La matematica tra gioco e realtà

1. La matematica tra gioco e realtà Metodi per calcolare la probabilità di eventi Gruppo composto da: -Bratta Gianluca -Muschio Maira -Romano Daila -De Tullio Maddalena

2. ProblemA 1; • Undici amici vogliono farsi un regalo per Natale, ma non vogliono spendere molto e allora inventano il gioco dell'Amico Invisibile. In pratica ognuno riceverà un sol regalo da un amico sconosciuto (invisibile) scelto a sorte tra di loro.Il nome della persona a cui fare il regalo viene deciso mediante un'estrazione da un sacchetto contenente i nomi degli undici amici. Naturalmente potrebbe succedere che ognuno estragga il proprio nome e quindi deve farsi il regalo da sé, oppure che alcuni estraggano il proprio nome ed altri no.Si chiede di calcolare la probabilità:a) che ognuno estragga se stesso;b) che tutti riceveranno un regalo da una persona diversa da se stessi.c) ammesso che tra i primi 5 estratti nessuno abbia estratto il proprio nome, qual è la probabilità che almeno uno estragga il proprio nome nelle rimanenti 6 estrazioni?d) come bisogna organizzare l'estrazione per evitare che qualcuno estragga il proprio nome?e) Se ad ogni estrazione si adotta la convenzione di continuare solo se alla precedente non si sia verificato il caso che qualcuno abbia estratto il proprio nome, può succedere che primo o poi qualcuno sappia da chi riceve il regalo?

3. Problema 2; • Una sola delle tre scatole A, B e C contiene una moneta d’oro: sceglietene una sola, ma non apritela. • A B C • Quindi viene aperta una delle rimanenti, sicuramente vuota. Si chiede di stabilire la miglior strategia da adottare - ovvero di calcolare la probabilità - per trovare la moneta d’oro. Motivate la strategia adottata.Il seguente problema è noto come il Problema di Monty Hall

4. Problema 3; • Si distribuiscono 1000 scatole a 1000 persone, una per persona. Una sola delle scatole contiene una moneta d'oro. Si sceglie a caso una persona, X, tra le 1000 e si aprono 998 scatole, sicuramente vuote, delle restanti 999. Indichiamo con Y (diverso da X) la persona che possiede l'ultima scatola, ancora chiusa. Si chiede: • Qual è la probabilità che la moneta stia nella scatola della persona X? • Immaginando di ripetere questo gioco 1000 volte, conviene alla persona X, cambiare la sua scatola con quella della persona Y? • E' possibile che a X e Y conviene cambiare scatola?

5. Problema 4; • Antonio partecipa ad un gioco che consiste nello scegliere da una scatola una pallina tra due palline contrassegnate dai numeri 1 e 2. La scatola è divisa in due parti, quella destra e quella sinistra. Antonio non sa che è Riccardo a decidere quale pallina sarà inserita a destra e quale a sinistra della scatola. Calcolare la probabilità che ha Antonio di scegliere la pallina 1, senza sapere che è Riccardo a decidere e sapendo che è Riccardo a decidere.Inoltre, stabilire se è corretto il seguente ragionamento: dato che Riccardo può scegliere di inserire la pallina 1 a destra, Rs, o a sinistra, Rd, e dato che anche Antonio può scegliere tra destra, As , e sinistra, Ad, si hanno le seguenti possibilità: • Rs(1)As(1) allora Antonio trova la pallina 1Rs(1)Ad(1) allora Antonio non trova la pallina 1Rd(1)As(1) allora Antonio non trova la pallina 1Rd(1)Ad(1) allora Antonio trova la pallina 1 • quattro casi possibili e due favorevoli?

