Come navigare fra i flutti della crisi (e della ripresa), ossia come utilizzare la Matematica per ottimizzare i propri i

1. Come navigare fra i flutti della crisi (e della ripresa), ossia come utilizzare la Matematica per ottimizzare i propri investimenti finanziari Vincenzo Vespri Dipartimento di Matematica “Ulisse Dini” Università di Firenze vespri@math.unifi.it Tel: 055 4237149 homepage: http://web.math.unifi.it/users/vespri/

2. Mi e’ stato chiesto di parlare di investimenti azionari Possiamo indovinare strategie vincenti? Per discutere di cio’ abbiamo bisogno di maggiori info sulle azioni

3. AZIONI L'azione è un titolo rappresentativo di una quota della proprietà di una società. Il possesso di (almeno) una azione è la condizione necessaria per essere soci di una società per azioni o in accomandita per azioni.

4. È possibile emettere diverse tipologie di azioni. All'interno di ciascuna categoria le azioni devono essere uguali e offrire uguali diritti.Il valore complessivo delle azioni di una società è detto capitalizzazione.

5. Il rendimento di una azione dipende dall'incremento (o decremento) del valore dell'azione in un dato periodo a cui si aggiungono eventuali dividendi pagati nello stesso periodo. Se P1 è il valore di vendita di un'azione, P0 il prezzo di acquisto (P1 significa prezzo al momento 1 e P0 prezzo al momento 0) e D il dividendo complessivamente pagato dall'azione tra il momento 0 e il momento 1, il rendimento percentuale può essere calcolato come A seconda che un investitore sia maggiormente interessato all'una o all'altra variabile, dividiamo l'insieme degli azionisti in cassettisti e speculatori:

6. I cassettisti tendono a tenere le azioni in portafoglio per lunghi periodi, generalmente poiché sono interessati a diritti di natura amministrativa (come il diritto di voto); a questa categoria di azionisti preme quindi soprattutto prevedere l'entità dei dividendi futuri.

7. Gli speculatori, al contrario, non sono interessati ai diritti amministrativi e mantengono in portafoglio le azioni per un breve arco di tempo, aspettando che il loro prezzo salga abbastanza per permettere loro di realizzare una plusvalenza; se consideriamo poi che il breve tempo di detenzione delle azioni spesso non permette loro nemmeno di percepire i dividendi, il loro interesse si concentrerà sul prezzo dell'azione.

8. Il rendimento del cassettista si calcola seguendo il cosiddetto modello di Gordon : P=D1/(r-g) Dove: P è il prezzo dell'azione D1 è il dividendo al tempo 1 (es. un anno dopo l'acquisto dell'azione) r è il rendimento atteso dall'azionista

9. g è il tasso di crescita del dividendo: si ipotizza che il dividendo nel tempo cresca ad un tasso 1+g, in modo tale che: D2 =D1(1+g)  g a volte viene uguagliato al tasso di inflazione, in modo tale che il valore del dividendo in termini reali sia sempre lo stesso.

10. È evidente che, se calcolato ex ante, tale previsione è soggetta ad alcune limitazioni, poiché il tasso di crescita futuro può essere approssimato al massimo facendo riferimento a dati storici; in più, perché il modello di Gordon sia valido, dobbiamo supporre che tutti gli anni il dividendo venga distribuito e che esso cresca sempre con un tasso (1+g).

11. Calcolare il rendimento dello speculatore significa calcolare la plusvalenza sull'azione, ossia la differenza fra prezzo di acquisto e prezzo di vendita. La forte variabilità dei mercati e dei prezzi delle azioni non permette di calcolare con precisione tale valore: l‘ analisi fondamentale fornisce quindi alcuni indicatori per indicare, tramite il confronto con altre azioni se un titolo è sottovalutato o sopravalutato. Alcuni di questi indicatori sono:

12. Book Value: (Patrimonio netto / N. azioni in circolazione) • Earning per share (EPS): (Utili netti / N. azioni in circolazione) • Price to book value: (Prezzo del titolo / Book value) • Price earnings: (Prezzo del titolo / Earnings per share)

13. Azioni ordinarie Sono le azioni che assegnano diritti patrimoniali quali il diritto al dividendo, diritto al rimborso del capitale in caso di scioglimento della società e il diritto di opzione in caso di aumento del capitale; assegnano anche diritti amministrativi tipicamente quello di voto nell'assemblea ordinaria e straordinaria della società.

