Les conceptions des objets mathématiques portées par le langage :

1. Les conceptions des objets mathématiques portées par le langage : Analyse des erreurs langagières en mathématique Yveline Puault – 14 novembre 2006 – http://yveline.puault.free.fr

2. Précisions de vocabulaire • Langue naturelle : système de communication d’un groupe donné, inscrit dans une culture et une histoire (langue courante) • Langage formel des mathématiques : langage symbolique ou écriture symbolique ( codage et signes) • Langue mathématique (LM de Colette Laborde ): les deux codes précédents en interaction avec 3 propriétés : • présence dans la langue courante d’éléments d’écriture symbolique • termes lexicaux ayant un sens spécifique en mathématique • des tournures syntaxiques privilégiées

3. I. Les relations entre le langage et les mathématiques : • le langage porteur d’une conception du monde : points de vue cognitif et linguistique • La langue naturelle autour des mathématiques : point de vue psychosocial • la langue utilisée en mathématiques dans le processus de l’élaboration scientifique : épistémologie et analyse des discours scientifiques

4. II. Les recherches en didactique • Les caractéristiques de la langue mathématique • La thèse de Colette Laborde • Les travaux communs de linguistes et mathématiciens • Verbalisation et conceptualisation • L’analyse des formulations en classe de physique • La formulation des définitions en classe de sciences • L’étude des mots en sciences • La verbalisation et la conceptualisation en technologie • La place de l’erreur dans la recherche en didactique • L’erreur dans les modèles constructivistes • L’erreur comme rupture de contrat • L’erreur dans une approche psychologique • Les rapports au savoir

5. III. Hypothèses posées • Des difficultés internes à la langue mathématique existent : la maîtrise de ces difficultés est interdépendante de la maîtrise des objets mathématiques. • Des difficultés dues aux représentations et conceptions portées par le langage interfèrent avec la langue mathématique et sont un obstacle supplémentaire : elles sont représentatives du rapport à l’apprentissage des mathématiques et d’ordre psychologique et sociologique.

6. Questions : • Est-ce que des difficultés en langue peuvent créer des échecs en mathématiques ? • Quelle est la part de difficultés inhérentes aux objets mathématiques et celle imputable au langage mathématique ? • Est-ce qu’une remédiation par le langage et du méta-langage est suffisante ? • Quel est le rôle de la formulation des enseignants et de leurs conceptions personnelles des mathématiques ?

7. Les erreurs de langage dans son fonctionnement en mathématiques A) les erreurs dues à une difficulté du côté langagier : • un manque de vocabulaire pour s’exprimer qui peut masquer une conception juste qui ne peut être transcrite par le langage ; • un manque de vocabulaire dans le langage naturel, qui recouvre une difficulté de conceptualisation.

8. Erreurs dues au manque de vocabulaire recouvrant un manque conceptuel : EL : On a vu les angles complémentaires ; je comprends pas complémentaireE : Dans la vie de tous les jours, on utilise le mot « complément » ; tu le connais ?EL : nonE : par exemple, on ajoute un complément ; on dit des fois ils se complètent bien, ils vont bien ensemble.

9. Erreurs dues au manque de vocabulaire  pour exprimer une conception • Elodie veut poser une question sur les angles alterne /interne : « Même si on met… » et s’arrête «  je sais plus, je sais pas… »-elle ne trouve pas les mots pour poser une question -en fait, voulait savoir si les angles internes obtus étaient aussi égaux- • E. propose, en suivant son geste : «  Est-ce que les autres aussi sont égaux ? » • EL : oui, c’est ça.

10. B) les erreurs dues à des difficultés mathématiques : • -la rencontre d’un obstacle épistémologique • -l’absence de représentation ou la représentation différente de l’objet mathématique

11. Erreurs dues à un obstacle épistémologique :prégnance des conceptions précédentes • ED :Tu te rappelles les mesures de longueur ? • (ED. écrit m) • M : mètre • (ED écrit dm) • M :ah, j’sais plus, diamètre, non, c’est pas ça, ; diagramme, dicentimètre • E : décimètre, c’est le plus difficile.

12. Erreurs dues à la difficulté de représentation de la notion mathématique Elodie doit apprendre la propriété suivante : « Le parallélogramme a un centre de symétrie, c’est le point d’intersection de ses diagonales » EL : un parallélogramme a un centre, un centre 0 euh E : c'est le centre de symétrie, on peut le dire; qui se trouve où? EL : au milieu E : au milieu? EL: j'm'en rappelle plus ça

13. C) les erreurs renforcées ou provoquées par la formulation mathématique

14. Erreurs renforcées par la formulation mathématique • EL. doit apprendre la définition suivante : • « Deux angles sont complémentaires quand la somme de leur mesure est égale à 90 degrés. » • Elle dit finalement :Deux angles est complémentaire, (blanc) leur mesure est égale. • A la fin de la séance : …quand la mesure est égale à 90° • La séance suivante : la somme et la mesure • Quelques séances plus tard : la même mesure est égale à 90°

15. Les erreurs comme traces du fonctionnement psychologique et du rapport au savoir D) les erreurs dues à la difficulté de secondariser

16. Erreurs dues à la difficulté de secondariser • M : alors, on a fait ça. On multiplie, c’était ça, par exemple; ça, c’était la largeur, et là, y avait écrit 36 et là, 40 ; on devait ,on devait diviser la, la largeur par euh par euh, la longueur, j’crois . J’sais plus si c’est ça, mais euh • E : alors, là on est en train… • M : c’était comme ça, et là c’était à l’envers et il y avait a b c • E : et qu’est-ce qu’il fallait trouver ? • M : fallait trouver…euh…ah oui, j’sais pas,

17. E) les erreurs représentatives du rapport au savoir

18. Erreurs représentatives du rapport au savoir • M : c’est qui qui a inventé qu’il fallait multiplier par 2 ? • E : ah, ça fait très longtemps qu’il y a des géomètres, qui se sont dit, plutôt qu’à chaque fois de calculer, ...le périmètre du rectangle, comme pour tous les rectangles, c’est la même loi, et bien, ils ont dit : on va faire une formule qui va ... • M : ils auraient pu multiplier par 3 ou par 4, par 6, par 56...

19. Conclusions • Apport de l’analyse des erreurs langagières dans l’aide individuelle aux élèves en difficulté • Mise en question de la formulation des mathématiques dans les manuels et dans les cours • Interpellation sur la formation des enseignants aux implicites de l’activité langagière

20. ~ ~ ~ ~ FIN ~ ~ ~ ~ Yveline Puault – 14 novembre 2006 – http://yveline.puault.free.fr