1 / 30

Grandezze sinusoidali

Funzioni di tipo sinusoidale. p.es. tensioni, correnti, potenze. f(t) = F cos ( w t + j ). l ‘ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.). f : frequenza Hertz ( Hz ) KHz, MHz, GHz. in radianti (rad); raramente in gradi

teenie
Download Presentation

Grandezze sinusoidali

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Funzioni di tipo sinusoidale p.es. tensioni, correnti, potenze f(t) = F cos (w t + j ) l ‘ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.) f : frequenza Hertz (Hz) KHz, MHz, GHz • in radianti (rad); raramente in gradi è la fase w t + j per t = 0 pulsazione in radianti al secondo (rad/s) fase in radianti (più raramente in gradi) w = 2 p f = 2 p / T variazione di frequenza f(t) f(t) f(t) variazione di ampiezza variazione di fase F t t t - F T : periodo Grandezze sinusoidali F Ampiezza w t = 2 p f t = 2 p t / T j Fase (iniziale) w Pulsazione w t + j Fase (o argomento)

  2. Nella analisi dei circuiti elettrici (e in gran parte dell’ingegneria) le grandezze sinusoidali sono trattate con l’algebra dei numeri complessi Nozioni necessarie: rappresentazione di numeri complessi come vettori rappresentazione cartesiana algebra elementare (quattro operazioni) rappresentazione polare formula di Eulero Nell’analisi dei circuiti, il termine vettore è usato spesso come sinonimo di numero complesso. Ciò non è vero in altri campi della scienza e della tecnica Numeri Complessi (introduzione)

  3. Unità immaginaria j = -1 ; j2 = - 1 Notazione : a = Re[ Z ] ; Re[ . ] parte reale b = Im[ Z ] ; Im[ . ] parte immaginaria piano complesso modulo di Z (lunghezza del vettore) Im Z = a+jb | Z | = a2+b2 Z b Notazione : Z (senza sottolineatura) = | Z | a Re -b Z* Numeri Complessi (piano complesso) Numero complesso (forma cartesiana) Z = a + j b Numero coniugato : Z* = a - jb Risulta : Z + Z* = a+jb + a-jb = 2a = 2 Re[ Z ]

  4. Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d) Sottrazione : (a + j b) - (c + j d) = (a-c) + j (b-d) Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac - bd) + j (ad + bc) Norma : ZZ* = (a + jb) (a - jb) = a2 + b2 = | Z |2 = Z2 Divisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(c-jd)/(c2+d2) Im Im Im Im Z1 Somma algebrica Somma Z1 Z1 Z2 Z2 Re Re Re Re Zs Zs Z3 Z2 Numeri Complessi (algebra) Z1 = -1 + j Zs = Z1 + Z2 = - j Z2 = 1 -2 j Z1 – Z2 + Z3 Per sommare due o più vettori si disegnano in successione. Il vettore somma è il vettore congiungente l’origine del primo con il vertice dell’ultimo

  5. Z = r ( cos j + j sin j ) Numero complesso (forma polare) 2 2 Cartesiana Polare Cartesiana Polare Cartesiana Z = a + j b Im Im Im Im Z1 = - 1 - j Z1 = 1 + j atg ( b / a ) per a > 0 a = r cos j 1 5p/4 atg ( b / a ) + p per a < 0 p/4 r = 2 r = 2 -1 1 Re Re Re Re b = r sin j r = | Z | = a2 + b2 j = atg (1) = p/4 -1 j = atg (1) + p = = p/4 + p Numeri Complessi (forma polare) r modulo j fase (argomento) j =

  6. Il numero (1 + j 1,2 / n ) n con n = 1000 corrisponde all’estremo dell’arco Numero complesso (forma polare) Definizione dell’espressione e jb e j b = cos b + j sin b Z = r ( cos j + j sin j ) = r e j j n n n e jb= lim ( 1 + j b / n ) n espr. esponenziale e = lim (1 + 1 / m ) m Proprietà dell’espressione lim ( 1+ j b / n ) n Si dimostra : Nel campo dei numeri reali Modulo: | e j b| = lim | 1+ j b / n | n = 1 Im Im Argomento Arg [ e j b ] = = lim Arg [ (1+ j b / n ) n ] = b e b = lim (1 + 1 / m ) mb e b = lim (1 + b / n ) n m m n n ( 1 + j 1,2 / n ) k 1 con k = 0, 1, 2, …, n e n = 1000 b b Re Re 1 1 Numeri Complessi (formula di Eulero) Esponenziale espressione trigonometrica e base dei logaritmi naturali Si ponga, ad esempio, b = 1,2e si determini I numeri calcolati si dispongono con ottima approssimazione su un arco di cerchio di raggio 1. La lunghezza dell’arco è pari a 1,2 (cioè il valore di b). Pertanto l’angolo è pari a b (in radianti) Calcolo di eb ( b reale) Ponendo m b = n ( m = n/b ) : In forma polare Formula di Eulero Questa espressione è utilizzata per definire e jb

