Mittelwert und Standardabweichung

1. Mittelwert und Standardabweichung

2. Inhalt • Verteilung, Histogramm • Mittelwert • Standardabweichung • der Messwerte • des Mittelwerts • Gauß- und Normalverteilung

3. Trägt man die Anzahl der in einem Intervall einer ihrer Eigenschaften gefundenen Werte gegen die Intervalle der Eigenschaften auf, dann erhält man eine „Verteilung“ der Werte bezüglich der Eigenschaft bzw. ein „Histogramm“ Verteilung und Histogramm Beispiel: Altersverteilung bei der Primärimplantation von Hüftendoprothesen (Datenquelle: Norwegisches Endoprothesenregister)

4. Jede Verteilung ist durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung charakterisiert Mittelwert und Standardabweichung einer Verteilung Anzahl / 10 Alter

5. Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung

6. Die Gauß-Verteilung Man nimmt mit Gauß an: • jede Messung zeigt zufällige Abweichungen von einem unbekannten idealen, wahren Wert • Die Anzahl der Messwerte mit zunehmendem Abstand vom idealen Wert nimmt gemäß der Gauß-Verteilung ab • Gaußkurve mit μ = 3, σ = 1

7. Normal-Verteilung und Histogramm Eine Gauß-Verteilung mit Mittelwert μ = 70 und Standardabweichung σ =10 beschreibt die Form des Histogramms

8. Die Gaußverteilung φ(x) Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Die Standard-abweichung zeigt die halbe Breite der Gaußkurve bei 60% ihrer max. Höhe Standard-abweichung σ Mittelwert µ Die Gauß-Verteilung ist durch zwei Parameter definiert: Den Mittelwert μ der Messungen und deren Standardabweichung σ

9. Von der Gaußverteilung zur Wahrscheinlichkeit Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Die Gaußverteilung φ(x) zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte. φ(x0)·Δxist die Wahrscheinlichkeit, bei mehrfacher Wiederholung der gleichen Messung einen Messwert x im Intervall zwischen x0- Δx/2 und x0+ Δx/2 zu erhalten

10. Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeit eines Messwerts Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Handlicher zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit ist die Normalverteilung Φ(x) φ(x0) = 0,13 Intervall Δx = 0,5 Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Messwert x0 = 1,5 Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert zwischen 1,25 und 1,75 zu erhalten, beträgt 0,065 -Bei 1000 „identischen“ Messungen werden 65 Messwerte zwischen 1,5 und 2 erwartet-

11. In 84 % der Messungen wird ein Messwert < 1 erwartet Die Normalverteilung Φ(x) zu Mittelwert μ und Standardabweichung σ Φ(1) = 0,84 μ= 0, σ= 1 Der Messwert sei 1 Die Normalverteilung Φ(x) ist das Integral über die normierte Gaußverteilung φ(x), Φ(1) = 0,84 zeigt die Wahrscheinlichkeit, bei mehrfacher Wiederholung der Messung einen Messwert x kleiner als1zu erhalten

12. 68% der Werte liegen im Intervall zwischen µ - σ und µ +σ Intervall von µ - σbis µ +σ Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - σ) < x < (µ + σ) zu erhalten Φ(1) = 0,84 μ= 0, σ= 1 Φ(-1) = 0,16 68 % der Messwerte werden innerhalb der einfachen Standardabweichung erwartet

13. Gaußverteilung φ(x)und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - σ) < x < (µ + σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Standard-abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - σ) und (µ + σ) zu messen. Sie entspricht 68% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

14. 95% der Werte liegen im Intervall zwischen µ - 2σ und µ +2σ Intervall von µ - 2σbis µ +2σ Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 2σ) < x < (µ + 2σ) zu erhalten Φ(2) = 0,977 μ= 0, σ= 1 Φ(-2) = 0,023 95% der Messwerte werden innerhalb der zweifachen Standardabweichung erwartet

15. Gaußverteilung φ(x)und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 2σ) < x < (µ + 2σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Standard-abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - 2σ) und (µ + 2σ) zu messen. Sie entspricht 95% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

16. 99,7% der Werte liegen im Intervall zwischen µ - 3σ und µ +3σ Intervall von µ - 3σbis µ +3σ Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 3σ) < x < (µ + 3σ) zu erhalten Φ(3) = 0,999 μ= 0, σ= 1 Φ(-3) = 0,001 99,7% der Messwerte werden innerhalb der dreifachen Standardabweichung erwartet

17. Gaußverteilung φ(x)und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 3σ) < x < (µ + 3σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Standard-abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - 3σ) und (µ + 3σ) zu messen. Sie entspricht 99,7% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

18. Wahrscheinlichkeiten, Messwerte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert zu erhalten Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard-Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand

19. Standardabweichung der Messwerte Die Standardabweichung σist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung einen Messwert im Intervall ±σ um den Mittelwert μ zu erhalten

20. Standardabweichung des Mittelwerts Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich

21. Zusammenfassung • Die Messung eines Wertes x werde mehrfach wiederholt • Der Mittelwert µ ist ein Quotient, • Zähler Summe über alle Messwerte x, • Nenner Anzahl der Messwerte • Die Standardabweichung σ ist einQuotient, • Zähler: Wurzel aus der Summe über alle Quadrate der Differenzen zwischen den Messwerten x und dem Mittelwert µ, • Nenner: Wurzel aus der Anzahl der Messwerte, -1 • Legt man ein Intervall der Breite ±N·σ um den Mittelwert µ, dann erwartet man bei mehrfacher Wiederholung der Messung für • N=1 68 % • N=2 95 % • N=3 99,7 % der Messwerte innerhalb, den Rest außerhalb des Intervalls

22. Q: Welche medizinisch relevante Information zeigt die Folge der Histogramme? finis • Quelle: http://www.diss.fu-berlin.de/diss/servlets/MCRFileNodeServlet/FUDISS_derivate_000000002900/1_Kapitel_1.pdf A: Bei etwa konstantem Mittelwert steigt die Breite der Verteilung: Das heißt, sie zunehmend ältere, aber auch jüngere Patienten erhalten Hüftendoprothesen