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整体法和隔离法 吕叔湘中学 庞留根 2004 年 7 月 Email: dyszplg@yahoo.com.cn. 整体法和隔离法. ※ 研究对象的选择 ※ 典型例题 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 例 6 例 7 87 年高考 例 8 94 年高考 例 9 例 10. 研究对象的选择 选择研究对象是解决物理问题的首要环节.在很多物理问题中,研究对象的选择方案是多样的,研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度. 对于连结体问题,通常用隔离法,但有时也可采用整体法.
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整体法和隔离法 吕叔湘中学 庞留根 2004年7月 Email: dyszplg@yahoo.com.cn
整体法和隔离法 ※研究对象的选择 ※典型例题 例1例2例3例4 例5 例6 例787年高考 例8 94年高考例9例10
研究对象的选择 选择研究对象是解决物理问题的首要环节.在很多物理问题中,研究对象的选择方案是多样的,研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度. 对于连结体问题,通常用隔离法,但有时也可采用整体法. 如果能够运用整体法,我们应该优先采用整体法,这样涉及的研究对象少,未知量少,方程少,求解简便; 不计物体间相互作用的内力,或物体系内的物体的运动状态相同,一般首先考虑整体法. 对于大多数动力学问题,单纯采用整体法并不一定能解决,通常采用整体法与隔离法相结合的方法.
f1 f2 f1 f1 1 2 3 4 4mg F 1 2 F 2mg 例1.如图所示,在两块相同的竖直木板间,有质量均为m的四块相同的砖,用两个大小均为F的水平力压木板,使砖静止不动,则左边木板对第一块砖,第二块砖对第三块砖的摩擦力分别为:( ) A.4mg、2mgB.2mg、0 C.2mg、mgD.4mg、mg B 【解析】设左、右木板对砖摩擦力为 f1, 第 3块砖对第2块砖摩擦为 f2, 则对四块砖作整体,画出受力图: ∴f1=2mg 由平衡条件有: 2f1=4mg 对1、2块砖画出受力图: 平衡,有: f1+f2=2mg ∴f2=0 故B正确.
F O θ T N T N f f G G 【例2】如图所示,两个完全相同的重为G的球,两球与水平地面间的动摩擦因数都是μ,一根轻绳两端固接在两个球上,在绳的中点施加一个竖直向上的拉力,当绳被拉直后,两段绳间的夹角为θ。问当F至少多大时,两球将发生滑动? 【解析】首先分析受力如图示, 选用整体法,由平衡条件得 F+2N=2G ① 再隔离任一球,由平衡条件得 Tsin(θ/2)=μN ② 对O点 2·Tcos(θ/2)=F ③ ①②③联立解之
FA NA T θ f A B mg T T mg C 例3、如图示, A、B两个小球在水平放置的细杆上,相距为l,两下球各用一根长也是l 的细绳连接C球,三个球的质量都是m,求杆对小球作用力的大小和方向。 解:对C 球,受力如图示: 由平衡条件得 2T cos30°= mg 对A 球,受力如图示: 由平衡条件得 NA =T cos30°+ mg=1.5mg 杆对小球作用力的大小为FA θ=10.9 ° tanθ= f /NA=0.1924
FA T T A mg T B C mg 解二: 对C 球,受力如图示: 由平衡条件得 2T cos30°= mg 对A 球,受力如图示:FA为杆对A球的作用力 (杆对A球的作用力 是杆对A球的弹力和摩擦力的合力) 由平衡条件得
N2 O F · N1 N2 θ G 【例4】如图所示,半径为R,重为G的均匀球靠竖直墙放置,左下方有厚为h的木块,若不计摩擦,用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面. 【解析】以球为研究对象,受力如图所示。 由平衡条件 N1cosθ=N2 N1sinθ=G sinθ=(R-h)/R N2=F 再以整体为研究对象得:
N1 T T m1 g N2 m1 m3 m2g m2 例5.如下图所示,三个物体质量分别为m1、m2和m3,m3放在光滑水平面上,m1和m2用细绳跨过定滑轮相连不计滑轮和绳的质量及一切摩擦,为使3个物体没有相对运动,作用在m3上的水平推力F是。 (m1+m2+m3)m2g/m1 解:对m1 分析受力如图示: T= m1a T= m2 g N2=m2a 对m2 分析受力如图示: ∴ a = m2g/m1 对整体分析: F= (m1+m2+m3)a =(m1+m2+m3)m2g/m1
N F F F 2F F 2F Mg A N A A mAg Mg mAg 例6、如图示,人的质量为60kg,木板A的质量为30kg,滑轮及绳的质量不计,若人想通过绳子拉住木板,他必须用力的大小是 ( ) A. 225N B. 300N C. 450N D. 600N A 解:对人分析受力,如图示: 由平衡条件得 F+N=Mg 对木板A分析受力,如图示 由平衡条件得 3 F=mA g +N 解得 F=( mAg +Mg)/ 4=225N 又解:对人和木板整体分析受力, 由平衡条件得 4 F=mA g +Mg 解得 F= ( mAg +Mg) / 4=225N