  7. fasore = [ Fe jw t + F*e -jw t ] F = F e jj 1 2 f(t) = F cos (w t + j ) I numeri ejb e e-jb sono complessi coniugati tenendo conto che F è reale e jb= cos b + j sin b Fasori Dalla formula di Eulero Espressione del coseno cos b = Re [ e jb ] e -jb= cos b - j sin b cos b = (e jb + e -jb)/2 = F Re [e j(w t + j )] = Le due espressioni di cos b sono assolutamente equivalenti = Re [ F e jje jw t] = La seconda espressione di cosb si può ottenere dalla prima (la semisomma di due numeri complessi coniugati è sempre pari alla parte reale di uno dei due) oppure sommando membro a membro le espressioni di e jb e di e - jb = Re [Fe jw t] = F* = F e -jj

  8. funzione La pulsazione w della funzione non è rappresentata dal fasore fasore f(t) = F cos (w t + j ) Notazione Analisi dei circuiti con il metodo dei fasori L’ampiezza F della funzione corrisponde all’ampiezza F (modulo) del fasore La fase (iniziale) j della funzione corrisponde alla fase j del fasore F = F e jj Metodo Ipotesi w = 2 p f assegnata Fasori Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori Vi è una corrispondenza biunivoca fra funzioni e fasori La lettera “F” ha vari significati: Si possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna con la propria ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota e uguale per tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali) f (minuscolo) è la funzione del tempo f(t) Trasformare tutte le funzioni note in fasori Tutte le funzioni relative a tensioni e correnti del circuito sono sinusoidali (con ampiezze e fasi diverse) F (maiuscolo) è l’ampiezza (modulo) Risolvere il circuito considerando solo fasori (il calcolo è più semplice di quello effettuato direttamente nel tempo) F (maiuscolo e sottolineato) è il fasore Tutte le pulsazioni (frequenze) sono uguali Trasformare i fasori d’interesse nelle funzioni corrispondenti ( ovviamente risulta F = | F | )

  9. Trasformazione: Esempio Esempio Im Im 1. Esprimere la funzione in forma standard f(t) = F cos (w t + j ) f(t) = 4 cos (3 t + p / 4 ) f(t) = 3 sin 5 t 4 p / 4 2. Identificare il fasore con ampiezza e fase F = F e jj F = 2 2 + j 2 2 Re Re 3 Fasori (trasformazioni) funzione sinusoidale in fasore = 3 cos ( 5 t – p / 2 ) F = 4 e jp / 4 F = 4 (cos p / 4 + j sin p / 4 ) F = 3 e - jp / 2 = - 3 j

  10. 2 fasore in funzione sinusoidale Trasformazione: Trasformazione: le due espressioni sono equivalenti e si possono ricavare l’una dall’altra con il calcolo trigonometrico Metodo alternativo 2. Identificare la funzione sinusoidale f(t) = F cos (w t + j ) = e j 3 p / 4 2 2 2 Applicare l’espressione diretta f (t) = Re [F e jw t] Esempio Esempio Esempio Im Im Im F = -1 + j daF = -1 + j si è ottenuto F = -1 + j 3 p / 4 j j j 1. Esprimere il fasore in forma polare F = F e jj f (t) = cos ( w t + 3 p / 4 ) 1° metodo f (t) = cos ( w t + 3 p / 4 ) -1 -1 -1 Re Re Re basta calcolare i termini della parte reale del prodotto Fasori (trasformazioni) fasore in funzione sinusoidale f (t) = Re [ (-1 + j ) e j w t ] = = Re [ (-1 + j ) (cos w t + j sin w t ) ] = f (t) = - cos w t - sin w t 2° metodo Poiché w non è stato assegnato, non può essergli attribuito alcun valore = - cos w t - sin w t

