La construction du nombre à l’école maternelle

1. La construction du nombre à l’école maternelle

2. Epistémologie • Théorie de la connaissance, approche historique de la production des savoirs. • Selon Kant (Critique de la raison pure) : « le vrai centre de la connaissance est le sujet et non une réalité par rapport à laquelle nous serions passifs. Ainsi, dans le temps,aucune connaissance ne précède l'expérience, et toutes commencent avec elle ».

3. Epistémologie du nombre • Les théories socioconstructivistes de l’apprentissage s’appuient sur l’approche épistémologique de la construction des savoirs. Tout sujet apprenant le nombre doit se poser les mêmes questions que ses inventeurs pour le comprendre. • Piaget : Le nombre est au service de la construction du réel (en le quantifiant, en le mesurant) donc dépendant de l'accumulation d'expériences.

4. Histoires • Dans cette optique, on peut établir un parallèle entre l’histoire de l’humanité et l’histoire scolaire (le cursus de l’élève) pour la construction du nombre.

5. Représenter plusieurs « mêmes » Au début de la P.S. Représentation et « perception globale » d’une petite quantité sans nécessairement utiliser le dénombrement, une conceptualisation ou une symbolisation du nombre. Cf. Premiers pas vers les maths de Rémi Brissiaud

6. Les étapes de la construction du nombre • Avec le développement du commerce (troc), de l’agriculture, etc. Situation de besoin : comment symboliser, conserver une trace, mémoriser, communiquer une quantité (ou une position) ?

7. Représenter / simuler une quantité Première abstraction des choses du réel

8. Représenter et coder une quantité Écrire, garder en mémoire, communiquer

9. Les étapes de la construction du nombre • Le nombre s’impose au quotidien Evolution de la trace : comment la rendre pratique (symbole) et efficace (système) ?

10. Faire évoluer la représentation Vers une formalisation adéquate

11. Les étapes de la construction du nombre • Le nombre s’impose au monde (du local, au régional… vers l’universel) Quel système de représentation est le plus efficace ? Quelle culture commune adopter ?

12. Vers la numération décimale Le code commun culturel de l’humanité

13. Le jeu des pharaons - jeu de Senet (2000 avant J.C.) Les étapes de la construction du nombre • Quels autres usages du nombre ?

14. Les étapes de la construction du nombre • « J’invente le nombre » C’est l’émergence du besoin, d’une nécessité. • « J’utilise le nombre » C’est l’omniprésence de ce besoin au quotidien. • « Je joue avec le nombre » C’est le détournement de l’utilitaire vers le ludique.

15. Epistémologie du nombre • Ces étapes épistémologiques (naturelles) de la construction du nombre (besoin > vécu > plaisir) sont aussi les moteurs de l’apprentissage. • Il s’agit donc pour l’enseignant de proposer aux élèves des situations qui vont l’amener à inventer le nombre, vivre avec le nombre et jouer avec le nombre. • Qu’en disent les programmes ?

16. Les programmes • Approcher les quantités et les nombres • L’école maternelle constitue une période décisive dans l’acquisition de la suite des nombres (chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification. Les enfants y découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets. […]

17. Quelles situations en classe ? A quelles situations de classe correspondent ces trois étapes ? • Besoin > Vécu > Plaisir Approcher les quantités et les nombres […] Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. […] jeux activités de la classe problèmes

18. Epistémologie : une chronologie ? • Peut-on en conclure que la trame épistémologique constituerait une programmation pour l’école maternelle ? Dans un premier temps, l’élève inventerait et s’approprierait intellectuellement le nombre (un besoin, une nécessité). Dans un second temps, il s’en servirait au jour le jour (vie de classe). Enfin, il jouerait avec les nombres. • Non ! Car la différence fondamentale est qu’à son entrée à l’école maternelle, le nombre existe avant que l’élève ne « l’invente » : un environnement et quelques premiers acquis culturels sont déjà là. Cela sous-entend également que le maître aura la responsabilité d’assurer quotidiennement la continuité de ce bain culturel. La trame épistémologique ne peut donc pas être un carcan chronologique… • Cependant, cette trame constitue un axe directeur…

19. Viviane Bouysse Transcription de l’extrait vidéo présenté au cours de l’animation pédagogique « A l’école maternelle, les nombres sont essentiellement liés aux usages que l’on en a. On compte pour faire quelque-chose : on met des numéros, on utilise des nombres quand on mesure (par exemple quand on pratique le jardinage) […]. Ce n’est pas le nombre vu d’une manière conceptuelle, dans sa structure logique. Ce n’est pas l’étude de l’écriture du nombre : pourquoi trente s’écrit avec un trois et un zéro ? Ce n’est pas un objet d’étude à l’école maternelle ; ça le deviendra après. Par contre à l’école maternelle, c’est quand on compte, c’est le numéro du jour […]. C’est un outil de l’expérience. L’école maternelle fait rentrer dans l’univers des mots et des symboles ».