6. Problema 5; • Da un'urna si può estrarre una pallina tra tre: 1, 2, 3.Si fanno 4 estrazioni successive, ogni volta si estrae una pallina tra le tre. Calcolare la probabilità che si verifichi l'evento E = {1, 1, 1, 1} ossia che per tutte e quattro le estrazioni esca sempre la pallina contrassegnata con il numero 1.a) Quanti sono i casi in cui non esce il 3 per tutte le 4 estrazioni?b) Quanti sono i casi possibili? c) E' più probabile che si verifichi un evento del tipo E = {1, 1, 1, 1} o del tipo F = {1, 2, 1, 3}?d) Sapendo che il 3 è ritardatario, nel senso che non esce per 4 estrazioni, può questa informazione essere utile per calcolare la probabilità di uscita del 3 alla quinta estrazione?e) Conoscendo il meccanismo di funzionamento dell'estrazione della pallina si può congetturare che il 3, ritardatario, debba per forza di cose uscire nella quinta estrazione a "danno" delle palline 1 e 2? Che si può dire a riguardo?

7. PROBLEMA 6; • Un tizio gioca l'ambo 23 e 35 sulla ruota di Napoli al gioco del Lotto Italiano.Dopo l'estrazione incontra un suo amico e gli dice: << Guarda come sono sfortunato, ho giocato il 23 ed il 35 ed è uscito il 23 ed il 34. Ho perso un ambo per un solo numero, che sfortuna! >> Ha ragione a dire di essere sfortunato?

8. Problema 7; • In una scatola ben chiusa sono stati inseriti i seguenti numeri: 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 2.Pertanto, dato che i numeri composti con la cifra 1 sono la stragrande maggioranza, estraendo un numero a caso è più probabile che esca il numero 111 rispetto al numero 2.E' corretto il ragionamento?

9. PROBLEMA 8; • Antonio partecipa ad un gioco che consiste nello scegliere da una scatola una pallina tra due palline contrassegnate dai numeri 1 e 2. La scatola è divisa in due parti, quella destra e quella sinistra. Antonio non sa che è Riccardo a decidere quale pallina sarà inserita a destra e quale a sinistra della scatola. Calcolare la probabilità che ha Antonio di scegliere la pallina 1, senza sapere che è Riccardo a decidere e sapendo che è Riccardo a decidere.Inoltre, stabilire se è corretto il seguente ragionamento: dato che Riccardo può scegliere di inserire la pallina 1 a destra, Rs, o a sinistra, Rd, e dato che anche Antonio può scegliere tra destra, As , e sinistra, Ad, si hanno le seguenti possibilità: • Rs(1)As(1) allora Antonio trova la pallina 1Rs(1)Ad(1) allora Antonio non trova la pallina 1Rd(1)As(1) allora Antonio non trova la pallina 1Rd(1)Ad(1) allora Antonio trova la pallina 1 • quattro casi possibili e due favorevoli? • N.B. Ilsimbolo Rs(1)As(1) significa che Riccardo decide di inserire la pallina 1 nella parte sinistra e Antonio sceglie la parte sinistra della scatola per estrarre la pallina 1, analogamente per gli altri simboli. • a) Ripetere l'esperimento dieci volte e stabilire se può essere utile ad Antonio sapere che è Riccardo a decidere in qualche modo come posizionare la pallina 1 nella parte destra o sinistra della scatola.b) Ipotizzando che Riccardo decida di inserire la pallina 1 a destra della scatola se estraendo un numero tra dieci esce il 3 e di posizionarla a sinistra in tutti gli altri casi, può questa informazione tornare utile ad Antonio ripetendo l'esperimento per 10 volte? Per 100 volte?

10. ProblemA 9; • Scegliendo a caso un numero intero N di due cifre, qual è la probabilità che il resto della divisione N diviso 31 è zero?

11. PROBLEMA 10; • Per coloro che non si fossero mai interessati, una semplice definizione di probabilita':Si dice che un evento X ha una probabilita' di verificarsi pari a CASI_FAVOREVOLI/CASI_POSSIBILI.Ad esempio, lanciando una moneta, la probabilita' che esca testa e' 1/2. Casi favorevoli = 1 (una moneta ha 1 testa). Casi possibili = 2 (una moneta ha 2 facce, Testa e Croce) Cioe' 0.5 , il 50%.1 e' il caso favorevole (testa). 2 i casi possibili (testa + croce).Questo non esprime nessuna certezza, ma solo che (facendo un numero sufficientemente grande di lanci), usciranno il 50% delle volte "testa" e il 50% delle volte croce (+ o -).il problema e': NON SAPPIAMO QUANDO ! Ad esempio su un milione di lanci avremo (+ o -) 500.000 "testa" e 500.000 "croce". Quelle 500.000 "testa", pero', usciranno quando vogliono loro e non quando vogliamo noi, nell'arco del milione di tentativi. Nel breve periodo, ad esempio i primi 100 lanci, "testa" potebbe uscire anche solo il 20% delle volte, per poi recuperare nel seguito, ma sempre in maniera non prevedibile.