  11. f(t) Si consideri un fasoreF 1.R = F e jw t In un insieme di grandezze isofrequenziali tutti i vettori rotanti girano alla stessa velocità mantenendo le reciproche differenze di fase F Im Im vettore rotante 2. f (t) = Re [ R] Re [F] F a) | R | =| F | ( poiché |e jw t | =1 ) F b) è funzione del tempo ( F non lo è) Re Re w w t R descrive un cerchio con velocità angolare w = 2 p f( f giri al secondo) -F Fasori (metodo grafico) Trasformazione grafica di fasori in funzioni f (t) = Re [F e jw t] Il vettore rotanteR = F e jw t ha le seguenti proprietà : Il fasore F è pari al vettore rotante R per t = 0 c) il suo argomento cresce con il tempo La funzione sinusoidale è data dalla parte reale di R (la proiezione di R sull’asse reale) per t = 0, f(t) è decrescente

  12. Ipotesi v(t), i(t) sinusoidali I i(t) + + v(t) = V cos (w t + j ) = Re[ V e jw t ] i(t) = I cos (w t + y) = Re[ I e jw t ] Fasori di tensione e corrente: V v(t) V = V e jj I = I e jy bipolo nel dominio del tempo bipolo nel dominio dei fasori Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo Il bipolo nel dominio dei fasori è utilizzato solo a scopi di calcolo Il bipolo nel dominio dei fasori Bipoli in regime permanente Si dice che il bipolo è in regime permanente Indicando i fasori invece delle grandezze nel tempo si ottiene Nel bipolo reale le grandezze elettriche sono sempre funzioni reali del tempo

  13. p(t) = v(t) i(t) Potenza (entrante) I + In regime permanente p(t) = Re[ V e jw t ] Re[ I e jw t ] = (V e jw t + V* e -jw t ) ( I e jw t + I* e –jw t ) = V (VI e j2w t + V* I* e –j2w t + VI*+ V*I ) = bipolo nel dominio dei fasori L’andamento nel tempo della potenza in regime permanente consta di due termini: il primo dipende dal tempo ed è di tipo sinusoidale con pulsazione 2w, il secondo è un termine costante 1 1 1 1 = Re [ VI e j2w t ] + Re [ VI*] 2 4 4 2 Potenza in regime permanente

  14. + Pa = Re [ VI*] Si definisce potenza attiva V I I valori efficaci sono molto usati in campo tecnico. Essi permettono di eliminare il fattore 1 / 2 in tutte le espressioni della potenza in regime permanente. i(t) = Ieff cos (w t + y ) v(t) = Veff cos (w t + j ) Definiti i valori efficaci Con i valori efficaci si ha 1 1 2 2 Ieff = I p(t) = Re [ VI e j2w t ] + Re [ VI*] 1 1 1 1 1 1 = V I cos (j – y) Pa = Re [ VI*] = Re [V e jjI e -jy] Veff = V Pa = Veff Ieff cos f f =j – y detto si ha 2 2 2 2 2 2 2 2 Potenza attiva In contrapposizione p(t) è detta potenza istantanea P. es., i valori di tensione di 127 V e 220 V , utilizzati nella distribuzione di energia elettrica, sono valori efficaci .

  15. Per f = 0 , le grandezze elettriche tensione e corrente, sono costanti. In questo caso si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua (c.c.) ed è erroneo considerare la potenza attiva. La misura della potenza attiva, come valore medio della potenza istantanea, richiede particolari cautele per valori di frequenza f molto bassi. In questi casi il periodo T = 1/f risulta elevato, rendendo difficile la misura (o la determinazione) del valore medio. P. es., per f = 0.1 Hz , risulta T = 10 s . In questo caso la media deve essere effettuata su un intervallo pari a un multiplo esatto di 5 s , oppure su un intervallo molto maggiore di 10 s. Pa f + I Pa = Re [ VI*] = Veff Ieff cos f -p /2 p /2 V j Infatti, in questo caso si ha Potenza attiva in funzione di f y V -p p p(t) = Re [ VI e j2w t ] + Re [ VI*] I f w = 0 , V = V (reale) , I = I (reale) 1 1 1 1 2 2 2 2 = Re [ V I ] + Re [ V I] Im p(t) Andamento potenza istantanea p(t) Andamento potenza istantanea p(t) = ½ Re[VI e j2w t ] + Pa La potenza attiva Pa è pari al valore medio di p(t) Pa L’oscillazione ha periodo T/2 poiché la frequenza è doppia di quella di v(t) e i(t) Re 1 t 2 T/2 Potenza attiva Pa(f) = Pa(- f) funzione pari = V I potenza attiva in Watt (W) La media deve essere fatta su un intervallo pari a k T/2 (k intero) oppure La media deve essere fatta su un intervallo molto maggiore di T L’ampiezza dell’oscillazione è pari a ½VI = veff ieff> | Pa |