14. Azioni privilegiate Le azioni privilegiate sono azioni nominative che assicurano all'azionista la precedenza nella ripartizione degli utili e nel rimborso del capitale all'atto dello scioglimento della società. Dati questi privilegi i portatori di azioni privilegiate subiscono delle limitazioni nel diritto di voto, che è precluso nelle assemblee ordinarie, mentre è concesso in quelle straordinarie. Attribuiscono inoltre ai loro possessori diritti patrimoniali correlati ai risultati dell'attività sociale in un determinato settore.

15. Azioni di risparmio Sono azioni prive del diritto di voto nell'assemblea ma privilegiate nella distribuzione del dividendo, poiché la società emittente deve distribuire utili ai titolari di queste azioni fino ad almeno il 5% del valore nominale delle azioni stesse. Sono, solitamente, destinate ai piccoli risparmiatori che cercano più il rendimento dell'investimento che l'esercizio del diritto di voto. Sono state istituite in Italia con la legge 7 giugno 1974 n. 216, che ha istituito la Consob. Queste azioni sono spesso al portatore perché destinate generalmente al grande pubblico.

16. Perché una società si quota in borsa? Per reperire liquidità. Deve essere più conveniente che ricorrere a prestiti obbligazionari, ma deve essere conveniente anche per il risparmiatore investire nel mercato azionario. Il rendimento quindi medio di una azione deve essere sì superiore a quello del mercato dei titoli di stato, ma anche non deve rendere conveniente all’azienda ricorrere a prestiti obbligazionari (quindi uno si aspetta un rendimento del 4 o del 5% superiore ai BOT)

17. Valore di una azione dipende: Contendibilità Indebitamento Prospettive Utili (non esiste un metodo universale)

18. Utili per azione? Non è detto: Esempio: un azienda costa 100 e rende 10 all’anno. Per massimizzare gli utili per azione conviene investire 10, farsi prestare 90 dalle banche e pagare 8% di interessi pari a 7.2. Alla fine investendo 10 si ha 3.2 (ossia il 32%). L’azienda e’ molto debole e sensibile ad ad aumento di tassi e a crisi improvvise, ma i manager saranno premiati con stock options…

19. Le stock options sono conferite gratuitamente ai manager e (più raramente) ai dipendenti. Entrambi non pagano alcun prezzo d'acquisto; l'opzione perde ogni valore dopo la scadenza e, dunque, prima della scadenza viene esercitata se il prezzo d'esercizio strike price è inferiore al valore di mercato cui è quotata l'azione sottostante Le Azioni vengono distribuite a manager come incentivo ad aumentare la loro produttività

20. La scatola cinese vera e propria è la società controllata, al cui interno vengono annidate le altre società controllate a loro volta da quest'ultima. Il termine finanziario deriva dalla locuzione scatole cinesi, con la quale si indica una collezione di scatole di grandezza crescente, che possono essere inserite l'una nell'altra in sequenza. Un altro esempio pratico può essere quello rappresentato dalle matrioske.

21. Per spiegarne il funzionamento, questo viene semplificato portando l'esempio delle tre società "abc", ipoteticamente controllate da un soggetto generico che, in principio, possiede esclusivamente una quota di maggioranza (es. 52%) della società "a". Il soggetto generico, pur non possedendo la totalità della azioni di "a" (il 100%), ha il potere decisionale in seno alla società a per ordinare a quest'ultima di acquistare un esemplificativo 51% della società b. .

22. A questo punto, il 52% della "a" è di proprietà esclusiva del soggetto generico, ma non il 51% di "b", che bensì è di proprietà esclusiva dell'intera società a. Ma il soggetto generico, con la quota di maggioranza in a, può reputarsi proprietario di b.

23. La società a (manovrata dal soggetto generico) può quindi ordinare a "b" di acquistare una quota di maggioranza di un'altra ipotetica società c per riuscire a controllare anche quest'ultima. Con questo sistema, il soggetto generico può quindi arrivare a controllare un numero teoricamente infinito di società, grazie alle quali può assicurarsi un forte potere economico, e la capacità potenziale di influenzare enormemente l'ambito finanziario di uno o più Stati

24. Il soggetto generico gode quindi di un possesso effettivo di tutte le società abc, ma il soggetto, in realtà gode di un possesso reale molto minore nei confronti delle società controllate in successione: la percentuale delle azioni realmente posseduta da questo soggetto non equivale quindi alla quota di maggioranza di ogni società.

