Die Poisson-Verteilung: Mittelwert und Standardabweichung

1. Die Poisson-Verteilung:Mittelwert und Standardabweichung

2. Inhalt Spezielle Verteilungen: • Die Gauß-Verteilung • Die Poisson-Verteilung • Erwartungswert • Standardabweichung • Verwandtschaft mit der Gaußverteilung

3. Ein aktuelles Beispiel für Poisson-verteilte Zahlen • Bei unveränderten Bedingungen folgen die in gleichen Zeitintervallen beobachteten Unfallzahlen einer Poisson-Verteilung

4. Voraussetzungen • In gleichen Zeitintervallen werden Ereignisse abgezählt. Die erhaltenen Zahlen sind Poisson-verteilt, wenn • die Ereignisse voneinander unabhängig eintreten • die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in allen Zeitintervallen gleich bleibt

5. Wöchentliche Anzahl der Gewinne einer Klasse, z. B. 6 Richtiger, im Lotto • Beim Einkauf: Zahl der nach mehreren Zeitintervallen gezählten Personen vor der Kasse (falls nicht gerade eine weitere eröffnet wurde oder in einer benachbarten Schule die große Pause begann usw.) • Anzahl radioaktiver Zerfälle in aufeinander folgenden Zeitintervallen ( „Zählraten“ ) • Anzahl der in einem Volumen beobachten Moleküleeines Gases zu unterschiedlichen Zeiten Beispiele

6. s Anzahl der in einem Volumen befindlichen Moleküle eines Gases 2 0 1,5 0,5 Gas 1,0 Die nach jeweils 2 s im kleinen Kasten beobachtete Anzahl der Teilchen (=Moleküle) ist Poisson-verteilt

7. Mittelwert und Standardabweichung einer Poissonverteilung Bei Erwartungswerten > 10 unterscheidet sich eine Poissonverteilung kaum von einer Gaußverteilung mit µ = λ, σ = Wurzel ( λ ): In einer Poissonverteilung ist mit dem Erwartungswert λimmer auch die Varianz λbzw. Standardabweichung Wurzel (λ) bekannt!

8. Poisson-Verteilungen für unterschiedliche Parameter λ λ = 1 λ =5 λ =5 λ =10 Für Parameter („Erwartungswerte“) λ > 10 ist die Poisson- annähernd eine Gauß-Verteilung mit µ = λ und σ = Wurzel (λ)

9. Verwandtschaft mit der Gaußverteilung • Für Erwartungswerte > 10 ist die Poisson- annähernd eine Gaußverteilung mit µ = λ und σ = Wurzel (λ) • die der Poisson- entsprechende Gauß-Verteilung ist durch nur einen Parameter (λ) festgelegt ! • den zweiten Parameter der Gaußverteilung, σ, bekommt man gewissermaßen von der Natur geschenkt! • Dann gilt, wie für die Gauß Verteilung, • 68% der Messwerte liegen innerhalb λ ± Wurzel(λ) • 95% λ ± 2 ·Wurzel(λ) • 99,7% λ ± 3 ·Wurzel(λ)

10. Aktuelles Beispiel Zahl der Unfälle 2011 Zahl der Verletzten 2011 Zahl der Totesfälle 2011 Unter der vereinfachenden Annahme, die Daten von 2011 seien die Erwartungswerte λ, werden die Unterschiede Δ zwischen 2010 und 2011 beurteilt . Welche der Zahlen zeigen eine Änderung im Verkehrsaufkommen bzw. Fahrverhalten, welche hätten auch 2010 nicht überrascht?

11. Analyse mit Hilfe der Änderung in % der Fälle Differenz in % des Messwerts Die Zahl der Todesopfer stieg mit 100% der Fälle am stärksten, die der Verletzten um 30%, die Unfallzahlen um 20% Aber: Die Änderung in Prozent ist zur Beurteilung der Wahrscheinlichkeit unerheblich, das geeignete Maß ist Δ / σ

12. Analyse mit Hilfe der Standard- abweichungen der Verteilungen Differenz in Vielfachen der Standardabweichung Bei unveränderten Bedingungen sind Differenzen kleiner als die Dreifache Standardabweichung zu erwarten

13. Test bezüglich der Todesfälle Eine Variation zwischen 0 und 5, d. h. eine Abweichung um 2σ, liegt im Rahmen des bei unveränderten Bedingungen Möglichen: Das Maß Δ / σ ist zur Beurteilung der Wahrscheinlichkeit geeignet

14. Test bezüglich der Zahlen der Verletzten und der Unfälle Eine Abweichung um 9 σ ist unter gleichen Bedingungen praktisch ausgeschlossen

15. Ergebnis Der Anstieg der Zahlen der Unfälle und Verletzten um Δ = 9 σ liegt weit außerhalb des durch Zufalls-Schwankungen zu Erwartenden. Er zeigt zwischen 2010 und 2011 eine Änderung im Verkehrsaufkommen bzw. Fahrverhalten. Dagegen liegt der erfreuliche Wert von 0 Toten des Jahres 2010 mit Δ = 2 σ innerhalb der bei gleich bleibenden Bedingungen statistisch zu erwartenden Schwankungen.

16. Zusammenfassung • Die Zählung diskreter Ereignisse werde mehrfach wiederholt • Die Anzahl von in gleichen Zeitintervallen beobachteten Ereignissen ist Poisson-verteilt, wenn • die Ereignisse voneinander unabhängig einander eintreten • die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in allen Zeitintervallen gleich bleibt In einer Poissonverteilung ist • Der Mittelwert der „Erwartungswert“ λ • Die Varianz λ • Die Standardabweichung der Beobachtungen Wurzel (λ) Für Erwartungswerte > 10 ist die Poisson- annähernd eine Gaußverteilung mit µ = λ und σ = Wurzel (λ) , daher gilt: • 68% der Messwerte liegen innerhalbλ ± Wurzel(λ) , 95% µ ± 2 ·Wurzel(λ), 99,7% µ ± 3 ·Wurzel(λ) • Zur Beurteilung der Wahrscheinlichkeit von Zufallsdaten ist die Änderung in Prozent ungeeignet, das geeignete Maß ist das Verhältnis Abweichung Δ vom Mittelwert zur Standardabweichung: Δ / σ

17. A: Die Standardabweichung der Anzahl liegt bei ± 8 × 1011, bei 23 Stellen ist eine Änderung auf der 11. Stelle unerheblich: Die Anzahl der Moleküle in makroskop. Volumina bleibt praktisch konstant! s finis 2 0 1,5 0,5 Gas 1,0 Q: Weshalb ist es unwahrscheinlich, an einem „Luftloch“ gesundheitlichen Schaden zu erleiden? • Anzahl (= Mittelwert) der Moleküle in einem mol: Avogadro Zahl 6.0221415 × 1023