  16. Q Pa = Re [ VI*] + Q = Im [ VI*] = Veff Ieff sin f Pc = VI* V potenza complessa -p -p /2 ove si è posto Potenza reattiva in funzione di f p /2 p f I w t = 2 p f t = 2 p t / T La potenza complessa è una grandezza vettoriale Pc = Pa + j Q Q = Im [ Pc ] Potenza apparente potenza reattiva Q = Im [ VI*] = V I sin (j – y ) = Im [ V e jjI e - jy] Q = Im [ VI*] 1 1 1 1 1 Papp = V I 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Q = V I sin f Potenza complessa e reattiva = Re [ Pc] Q(f ) = - Q(- f ) funzione dispari potenza reattiva volt-ampère reattivi (VAR) = Veff Ieff La potenza apparente è utilizzata per caratterizzare quei dispositivi in cui interessano i moduli di tensione e corrente, ma non la loro differenza di fase = Veff Ieff sin f potenza apparente volt-ampère (VA)

  17. + R v(t) = R i(t) V = R I j = y Nel dominio dei fasori V = R I Il vettore della tensione V e il vettore della corrente I sono in fase v(t) = R i(t) V =R I In un resistore, il modulo della tensione è pari al modulo della corrente moltiplicato per R v(t), i(t) I Im In regime permanente V Re[ V e jw t ] = R Re[ I e jw t ] t In un resistore, la fase della tensione è uguale alla fase della corrente essendo R reale Re = Re[ R I e jw t ] Resistore v(t) = R i(t) Nel dominio del tempo V = R I V e jj = R I e jy Se si considerano i vettori rotanti associati a V e I , anche questi rimangono in fase per ogni t , essendo la frequenza la stessa V = R I j = y

  18. + R V = R I Potenza reattiva Q = Im [ VI*] = Im [ RII*] = 0 Pa = Re [ VI*] = Re [ RII*] = p(t) Si ricordi che II* = | I |2 = I 2 Pa Andamento della potenza istantanea p(t) su un resistore f = 0 cos f = 1 = RI 2 = R Ieff2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 t Si ricordi che II* è reale Resistore (potenza) Potenza attiva = GVeff2 potenza attiva in Watt (W) Si ricordi che j = y e quindi f = j – y = 0

  19. L V + v(t) = L d i(t) / d t v(t) = L d i(t) / d t Nel dominio del tempo d Re[ V e jw t ] = L Re[ I e jw t ] = d t = Re[LI e jw t ] d V = w L I j = y + p/2 V= j w L I Nel dominio dei fasori d t V= j w L I v(t) = L d i(t) / d t In un induttore, il fasore della corrente I è in ritardo di fase di p/2 (90°) rispetto al fasore della tensione V In un induttore, il fasore della tensione V è pari al fasore della corrente I moltiplicato per l’impedenza dell’induttore j w L In regime permanente v(t), i(t) I Im i v p/2 L è reale e I è costante t Re V = w L I ; j = y + p / 2 In un induttore, la fase j della tensione è pari alla fase y della corrente più p / 2 Induttore V= j w L I w Lreattanza j w Limpedenza V e jj = j w L I e jy j = e jp / 2 In un induttore, il modulo della tensione V è pari al modulo della corrente I moltiplicato per la reattanza dell’induttore w L Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo V e jj = w L I e j (y +p /2) = Re[ j w LI e jw t ] In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di V e dopo 90° quello di I V= j w L I

  20. L + V= j w L I Potenza attiva Potenza reattiva Q = Im [ VI*] = Im [ jwLII*] = > 0 = w LI 2 = w L Ieff2 Pa = Re [ VI*] = Re [ jwLII*] = 0 p(t) La potenza reattiva assorbita da un induttore non è mai negativa Andamento della potenza istantanea p(t) su un induttore f = p /2 cos f = 0 1 1 1 1 1 t 2 2 2 2 2 Induttore (potenza) potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR) Pa = 0