25. Eccone la dimostrazione matematica: 0.51 0.52.0.51 = 0.1353 Se il soggetto possiede il 51% della società a, la quale a sua volta possiede il 52% della b che a sua volta possiede il 51% di c, il soggetto possiede solo il 13,53% di questa ultima. In pratica, il soggetto generico riesce a controllare "c" pur non possedendone una quota maggioritaria.

26. Perche’ conviene questa strategia? Il cash flow dell’azienda è molto limitato..( Ma si puo’ avere lo stipendio (alto) di Amministratore delegato, le stock options, la possibilità di venderea proprie societa’ immobili a valori catastali…

27. Alcuni indicatori: Il margine operativo lordo (MOL) è un indicatore di redditivita’ che evidenzia il reddito di un'azienda basato solo sulla sua gestione caratteristica al lordo, quindi, di interessi (gestione finanziaria), tasse (gestione fiscale), deprezzamento di beni e ammortamenti. Spesso si utilizza l'acronimo inglese EBITDA (Earnings Before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization).

28. FATTURATO - COSTO PRODOTTO VENDUTO - COSTO SERVIZI = VALORE AGGIUNTO VALORE AGGIUNTO - COSTO DEL PERSONALE = MARGINE OPERATIVO LORDO (MOL o EBITDA) MARGINE OPERATIVO LORDO - AMMORTAMENTI = MARGINE OPERATIVO NETTO (MON o REDDITO OPERATIVO della Gestione

29. Utile netto/Patrimonio netto o ROE: è dato dal rapporto tra utile netto del periodo considerato ed il patrimonio netto del periodo precedente. Esprime la redditività del capitale proprio in termini di utile netto. Cioè quante unità di utile netto produce l'impresa per ogni 100 unità di mezzi propri investiti. E' l'indicatore che più interessa gli azionisti in quanto consente di valutare la redditività del capitale di rischio investito nell'impresa.

30. Un'impresa, per poter attrarre nuovo capitale di rischio, dovrebbe fornire un ROE superiore ai tassi di rendimenti di investimenti alternativi. In ogni caso il ROE di una impresa non dovrebbe mai essere inferiore al tasso garantito per investimenti senza rischio. Al di sotto di tale limite, infatti, non sarebbe remunerato in modo congruo il rischio dei risparmiatori azionisti. In caso di perdita, il ROE è negativo. Questo significa che lo squilibrio economico è così grave da erodere i mezzi propri.

31. Come si deve ragionare per investire? Sicuramente utilizzare l’idea di Markowitz A parità di valore atteso scegliere il portfolio con minor varianza.

32. Un gestore fortunato non può replicare le sue performances per molto tempo di continuo. Perciò, per discriminare un buon gestore da un altro, solo fortunato, occorre valutare le performances realizzate in un tempo relativamente lungo ( ad esempio 3-5 anni). Solo quello bravo riesce ad ottenere rendimenti stabili rispetto ai concorrenti.Il calcolo della Perduranza deriva dalla frequenza con cui ogni gestore si posiziona nei diversi settori di rendimento e dalla continuità di posizionamento negli stessi.

33. Consideriamo ad esempio i rendimenti dei fondi comuni di investimento italiani nell'orizzonte temporale di 3 anni (12 osservazioni trimestrali) La continuità è calcolata in quest'arco temporale considerando il numero di volte con cui ogni fondo si posiziona nel medesimo settore di rendimento in due trimestri consecutivi.Giungiamo così al calcolo di un indice di perduranza.

34. Dall'osservazione dell'analisi congiunta della frequenza e della continuità, attribuiamo, quindi, ai due fenomeni un punteggio premiante alla maggiore frequenza e continuità nei migliori settori di rendimento a fronte della maggiore frequenza e continuità negli ultimi settori.Decidiamo di assegnare a ciascun fondo 4 punti per ogni frequenza al primo settore, 3 nel secondo ,1 nel terzo,0 per l'ultimo.Assegneremo, invece, 0.70 punti per ogni continuità nel primo settore, 0.20 nel secondo e un punteggio negativo -0,30 e -0.80 per ogni continuità nel terzo e quarto settore

35. Il famoso indice di Sharpe fu proposto originariamente nel 1966. Da allora è stato presentato con numerose varianti. Indice di Sharpe=    