20. Le nombre « pour »… • A l’école maternelle, quelle que soit la situation proposée, le nombre est un OUTIL plus qu’un OBJET D’ETUDE. • Les programmes de l’école maternelle ne parlent d’ailleurs pas de « mathématiques » mais de « découvrir le monde ».

21. Le nombre « pour »… • Comparer • Partager / Distribuer • Mémoriser / Communiquer • Anticiper une réunion / augmentation • Ordonner Les « fonctions » du nombre

22. Retrouve-t-on ces cinq fonctions dans les différentes situations proposées aux élèves ? Dans les Situations problèmes ? Dans les Situations de classe ? Dans les Situations ludiques ?

23. Situations problèmes • Définition Situation inédite et concrète. C’est toute la séance qui est consacrée à la recherche de la solution au problème. G. Vergnaud : « situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèse et de vérification, pour produire une solution » F. Boule : « un problème est une situation qui fait sens pour celui qui tente d’y répondre ».

24. Situations de vie de classe • Le rôle du milieu (du bain) culturel est reconnu en ce qui concerne l’apprentissage de la langue : « L’enfant apprend d’autant mieux qu’il se trouve placé dans des contextes plus riches, plus exigeants au plan intellectuel ; et c’est parce que produire lui est indispensable qu’il s’approprie ce qu’il entend et, par analyses successives, parvient à en organiser la complexité ». des nombres :

25. Situations de classe • L’interdisciplinarité S’approprier le langage / découvrir l’écrit Devenir élève Agir et s’exprimer avec son corps Découvrir le monde Percevoir, sentir, imaginer, créer

26. Situations de classe • La vie de classe « Rituels » et responsabilités Le sens des rituels La multiplicité des responsabilités

27. Situations « ludiques » • Les jeux de société Ex.: le jeu de l’oie • Les autres activités ludiques Ex.: les points à relier

28. Le jeu « scolaire » • Les 5 caractéristiques du jeu d’après G. Brougère : La règle : indispensable pour la structuration du jeu. La fiction « réelle » : faire semblant. L’adhésion : il n’y a jeu que si le joueur le décide. La frivolité : le contenu n’a pas de conséquence sur la réalité. L’incertitude : on ne sait pas comment il va finir. En quoi le jeu scolaire est-il différent du jeu à la maison / en récréation ? Quelles caractéristiques du jeu conserve-t-on dans le cadre scolaire ? ( )

29. Situations de jeu (de société) • Le jeu est une situation de référence avec une règle définie et un / des objectif(s) d’apprentissage. Il y a un critère de réussite et donc souvent un gagnant (et un perdant). • Cette situation peut évoluer. Variables - de l’exploitation du jeu (cartes, dés, etc.) - variables problèmes (ex.: suppression des jetons pour comptabiliser le score > comment savoir qui gagne ?).

30. Rappels chrono-logiques • Même si les frontières sont floues dans les pratiques de classe entre les différentes situations et que la situation problème ne constitue pas systématiquement l’unique entrée dans l’apprentissage, épistémologiquement, il y a une dominante chronologique des étapes de la construction du nombre qui suit davantage le sens « besoin > vécu > plaisir » qu’un autre. Accès au sens >>> pratique

31. Rappels chrono-logiques La logique épistémologique « besoin > vécu > plaisir » ne doit pas être un carcan mais constitue une trame chronologique souple. Exemples : Une situation de vie quotidienne peut inspirer une situation problème (la feuille de cantine, le sachet de bonbon…). Elle est alors « transformée » par l’enseignant en une situation problème (séance spécifique avec un objectif « mathématique »). De même pour une situation de jeu. Inversement, une situation problème de commande (la fabrique) une fois bien intégrée, peut être réactivée dans un autre champ disciplinaire (ex.: bon de commande pour recomposer l’image d’un insecte pour des MS). Dans ces deux exemples, l’enseignant reste peu ou prou dans le cadre épistémologique de la construction du nombre : Accès au sens > pratique A contrario, on ne peut décemment pas appuyer tous les apprentissages d’une fonction du nombre (ex.: communiquer) par l’exclusivité de la pratique de jeux. Des situations authentiques doivent nécessairement être proposées en amont, dont certaines feront l’objet de l’ « invention » d’un code commun qui évoluera. La programmation doit en tenir compte.