  21. + C I I= j w C V V i(t) = C d v(t) / d t Nel dominio del tempo i(t) = C d v(t) / d t d Re[ I e jw t ] = C Re[ V e jw t ] = d t = Re[CV e jw t ] d I = w C V y = j + p/2 I= j w C V Nel dominio dei fasori d t I= j w C V i(t) = C d v(t) / d t In un condensatore, il fasore della corrente I è in anticipo di fase di p/2 (90°) rispetto al fasore della tensione V In un condensatore, il fasore della corrente I è pari al fasore della tensione V moltiplicato per l’ammettenza del condensatore j w C In regime permanente v(t), i(t) j = e jp / 2 Im i p/2 v C è reale e V è costante I e jy = w C V e j (j +p /2) t Re I = w C V ; y = j + p / 2 In un condensatore, la fase y della corrente è pari alla fase j della tensione più p / 2 Condensatore w Csuscettanza j w Cammettenza I e jy = j w C V e jj In un condensatore, il modulo della corrente I è pari al modulo della tensione V moltiplicato per la suscettanza del condensatore w C Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo = Re[ jw CV e jw t ] In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di I e dopo 90° quello di V I= j w C V

  22. + C I= j w C V Potenza attiva Potenza reattiva Q = Im [ VI*] = Im [- jwCVV*] = < 0 = - w CV 2 = - w C Veff2 Pa = Re [ VI*] = Re [- jwCVV*] = 0 Si ricordi che I* = - j w C V* p(t) Andamento della potenza istantanea p(t) su un condensatore f = - p /2 cos f = 0 La potenza reattiva assorbita da un condensatore non è mai positiva 1 1 1 1 1 t 2 2 2 2 2 Condensatore: potenza potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR) Pa = 0

  23. Le formule in regime permanente degli induttori e dei condensatori si possono ricavare in base al principio di dualità, eccetto quelle relative alla potenza reattiva ( Q = ½ Im [VI*] non è invariante rispetto allo scambio di V e I ) Condensatore Induttore A frequenza f = w / 2 p = 0 , le tensioni e le correnti sono costanti e si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua (c.c.). definizione Equivalenze corr. cont.w = 0 Impedenza Z = V / I freq. infinitaw = Z = j w L Reattanza Im [ V / I ] In alcune applicazioni, si considera il caso di una frequenza molto elevata, che si può indicare come regime di frequenza infinita f = w / 2 p = Ammettenza Y = I / V Z = 1 / j w C Suscettanza Im [ I / V ] circuito aperto circuito aperto corto circuito corto circuito Dualità in regime permanente Esempio: V = j w L I è duale rispetto a I = j w C V j w L 1 / j w C w L - 1 / w C 1 / j w L j w C I regimi in corrente continua (c.c.) e di frequenza infinita sono duali. w C - 1 / w L

  24. Im I IL RS RSI + VL V V RP L I IR d IL Re + Si assegni un valore arbitrario a IL Induttore ideale per La scelta di un valore arbitrario per IL non è una limitazione. Im V IR VL 0 RS I Il nuovo diagramma differisce dal precedente per un fattore di scala e una rotazione. I rapporti fra le ampiezze e le differenze delle fasi sono rimaste invariate (in particolare l’angolo d ) d VL RP IL Si definisce fattore di merito dell’induttore Re QL = tg d per l’induttore ideale Induttore reale VL = j w LIL IR =VL / RP I=IL + IR V=VL + RSI

  25. Im I IC IR IC I R C d V Re + Si assegni un valore arbitrario a V IR V Condensatore ideale per R Si definisce fattore di merito del condensatore QC = tg d per il condensatore ideale Condensatore reale IC = j w CV IR =V / R I=IC + IR

  26. In regime permanente si ha ZCB = j w LRP/ (j w L+RP ) A I1 C + I V = ZI V + ZAB = ZCB + RS = I2 V B Connessioni elementari Esempio L’impedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della corrente, permette di ottenere il fasore della tensione Parallelo Serie I RS + + Y= Y1 +Y2 Z= Z1 +Z2 Y1 Z1 Z2 Y2 I1 =Y1 V ; I2 =Y2 V RP L V1 V2 Connessioni elementari Zimpedenza Y =1 / Z I = YV Yammettenza = j w LRP/ (j w L+RP ) + RS ammettenza in Mho (W -1) impedenza in Ohm (W) L’ammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della tensione, permette di ottenere il fasore della corrente V1 =Z1 I ; V2 =Z2 I I1 +I2 = (Y1 +Y2)V 1/Z= 1/ Z1 +1/Z2 V1 +V2 = (Z1 +Z2)I 1/Y= 1/ Y1 +1/Y2 Y= Y1 +Y2 Z= Z1 +Z2 Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria. Y= Y1 +Y2 Z= Z1 +Z2 Z= Z1 Z2 / (Z1+Z2 ) Y= Y1 Y2 / (Y1+Y2 ) Y= Y1 Y2 / (Y1+Y2 ) Z= Z1 Z2 / (Z1+Z2 )