36. Rp= Rendimento di periodoRbot= Rendimento dei Bot (uguale periodo)s er = Rischio dell'excess return (maggior rendimento) Esempio: La prima attività, i BOT , rende il 3% a rischio nullo.Il fondo Alfa rende il 5% ma con un rischio del 10% Il fondo Beta rende l' 8% ma con un rischio del 20%

37. R alfa =0,5 R beta = 0,4 s alfa s beta Ralfa - Rbot =0,2 Rbeta - Rbot =0,25 s alfa s beta Comunemente s'intende per "rischio" la deviazione dallo standard; o meglio: il rischio come distribuzione dei rendimenti intorno alla sua media

38. Una recente nozione alternativa di "rischio", che tenti di superare i difetti legati all'anomala distribuzione è quella del DOWNSIDE RISK che rispetto alla deviazione standard, presenta il vantaggio di considerare solo la volatilità al ribasso, ignorando quella al rialzo. Infatti se intervistassimo alcuni comuni investitori e chiedessimo loro cosa intendono per "rischio", la maggior parte di essi affermerebbe che per rischio intendono "una misura di rendimento inferiore a quella attesa"

39. Un po’ di Matematica: L’equazione che descrive il comportamento di un’azione S sara’ data da:dS = μSdt + qSdz Dove dz è un moto Browniano(in altre parole una perturbazione casuale che segue la distribuzione Normale) e q (la volatilità) rappresenta la grandezza di questa perturbazione.

40. Il moto browniano è il moto disordinato delle particelle (dell'ordine del micrometro) presenti in fluidi o sospensioni fluide. Quando un fluido si trova all'equilibrio termodinamico si potrebbe pensare che le molecole che lo compongono siano essenzialmente ferme o che comunque vibrino attorno alla loro posizione di equilibrio per effetto della temperatura.

41. Se però si osserva il moto di un tale fluido, ad esempio disperdendovi delle particelle colorate molto leggere ed osservandone il movimento, si nota che queste sono tutt'altro che a riposo. Quello che si osserva è che ciascuna particella segue un moto disordinato la cui natura appare essere indipendente dalla natura della particella stessa.

42. Bachelier, che è universalmente considerato il padre della matematica finanziaria propose, come Einstein, un approccio statistico al processo. In particolare, il processo stocastico utilizzato è un processo di Wiener (o di Bachelier-Wiener, come proposto da William Feller), che rientra nella categoria più ampia dei processi di Markov.

43. È parso ragionevole applicare l'ipotesi di efficienza debole dei mercati (e cioè che il prezzo di un'attività racchiuda in se tutta la storia passata) per modellizzare attraverso un processo di Wiener il percorso del prezzo delle azioni in un mercato finanziario.

44. Successivamente al lavoro di Bachelier del 1900, tuttavia, questo approccio è stato per lungo tempo abbandonato, per essere ripreso soltanto a partire dagli anni sessanta, ed è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza con il noto lavoro di Black e Scholes del 1973. Il modello di moto browniano dei prezzi dei titoli finanziari è un elemento essenziale del pricing dei prodotti finanziari derivati, e in generale di altre attività finanziarie

45. Da notare che siamo interessati a dS/S (derivata logaritmica) perché siamo interessati alla variazione relativa del nostro sottostante (non è la stessa cosa se un titolo che vale 100 Euro sale a 110 Euro (variazione assoluta di 10 Euro, variazione percentuale del 10%) o se un titolo che vale 1 Euro sale a 2 Euro (variazione assoluta 1 Euro, variazione percentuale del 100%)

46. Serie storica del Dow Jones Industrial Average. Valore di chiusura giornaliera dal 26/05/1896

47. Quindi l’aspetto deterministico dell’equazione ci da’ l’informazione corretta. Però per vedere la curva esponenziale abbiamo avuto bisogno di un periodo di cento anni… Sono proprio necessari?

48. La maledizione della radice quadrata!!! Il rischio e’ dell’ordine 30%, il ritorno (deinflazionato) e’ dell’ordine del 3 o del 4%. Per avere stime significative occorre un numero di anni N tali che la radice di N = 8. Percio’ N = 64… Non ha senso utilizzare serie storiche per selezionare i itoli migliori!!!!

49. Variazione dell’indice azionario Dow Jones Industrial Average. Osservazioni giornaliere dal 27/05/1896

50. Raffronto tra variazioni casuali normalmente distribuite e variazioni logaritmiche giornaliere (normalizzate) dell’indice DJIA