12. PROBLEMA 11; • Un gioco si dice equo (giusto, non sperequato), quando il banco paga una scommessa in ragione della sua probabilita'.(In realta' la definizione non e' questa, ma corrisponde il concetto). Per rifarci al caso della moneta;Se giocassimo contro un banco, puntando 1 euro su TESTA, se il gioco fosse equo, in caso di uscita di "TESTA" (noi vinciamo) dovrebbe pagarci 1/2 Euro. Probabilita' di "TESTA"=0.5Cioe' la probabilita' dell'evento su cui abbiamo puntato.Nel Lotto, ad esempio, la probabilita' che esca un particolare ambo in una ruota e' 1 caso favorevole (l'ambo giocato), su 4005, (gli ambi possibili con cinque numeri). Il banco (lo stato) dovrebbe pagare 4005 volte la posta ! In realta' paga 250 !!.Fatte ferme le spese di gestione e una ragionevole tassa, la nostra vincita viene comunque decurtata di 3755 (4005 - 250) !.Nel SuperEnalotto il montepremi e' piu' o meno la meta' (!!) di quanto i giocatori hanno puntato.Cioe' se in una data estrazione il montepremi e' di 100.000 Euro (al netto del JackPot che comunque arriva da altre giocate precedenti), vuol dire che sono state giocate schedine per 200.000 Euro !. E' vero che queste vincite sono tassate alla fonte e non vanno dichiarate (si pagano solo i loro rendimenti), pero' e'altrettanto vero che non possiamo dedurre dalle tasse le nostre giocate perdenti !La Roulette paga, per la puntata su un numero, 36 volte la posta a fronte delle 37 che dovrebbe pagare (cioe' poco meno, e' quasi equo!), il fatto che sia definita gioco d'azzardo fa un po riflettere !.Comunque questi sono i fatti e bisogna farci i conti. Punto.

13. PROBLEMA 12; • Lo scorso ottobre 2008, il montepremi (JackPot incluso) del SE e' arrivato alla cifra di 85 Milioni di Euro.E' vero che in periodi di crisi la gente gioca di piu', e' un fattore psicologico la spinta a cercare di risolvere tutti i problemi dalla mattina alla sera ed e' assolutamente comprensibile.E' sensato buttarsi a pesce sul gran malloppo o e' solo emotivita' ?Quattro semplici conti:    -La sestina paga il montepremi in gioco.     (Es. 6.000.000 di Euro, per semplicita' di spiegazione)    - Devo giocare e indovinare sei numeri.    - Se indoviniamo in 3, ci dividiamo il premio !     Cioe' ognuno prende NON 6 milioni ma 2 ! (1/3 del montepremi).    - Se non vinco IO ma un altro ?.     Fine, si ricomincia da montepremi piu' bassi.     La corsa all'oro e' finita.Quale e' la probabilita' di uscita di una sestina ?     1 / 622.614.630 Cioe', se giochiamo 1 sestina, possiamo pensare di vincere, in media, 1 volta ogni 622.614.630 estrazioni, ci vuole un po' di pazienza..A parte gli scherzi, unendo le forze, come fanno molti, si possono mettere in gioco molte sestine, la probabilita' aumenta di un fattore pari al numero delle sestine giocate.In piu', scegliendo le sestine in base a criteri particolari, si puo' almeno indirizzare il gioco in modo piu' razionale. E divertirsi insieme.Molti dicono che non ha senso, che la razionalizzazione del gioco e' solo una acrobazia mentale e statistica per sperare di piu'. E' tecnicamente vero. Ma la realta' smentisce spesso questi assiomi.