  27. Potenza attiva in funzione diY + I V = ZI Pa = Re [ VI*] Pa = Re [ VI*] I = YV Z V Potenza reattiva in funzione diZ Si ricordi che Potenza reattiva in funzione diY Q = Im [ ZII*] = Q = Im [Y* VV*] = Pa = Re [ ZII*] = Pa = Re [ Y* VV*] = V = ZI Q = Im [ VI*] Q = Im [ VI*] Y I* = Y* V* I = YV = Im [ Z] I2 = Im [ Z] Ieff2 = Re [ Y] V 2 = Re [ Y] Veff2 = Re [ Z] I2 = Re [ Z] Ieff2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - Im [ Y] V 2 = - Im [ Y] Veff2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Potenza (impedenza, ammettenza) Potenza attiva in funzione diZ Re[Y*] = Re[Y] Im[Y*] = -Im[Y]

  28. A I VAB B Pa = Veff Ieff cos f + L Rg Carico Im + I R V V Vg VL Carico C Carico B Carico A f I VR Re Rifasamento Impianti di distribuzione dell’energia elettrica Rg tiene conto della resistenza interna del generatore reale e di quella della linea di alimentazione. I carichi sono generalmente schematizzabili con un resistore in serie a un induttore parassita La potenza utile erogata ai morsetti AB è la potenza attiva. Occorre fare in modo che VAB e I siano il più possibile in fase (cos f = 1, al generatore). Ciò si ottiene con il rifasamento dei carichi. Q = Veff Ieff sin f cos f < 1

  29. Si determini la capacità C in modo da rifasare il circuito Si assegni un valore arbitrario alla tensione V R V Rg V L + + + Rg + L + Risulta V C // I g V R Vg V C R C I C corrente corrente tensione tensione I = V R / R Im Im Im Im Il rifasamento rende minimo il modulo Ig I Ig direzione di I C V Rg V g minimo I C Direzione di I C : f I g V g direzione di V C ortogonale aV C V Rg Ig I g V L V L Direzione di I g : V C V C I C parallela aV C V R V R I I I Re Re Re Re Rifasamento ; V g // I g V g e I g non sono parallele Se V C // I g allora anche V g // I g Si è ottenuto cos f = 1 Il circuito è rifasato cos f < 1 : il circuito non è rifasato V L = jwL I V C = V R +V L I C = jwC V C I g = I +I C V Rg = RgI g V g = V Rg +V C

  30. Si consideri il bipolo visto dai morsetti AB Im V Rg A A V L + V C + + Rg + L L + V R Il bipolo è rifasato quando l’impedenza ZAB (o l’ammettenza YAB ) è puramente reale V L ZAB Vg V C I C R R I V R Re B B C C I C Calcolo della capacità C Calcolo della capacità C Metodo grafico Metodo analitico I Ig C = I C / (w V C ) = 0 per C = L / (R2 + w2L2) VC = I R2 + w2L2 VC = VR2 + VL2; VL = wL I C = L / (R2 + w2L2) VC = IC (R2 +w2L2) /wL I = IC R2 + w2L2 /wL = I R2 + w2L2 / wLI Per il calcolo di C sono state usate solo grandezze del bipolo a destra dei morsetti AB Rifasamento : si calcoli YAB = 1 /ZAB Si considerino solo i moduli delle grandezze YAB = j w C + 1 / (R + jwL) I C = w C V C = j w C + (R - jwL) / (R2 + w2L2) Im [YAB] = w C - wL / (R2 + w2L2) ; ZAB= (R2 + w2L2)/R In questo caso si ha YAB= R / (R2 + w2L2) I /IC = VC /VL Il bipolo rifasato è equivalente a un resistore Re = (R2 + w2L2) /R

More Related