32. Il faut donc rechercher un équilibre dans la programmation visant à aborder les 5 fonctions du nombre à travers les trois grandes familles de situations. Situations problèmes Situations de classe Situations ludiques

33. Constats • Où sont les manques et besoins dans nos pratiques de classe ? Quelques propositions…

34. Des situations problèmes • Pour mémoriser / communiquer : jeux de commande Ex.: le couvert, les garages, l’usine / la fabrique, les superpositions… • Pour ordonner : situations de positionnement Ex.: boîtes d’allumettes, bandelettes / tableaux… • Pour comparer : situations de quantification Ex.: le trésor, la chasse aux objets en orientation… • Pour partager / distribuer : répartir un capital Ex.: répartir les livres de la BCD, la fin du sachet de bonbons… • Pour réunir / augmenter : situations d’anticipation Ex.: deviner l’autre face du dé, la banque au jeu de la marchande…

35. Variables récurrentes des situations problèmes Pour faire émerger la nécessité de : - Symboliser - Communiquer - Garder une trace / de mémoriser - Passer du dessin au symbole - Faire évoluer le codage (système) - S’accorder sur le système • La mise à distance • Le report dans le temps • La taille des collections • Agir ou non sur les objets La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. BO du 19 juin 2008

36. Des situations de vie de classe • Pour mémoriser / communiquer : Les présences ; tableau de fréquentation / de service ; cantine… • Pour ordonner : Trouver une page ; utiliser le calendrier ; le rang en EPS… • Pour comparer : Goûter, scores en éducation physique ; la croissance du vivant… • Pour partager / distribuer : Goûter ; matériel / équipes en EPS, arts visuels, récréation… • Pour réunir / augmenter : Score total de plusieurs parties espacées en EPS…

37. Des jeux de société • Pour mémoriser / communiquer : La cible (noter son score pour le retenir au cours du jeu)… • Pour ordonner : Skip-Bo, Coda / Algo, l’âne, Rummikub, Course aux valises… • Pour comparer : La justice, Le trèfle, La dizaine… • Pour partager / distribuer : Tous contre la pioche, Les porte-manteaux… • Pour réunir / augmenter : Le Matador, Sept le héros, le saut de la mort, fermez la boîte, le 12 barré, l’as éliminé, le 1 maléfique… cf. Jeux de société et apprentissages numériques de M. Corbenois

38. Les fonctions du nombre communes à l’ensemble (ou presque) des jeux • Pour mémoriser / communiquer : Les fiches de score… • Pour ordonner : Le « podium » du jeu (le 1er, le 2ème, le 3ème…) • Pour comparer : Des scores, des dés pour commencer… • Pour partager / distribuer : Distribution des cartes (à verbaliser / conscientiser notamment par le biais de l’écriture de la règle du jeu)… • Pour réunir / augmenter : Dès l’introduction d’un deuxième dé…

39. CONCLUSION • Le nombre se construit dans des contextes de sens que l’enseignant met en œuvre à travers une diversité de situations (problèmes, vie de classe, jeux) qu’il équilibre et articule logiquement dans sa programmation. • Quelles que soient les situations proposées, la verbalisation (métacognition) est essentielle. L’accompagnement qu’assure l’enseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la prise de conscience. BO du 19 juin 2008

40. Nota bene • Même si les « nombres » sont moins un OBJET D’ETUDE qu’un OUTIL en maternelle, certains savoirs et savoir-faire mathématiques se construisent en parallèle et notamment sur des temps spécifiques d’apprentissage. L’accès au sens et l’acquisition des automatismes ne sont pas antinomiques. Présentation du B0 du 19 juin 2008 Ex.: les comptines numériques, les jeux de doigts, la perception de l’algorithme des nombres, des jeux spécifiques autour de la suite numérique…

41. CONCLUSION De manière plus générale encore, l’école maternelle a pour objectif de construire tous les savoirs dans des contextes qui prennent sens parce que les élèves en éprouvent le besoin, parce qu’ils découvrent un monde dans lequel ce besoin est quotidien et parce que ce savoir peut être source de plaisir.

