Sannsynlighetsregning

1. Normative modeller Rasjonelle vurderinger Deskriptive modeller Faktiske vurderinger Sannsynlighetsregning

2. Sannsynlighetsregning i hverdagen • Når noe skal skje ”rettferdig” lar vi ofte ”tilfeldighetene råde” • Slå mynt og kron • LOTTO-trekning • Sannsynlighet og gunstige valg

3. Utfallsrom • En opplisting av hvilke utfall som er mulige • S = det totale utfallsrom • Mulige utfall kalles elementer • Eksempler: • Terningkast: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Kaste en mynt: S = {mynt, kron} • LOTTO-tall: S = {1, 2, 3,…, 32, 33, 34}

4. Generelt • Det totale utfallsrommet S består av m elementer • P(A) = sannsynligheten for at begivenhet A skal inntreffe • Begivenheten A består av k elementer • 0  P(A)  1 • P(S) = 1

5. Uniforme sannsynlighetsmodeller • Alle utfall har like stor sannsynlighet for å inntreffe • Symmetriske utfallsrom

6. Beregning av sannsynlighetved symmetriske utfallsrom P(A) = sannsynligheten for at hendelse A skal inntreffe k = antall elementer i hendelse A m = antall mulige utfall i S

7. Eksempel: terningkast • Utfallsom: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, m = 6 • A = terningen viser like antall øyne • Like antall øyne: A = {2, 4, 6}, k = 3

8. Mengdelære S • Union: A union B: alle elementer som er med i A, eller B, eller i begge • Snitt: A snitt B: alle elementer som samtidig er med i både A og B A B S B A x

9. _ • A komplement: ikke A: alle utfall som ikke er med i A S _ A A

10. Når A og B er gjensidig utelukkende: P(A union B) = p(A) + P(B) P(A snitt B) = Ø Ø = den tomme mengde Når A og B ikke er gjensidig utelukkende: P(A union B) = p(A) + P(B) – P(A snitt B) Regneregler S A B S A x B

11. _ P(A) = 1 – P(A) P(S) = 1 _ P(S) = P(A) + P(A) = 1 ___ => P(A) = 1 – P(A) Forts. regneregler S _ A A

12. Sannsynlighet for samtidige eller påfølgende hendelser Generelt: P(A snitt B) = P(A) · P(B) Gjelder når A og B er statistisk uavhengige To hendelser er statistisk uavhengige hvis: P(A|B) = P(A) eller hvis P(B|A) = P(B)

13. ”Tre-diagram”

14. Ordnede versus ikke-ordnede utvalg uten tilbakelegging • Ordnede utvalg: rekkefølgen av uttrekkingen av utvalget har en betydning • Eksempel: trekking av 1. og 2. premie • Ikke-ordnede utvalg: rekkefølgen av uttrekningen har ikke betydning • Eksempel: trekking av LOTTO-tall

15. Trekking med og uten tilbakelegging

16. Regneregler for antall kombinasjonsmuligheter ved trekking uten tilbakelegging • Antall ordnede utvalg: (n)r = n(n – 1)…(n – r + 1) (1) • Antall ikke-ordnede utvalg:

17. Eksempel: Valg av styre: antall mulige styrer versus antall styresammensetninger

18. Betinget sannsynlighet Sannsynligheten for B gitt A: sannsynligheten for B gitt at A har inntruffet

19. Eksempel: betinget sannsynlighet