HOMOMORFISMA GRUP ( Lanjutan )

1. HOMOMORFISMA GRUP (Lanjutan)

2. Teorema VII.2 Misalkan < G, . > grupdan < B,* > sistemaljabardenganoperasi *. Makafungsif : GBmengawetkanoperasimakaIm(f) merupakangrupterhadapoperasi * yang termuatdalamsistemB. Bukti: • DengansedikitperubahanpadapembuktianTeorema VII.1 makadapatdibuktikansifatketertutupan, identitasdanhukuminvers. Tinggaldibuktikanbahwahukumassosiatifberlaku. • Misalkanf(a), f(b), f(c) dalamf(G). • Padasatusisi, • ( f(a)*f(b) ) * f(c) = f(ab)*f(c) = f((ab)c) • Sedangkanpadasisi lain, • f(a) * (f(b)*f(c)) = f(a)*f(bc) = f(a(bc)) • KarenaGgrupmaka (ab) c = a (bc) sehinggakeduahasildiatassama.

4. Definisi VII.4 • Misalkanf : GHhomomorfismagrup. Intidarifatau Ker(f) didefinisikansebagaianggotaG yang dipetakanolehfkeanggotaidentitasdariHyaitu Ker(f) = { xG | f(x) = e }. Contoh VII.7 • Biladidefinisikanpemetaanf : Z20* Z20* denganf(x) = x2 makadenganmenggunakanmetodetrial and errorakandiperoleh Ker(f) = { 1, 9, 11,19 }.

5. Teorema VII.3 Jikaf : G Hhomomorfismagrupmaka Ker(f) grupbagiandariG. Bukti : Akandibuktikanbahwaedalam Ker(ƒ). • Telahditunjukkanbahwaf(e) = e. • AkibatnyaidentitasedalamGmerupakananggota Ker(f).

6. Akanditunjukkanbahwa Ker(ƒ) tertutup. Misalkanx, ydalam Ker(f). Karenax, ydalam Ker(f) makaf(x) = edanf(y) = esehingga (xy) = f(x) f(y) = ee= e. Olehkarenaitu , xydalam Ker(f). Akanditunjukkanbahwa Ker(ƒ)mengandunginversdarianggotanya. Misalkanxdalam Ker(f). Karenaxdalam Ker(f) makaf(x) = esehingga f(x) = e f(x) f(x-1) = ef(x-1) f(xx-1) = f(x-1) f(e)= f(x-1) e= f(x-1) Berartix-1dalam Ker(f).■

8. Teorema VII.4 • Misalkanf : G Hhomografismagrupdenganpetaf(g). Sifat-sifatberikutiniberlaku : • JikaGberhinggamakaordedarif(G) membagiordeG. • JikaGsiklikmakaf(G) siklik. • JikaaGmempunyaiordeberhinggamaka order darif(a) membagiorder a. • JikaGabelianmakaf(G) abelian.

10. Contoh VII.8 : • Fungsi f : denganf(x) = 8xmerupakanhomomorfisma 2 ke 1. • Karenaf(0) = 0 danf(5) = 0 maka K=Ker(f) = { 0, 5 }. Kosetdari K dibawakeanggotadaripetafyaitu 10 anggotadibawadalam 2 ke 1 carake 5 anggotapetaf. { 0 , 5 }  0 { 1 , 6 }  8 { 2 , 7 }  6 { 3 , 8 }  4 { 4 , 9 }  2

11. Teorema VII.5 Misalkanf : G Hhomomorfismagrupdenganinti Ker(f) danpetaf(G). Sifat-sifatberikutiniberlaku : • Fungsifinjektifjikadanhanyajika Ker(f)={ 0 } • JikafinjektifmakaGisomorfisdenganf(G).

13. Contoh VII.9 : • Didefinisikanpemetaanf : ZZdenganaturanf(x) = 3x. • Karenaf(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y = f(x) + f(y) makafhomomorfisma. • Penyelesaianpersamaan 3x = 0 adalahx = 0 sehingga Ker(f) = { 0 } ataufinjektif. • DenganmenggunakanteoremamakaZisomorfisdengan Im(f) = { 3x | xdalamZ } = (3) yang merupakangrupbagiansejatidariZ.■

14. Soal VII.1 • Misalkandiketahui R himpunanbilangan real dan R* = R – {0}. • Didefinisikanf : R*  R* denganf(x) = x2Buktikanfhomomorfismatetapiftidakinjektif. Jawab : • BerdasarkanContoh VII.4, denganmengingat R* grupterhadapoperasiperkalianmakafhomomorfismatetapi Ker(f) = { x R* | f(x) = x2 = 1 } = { 1, -1 } ≠ { 1 } sehinggaftidakinjektif.

16. Latihan • Tentukanfungsiinihomomorfismaataubukan. • f : ZR* denganf(k) = 2 . • f : RRdenganf(x) = x . • f : ZZdenganf(k. 1) = k. 1. • Jikapadasoalnomor 1 diatashomomorfismamakatentukanintinya.

17. Diketahuif : RR+denganf(x) = 2-x. Tunjukkanbahwa f homomorfisma yang injektifdenganuji kernel.

18. TERIMA KASIH