42. Références R. Brissiaud, Premiers pas vers les maths, RETZ, 2007. M. Corbenois, Jeux de société et apprentissages numériques, Bordas, 2003. Ermel, Apprentissages numériques Grande Section de maternelle, Hatier.

43. Coda / Algo / Code de Vinci

44. Rummikub

45. Temps spécifiques

46. L’ÂNE • Jeu traditionnel de 52 cartes - 3 à 8 joueurs • Le donneur, tiré au sort, distribue les cartes une à une. Certains joueurs peuvent avoir une carte de plus que les autres. On utilise les cartes dans l’ordre croissant de l’as au roi. Les joueurs en possession d’as les posent, face visible, sur la table. Sur chaque as, on pose le 2 de sa couleur, puis le 3 et ainsi de suite jusqu’au roi. Celui qui le premier se débarrasse de ses cartes est le gagnant.

47. LA JUSTICE • 9 dés - 3 joueurs – jetons • Chaque joueur prend 3 dés et 5 jetons. A tour de rôle chacun lance un (ou 2 ou 3) dé(s). Celui qui obtient le total le plus élevé commence la partie qui tourne ensuite dans le sens des aiguilles d’une montre. • Le premier joueur lance ses 3 dés, il compte alors le total des points qu’il a obtenu. Puis c’est au tour du suivant de jouer. Le joueur qui obtient le meilleur score met un de ses pions dans le pot. S’il y a égalité entre deux joueurs, ils donnent tous les deux un pion au pot. Le premier joueur qui arrive à se débarrasser de tous ses pions a gagné.

48. LE TRÈFLE • 4 dés - 3 joueurs – jetons • Chaque joueur met 11 jetons au pot. Chacun lance à son tour. S’il est fait moins de 11, le joueur prend 2 jetons au pot. S’il est fait plus de 11, les deux autres joueurs prennent chacun un jeton au pot. S’il est fait 11, personne ne prend de jetons. Le dernier jeton du pot est joué par chacun sur un coup sec et attribué à celui qui fait le plus de points. Le gagnant est celui qui a le plus de jetons.

49. LA DIZAINE • 3 dés – joueurs illimités – jetons • On désigne un banquier et les pontes jouent contre lui. Chaque ponte a le même nombre de jetons, le banquier en a autant que l’ensemble des autres joueurs. Chaque ponte dépose devant lui la mise qu’il veut jouer. Le banquier lance les dés: s’il fait moins de 10, il paye aux pontes le double de leur mise ; s’il fait 10 ou plus, il ramasse toutes les mises. Celui qui n’a plus de jetons est éliminé.

50. TOUS CONTRE LA PIOCHE • Cartes - dés - 3 joueurs - une boîte • La pioche est un joueur. Un des élèves lance le(s) dé(s) et tire autant de cartes que le score indiqué par le(s) dé(s). Il faut distribuer les cartes équitablement à tous les élèves autour de la table. S’il y a un reste, il est donné à la pioche en constituant un deuxième tas dans la boîte avec les cartes défaussées. Le jeu continue dans le sens des aiguilles d’une montre et se termine lorsqu’il n’y a plus de carte. On compare le score de la pioche à celui de chaque élève (ou de l’équipe, selon les variables introduites). • Variables : • Le nombre et le type de dés (constellé / chiffré, nombre de faces…). • On donne uniquement le reste à la pioche ou l’intégralité de la quantité si cela ne tombe pas juste (si cela tombe juste -sans reste- les enfants se partagent les cartes, sinon, la pioche remporte tout). Ex. avec 2 dés à 6 faces et 2 joueurs : tous les nombres pairs sont gagnés par les élèves, les nombres impairs par la pioche. Dans ce cas, en fin de partie, on compare le score de la pioche à celui de l’ensemble des joueurs / l’équipe). • Le nombre de joueurs (nombre diviseur) : entre 2 et 5. Attention : selon les variables introduites, il faut s’assurer que les élèves ont statistiquement (ou presque) une chance sur deux de gagner. Ex.: avec 5 joueurs et 3 dés à 6 faces, on compare le score final de la pioche à celui de chaque joueur.