Mængder: Begreber og notation

1. Mængder:Begreber og notation Definition En mængde er en afgrænset samling af elementer. Eksempel A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 3  A (“3 er et element i A” – “3 tilhører A”) 0  A(“0 er ikke et element i A” – “0 tilhører ikke A”) Definition Ø er den tomme mængde: Ø = { } Mængder og multimængder

2. Mængder:Begreber og notation Eksempel A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } Eller A = { x | x er et heltal mellem 1 og 9 } Eller A = { x | x er et heltal og 1  x  9 } “Mængden af x hvorom det gælder” Mængder og multimængder

3. Mængder:Begreber og notation “Mængden af ulige tal?” Eksempel B = { 3, 5, 7,… } Eller B = { x | x er et ulige tal større end 1 } Eller B = { x | x er et ulige tal og x > 1 } “eller mængden af primtal?” Mængder og multimængder

4. Delmængder • A = B hvis x  A  x  B • A  B hvis x  A  x  B (A er en delmængde af B) • A  B hvis A  B og A  B (A er en ægte delmængde af B) Mængder og multimængder

5. Talmængder • N = de naturlige tal = {1,2,3,4,5,...} • N0 = {0,1,2,3,4,....} • Z = de hele tal = { ...-3,-2,-1,0,1,2,3,... } • Q = de rationale tal= { q | q = n/m og n og m er heltal } (“brøker”) • R = de reelle tal • [ 3..8 ] = { 3,4,5,6,7,8 } • Der gælder : [ 3..8 ]  N  N0 Z  Q  R Mængder og multimængder

6. Grundmænge (univers) • U er en grundmængde (Univers), som indeholder alle relevante elementer. • U fremgår ofte af sammenhængen, ellers må den anføres:A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } = {x  N | x < 10 }C = {x  B | x  11 } (hvor B = { 3, 5, 7,… }) Mængder og multimængder

7. Mængdeoperationer I • Lad U være en eller anden grundmængde: • Fællesmængde: • A  B = { x U | x  A  x  B }(hvis A  B = Ø, så siges A og B at være disjunkte) • Foreningsmængde: • A  B = { x U | x  A  x  B } Mængder og multimængder

8. Mængdeoperationer II • Differensmængde: • A - B = { x U | x  A  x  B } • (Skrives også som A \ B ) • Komplementærmængde: • A = { x U | x  A} = U - A • (Der findes andre skrivemåder: Fx: A, eller hos Martin: A’ ) Mængder og multimængder

9. Mængdeoperationer – Venn-diagrammer Find fejlen! Mængder og multimængder

10. Mængdeoperationer IV U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = [0..9]A = {2,4,6,7,8} B = {1,2,3,4,9} A  B = { 2,4 } A  B = { 1,2,3,4,6,7,8,9 } A - B = { 6,7,8 } B - A = { 1,3,9 } A = A’ = { 0,1,3,5,9 } B = B’ = { 0,5,6,7,8 } Mængder og multimængder

11. Regneregler for mængdeoperationer Kommutative love: A  B = B  A A  B = B  A Associative love: A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C Distributive love: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Mængder og multimængder

12. Regneregler for mængdeoperationer Idempotente love: A  A = A A  A = A Absorbative love: A  (A  B) = A A  (A  B) = A De Morgan’s love: (A  B)’ = A’  B’ (A  B)’ = A’  B’ (kendes muligvis fra Boolsk algebra) Mængder og multimængder

13. Regneregler for mængdeoperationer Andre formler vedr. komplementærmængde: (A’)’ = A A  A’ = Ø A  A’ = U Andre formler vedr. den tomme mængde: A  Ø = Ø A  Ø = A Andre formler vedr. grundmængden (universet): A  U = A A  U = U Mængder og multimængder

14. A B Symmetrisk mængdedifferens • Den symmetriske mængdedifferens(AB) defineres ved: A  B = (A – B)  (B – A) A-B B-A Mængder og multimængder

15. Mængdeoperationer VI • Formlerne kan generaliseres • Fællesmængde: A  B  C = { x U | x  A  x  B  x  C } • Foreningsmængde: A  B  C = { x U | x  A  x  B  x  C } Mængder og multimængder

16. Mængdeoperationer VI • Formlerne kan generaliseres endnu mere • Fællesmængde: n ∩ Ai = { x U | x  Ai for alle i mellem 1 og n} i=1 • Foreningsmængde: n  Ai = { x U | x  Ai for mindst eet i mellem 1 og n} i=1 Tænk for-loop Mængder og multimængder

17. Mængdeproduktet • A B = {(a, b) | a  A  b  B } • R  R kan opfattes som planen. • R  R  R kan opfattes som rummet. • Anvendes f.eks. indenfor teorien for relationsdatabaser. Mængder og multimængder

18. Potensmængder • P(A) er mængden af alle delmængder af A.Martin’s notation: 2A,fordi antal elementer i 2A = 2n, hvis A har n elementer. • Et eksempel: P({1,2,3}) ={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} Hvorfor? Mængder og multimængder

19. Multimængder eller Bags • En multimængde er en mængde, som kan indeholde det samme element flere gange. • Det, som interesserer os, er hvor mange gange et element findes i multimængden. • Der findes forskellige præcise definitioner af multimængder, fx: Mængder og multimængder

20. ”Sække” Definition: En sæk S over A er en afbildning fra A til N. Lad S, S1, S2 være sække over A. • For a  A skriver vi a  S såfremt S(a) > 0. • Vi skriver S1 S2 hvis S1(a) ≤ S2(a) for alle a  A . • Vi definerer S1S2 ved (S1S2 )(a) = S1(a) + S2(a) for alle a  A. • Vi definerer S1∩ S2 ved (S1∩S2 )(a) = min{S1(a); S2(a)}for alle a  A . • Vi definerer Ø, den tomme multimængde over A, ved Ø(a) = 0 for alle a  A. Mængder og multimængder

21. Øvelser Navngiv 8 forskellige regioner vha. mængdeoperationerne. A B C Mængder og multimængder

22. Øvelser - fortsat • Vis nogle af regnereglerne for mængdeoperationer på slide 11- 13 vha. Venn-diagrammer. • Brug Venn-diagrammer eller regneregler til at forsimple følgende udtryk (A og B er mængder): • A - (A - B) • A - (A  B) • (A  B) – A • (A’  B’)’ • (A’  B’)’ • MNR 1.1 Mængder og multimængder