F A B 例7、如图所示,A,B两物体的质量均为m,它们之间连接一个轻质弹簧,放在光滑水平面上,A紧靠墙壁.现用力F将B向左推,压缩弹簧,平衡后,突然将力撤去的瞬时,以下说法中正确的是 ( ) (A)A的加速度为F/2m; (B)B的加速度为F/2m; (C)A的加速度为零; (D)B的加速度为F/m. C D
87年高考. kL L k (ΔL+L ) ΔL+L Mg Mg 有一轻质弹簧上端固定,下端挂一个质量为m0的平盘,盘中有一物体质量为m .当盘静止时,弹簧长度比自然长度伸长了L,如图。今向下拉盘使弹簧伸长ΔL 后停止,然后松手放开,设弹簧总在弹性限度以内,则松开手时盘对物体支持力为 . (1+ΔL /L)mg 解:对弹簧问题一般都要画出弹簧的原长,如图示: 伸长L时整体的受力如图示: kL=Mg M=m+m0 k /M= g/L 再伸长Δ L时整体的受力如图示: K(L +ΔL) -Mg = Ma ∴a=kΔL/M= gΔL/L 对m:N-mg=ma ∴ N=mg+ma =mg(1+ΔL/L)
N F θ A A B F θ m1 g 例8. 如图所示,A、B两物体的质量分别是m1和m2,其接触面光滑,与水平面的夹角为θ,若A、B与水平地面的动摩擦系数都是μ,用水平力F 推A,使A、B一起加速运动,求:(1)A、B 间的相互作用力 (2)为维持A、B间不发生相对滑动,力F 的取值范围。 分析与解:A 在F 的作用下,有沿A、B 间斜面向上运动的趋势,据题意,A、B 间恰好不发生相对滑动时,则A 处恰好不脱离水平面,即A不受到水平面的支持力,此时A与水平面间的摩擦力为零。 (1)对A 受力分析如图所示: 因此有:Ncosθ= m1g [1] F - Nsinθ= m1a [2] ∴N=m1g/cosθ
N2 f2 B N θ m2g N F θ A m1 g Ncosθ= m1g [1] F - Nsinθ= m1a [2] (2)对B受力分析如图所示,则: N2=m2g+Ncosθ[3] f2=μN2 [4] 将[1]、[3]代入[4]式得: f2=μ(m1+ m2)g F-f2=(m1+ m2) a [5] 取A、B组成的系统,有: F=m1g(m1+ m2)(tgθ+μ)/m2 由[1]、[2]、[5]式解得: 故A、B不发生相对滑动时F的取值范围为: 0<F≤m1g(m1+ m2)(tgθ+μ)/m2 想一想:当A、B与水平地面间光滑时,且m1=m2=m时,则F的取值范围是多少? (0<F≤2mgtgθ)
94年高考. N1 f1 mg m A M B C θ 如图所示,质量M=10千克的木楔ABC静置于粗糙水平地面上,滑动摩擦系数μ=0.02.在木楔的倾角θ为30°的斜面上,有一质量m=1.0千克的物块由静止开始沿斜面下滑.当滑行路程S=1.4米时,其速度v=1.4米/秒.在这过程中木楔没有动.求地面对木楔的摩擦力的大小和方向. (重力加速度取g=10m/s2) 解:由匀加速运动公式v2=v02+2a s,得物块沿斜面下滑的加速度为 a = v2 /2S =1.42 / 2.8 = 0.7 m/s2 ① 由于a< gsinθ= 5m/s2 ,可知物块受到摩擦力作用. 分析物块受力,它受三个力,如图所示, 由牛顿定律,有 mgsinθ-f1=ma② mgcosθ-N1=0 ③
N2 m A A f1 ax N1 B C M B C a θ f2 Mg ∴ f1= mgsinθ - ma N1= mgcosθ 分析木楔受力,它受五个力作用, 如图所示, 对于水平方向,由牛顿定律,有 f2+f1cosθ-N1sinθ=0 ④ 由此可解得地面作用于木楔的摩擦力 f2=N1sinθ-f1cosθ=mgcosθsinθ-(mgsinθ-ma)cosθ =macos θ=1×0.7×0.866 =0.61N 此力的方向与图中所设的一致(由C指向B 的方向) 又解: 以系统为研究对象,木楔静止,物体有沿斜面的加速度a,一定受到沿斜面方向的合外力, 由正交分解法,水平方向的加速度ax一定是地面对木楔的摩擦力产生的。 ∴f=max =macosθ=0.61N
A B C D 例9.如图所示,用轻质绝缘细线把两个带等量异种电荷的小球悬挂起来.今将该系统移至与水平方向成30°角斜向右上方向的匀强电场中,达到平衡时,表示平衡状态的图可能是: ( ) C
I O R F I R B A O T T 例10、如图示,半径为 R 的细金属圆环中通有恒定电流 I,圆环置于水平面上,处于竖直向下的匀强磁场中,求 :圆环受到的张力。 解一:取上半段圆环AB作为研究对象, 圆环AB受到安培力F, F的方向向上 F的大小为 F=BI×2R (有效长度为2R) 圆环AB两端受到的张力为T,方向沿切线, 由平衡条件得 F=2T ∴ T= BIR
ΔF ΔF T T T T α D α C I R B A O 解二:取很小的一小段圆环CD作为研究对象, 则 CD所对的圆心角为α=2Δθ, 圆弧长度 ΔL = 2RΔθ CD受到安培力ΔF=BIΔL= 2BIRΔθ CD两端受到的张力为T,方向沿切线,如图示 2T sinΔθ= ΔF= 2BIRΔθ 由平衡条件 角度很小时有sinΔθ= Δθ ∴T=BIR 上述方法称为微元法