwiczy umysł młody,Czwarta część pragnie wniknąć w tajniki przyrody,Część siódma uczy się milczeć.Dodaj trzy kobiety.Tyle ja uczniów wiodę do laurowej mety.Ilu uczniów miał Pitagoras?

Pitagoras jest również znany z wielu cytatów • „Kto mówi, sieje, kto słucha, zbiera” • „Najkrótsze wyrazy "tak" i "nie" wymagają najdłuższego zastanowienia” • „Oszczędzaj łez swoim dzieciom, aby miały czym płakać nad twoją trumną” • „Człowiek jest miarą wszechrzeczy” • „Liczba jest istotą wszystkich rzeczy”

Nazwij trójkąty prostokątny rozwartokątny ostrokątny

Czy wiesz jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Przeciwprostokątna (c) Przyprostokątna ( b) Przyprostokątna (a)

5 3 Wykonaj zadanie, a dowiesz się co zauważył Pitagoras… 5•5=25 4 3•3=9 Dany jest trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5. Oblicz pola kwadratów zbudowanych na tych bokach. 4•4=16

Ciekawostka 5 3 4 Trójkąt o bokach 3,4,5 nazywa się trójkątem egipskim

Jaki wniosek?? • A morał z tego krótki i niektórym znany: W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równapolu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Brzmienia twierdzenia pitagorasa • „Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długość przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej” • „W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta”

P3=c2 P2=b2 ZAPAMIETAJ!!! • Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.a2+b2=c2 P1=a2

Dowód: b a a2 a a b c c2 b b2 b a c2 = a2 + b2

CIEKAWOSTKA Trójkąt którego boki posiadają długości : 3, 4 oraz 5 nazywany jest TRÓJKĄTEM EGIPSKIM 5 3 4

Twierdzenie pitagorasa - ciekawostki • Pole każdego trójkąta Pitagorejskiego jest zawsze liczbą całkowitą kończącą się na 0,4 lub 6 • Prostokąt którego boki i przekątne mają długości całkowite można nazwać pitagorejskim • W matematyce istnieją pewne liczby naturalne spełniające tw. Pitagorasa. Np. 3,4,5 lub 5,12,13.Taką trójkę nazywamy pitagorejską

Uniwersalność twierdzenia pitagorasa

Uniwersalność twierdzenia pitagorasa • Twierdzenie Pitagorasa nie zachodzi w geometrii nieeuklidesowej • Wg Ogólnej Teorii Względności teoria ta nie zachodzi w polach grawitacyjnych • Także w kosmosie w związku z krzywizną czasoprzestrzeni twierdzenie to nie jest uważane za 100 procentowo zgodne z prawdą

Zadanie Do poniższych rysunków zapisz twierdzenie Pitagorasa. 1 2 3 a a b p b a 4 o c a y z x 7 6 f 5 k a b 2f m d n c

Zadanie Oblicz długość szukanego boku jeżeli: GRUPA 1 GRUPA 2 GRUPA 3 GRUPA 4 c 6 10 15 a x y 9 8 10 15 12 Zadanie 2 Oblicz długość szukanego boku jeżeli: GRUPA 3 GRUPA 4 GRUPA 1 GRUPA 2 3 4 x x 5 x x 4

Zadanie W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2cm i 3cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta? 22 + 32 = x2 x2 =13 x = [cm] x 2cm 3cm Przeciwprostokątna ma długość cm czyli około 3,6cm.

Można dzięki temu twierdzeniu obliczyć o ile skróci się droga idąc na skróty. a=120m b=90m c =?

Rozwiązanie • Dane Szukane Wzór • a=120 c=? a²+b²=c² • b=90 • Rozwiązanie • a²+b²=c² 120+90=210 • 120²+90²=c² 210-150=60 • 14400+8100=c² • c²=22500|√ • c=150 • odp: Drogę można skrócić o 60m.

Na rysunku pokazane są: przekrój kanału i jego wymiary. Jaką długość powinien mieć most nad tym kanałem ? 4 m 5 m 4 m

a2 = 25 – 16 a =3 a2 + b2 = c2 a2 = 9 wyznaczamy a ze wzoru: a2 = c2 – b2 Długość mostu = 2 · 3 + 4 = 10 podstawiamy dane do wzoru: a= 52 – 42 Odp. Most powinien mieć długość 10 metrów . a = ? 4 m 5 m 4 m

Ciekawostki Związane z tym twierdzeniem • -To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa. Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie, Chinach, Indiach i Babilonii. • -Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów twierdzenia Pitagorasa.

W Pracy brali udział • Kinga Keller Ireneusz Ibron • Oliwia Wojak Daniel Olejnik • Jaśmina Szulc Ewa Urbaniak • Sylwia Łączewna Dominika Mikołajczak • Alicja Florkowska Bartłomiej Grenda • Paweł Filipczak Adrian Marszałek • Krzysztof Frąszczak Magdalena Biegańska

Oraz uczniowie z Gimnazjum nr 1 z Gryfic: Aleksandra Maczyszyn Kamil Pruczkowski Ewa Kwiecińska Malwina Hołubczak Karol Baryło Marcin Ossowski Natalia Sułek Agata Szeliga

Podobała się prezentacja?? • -”Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają najdłuższego zastanowienia”. • - Pitagoras

BIBLIOGRAFIA • Internet: • wikipedia.org/wiki/pitagoras • Interklasa.pl/portal/dokumenty/matico/pitago.html • Szczepn Jeleński „Śladami Pitagorasa” wyd. PZWS • www.starozytna-grecja.info/pitagoras.html • wiem.onet.pl/wiem/0004d7.html • Encyklopedia Powszechna Larousse

Dane INFORMACYJNE