DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

1. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO: UNA FORMA DE EVITAR LOS OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS EN EL APRENDIZAJEEscuela Colombiana de IngenieríaEnero 13 de 2012

2. DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA • Sistema de numeración decimal: construcción de los números de más de 1 cifra; suma de unidades mayor que la decena; resta de unidades mayores; uso de símbolos, por ejemplo: <, >, √, log. • Fraccionarios: representación de fracciones “impropias”; suma y resta; orden de números.

3. Álgebra: realizar operaciones, potenciación y radicación, resolver polinomios en forma horizontal, dar un polinomio como respuesta. • Resolución de problemas: identificar las magnitudes conocidas y desconocidas, establecer relación entre ellas, diferenciar la magnitud de la medida y de la unidad de medida.

4. ORIGEN DE LAS DIFICULTADES • Se evidencian hacia los 10 u 11 años. • Se agudizan en el bachillerato y la universidad. • Se originan entre los 6 o 7 años.

5. CONSECUENCIAS DE LAS DIFICULTADES • Frustración frente a tareas que superan sus capacidades por lo tanto baja Autoestima. • Deserción escolar y universitaria. • Escogencia de carreras que “no tengan nada que ver con matemáticas”.

6. ¿POR QUÉ SE ORIGINAN? Las dificultades se originan por los OBSTÁCULOS o dificultades que no son posibles de superar e impiden avanzar en la construcción del nuevo conocimiento (Brousseau, 1989).

7. OBSTÁCULOS Epistemológicos Didácticos Ontogenéticos Saltos conceptuales que no se pueden evitar porque juegan un papel muy importante en la adquisición del nuevo conocimiento. Provienen de la enseñanza y se deben evitar porque impiden ver las cosas de una nueva manera. Condiciones genéticas específicas de los estudiantes.

8. OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS Los obstáculos didácticos son impedimentos en el aprendizaje que se producen por la misma enseñanza para ayudar al niño a salir de la dificultad temporal pero que a largo plazo le impiden avanzar en la construcción del nuevo conocimiento.

9. O.D. se producen por errores didácticos Errores metodológicos Errores conceptuales Errores pedagógicos Palabras o imágenes que se usan en forma inadecuada. Obstáculos epistemológicosque se evitan en la enseñanza. Nociones falsas que distorsionan el significado del concepto.

10. Ejemplo de error metodológico, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D. Usa el sentido común: el cocodrilo se come al menor: 4 < 3 La boca del cocodrilo abierta para el mayor. El uso de símbolos se asocia con una imagen inadecuada: la boca del cocodrilo. Dificultad en el uso de símbolos.

11. Ejemplo de error pedagógico, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D. 18 está formado por 1 y 8. ¿Cuántas d hay en 304? Responde: 0 El número 18 es igual que el 9: 18 cosas. No se da salto conceptual entre # de 1 y 2 cifras: 1 grupo ≠ 10 cosas sueltas. Dificultad en la construcción de # de 2 cifras: valor posicional de la cifra ≠ la cifra en una posición.

12. Ejemplo de error conceptual, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D. 67 – 48 “no se puede”, o lo invierte: = 21. 18 + 49 ¿lleva 1? 67 -18 ¿le presta 1? Concepto falso: un número no tiene vida y no lleva y no presta, no se descompone. Dificultad en la suma > d, resta u >, construir la lógica del S.N.D.

13. Ejemplo de error metodológico, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal llamados fraccionarios” (Federici) ¿En 5/3 cómo tomar 5 partes de 3? Impropio significa algo que se debe evitar. Fracción, tomar, coger, impropia. El número se asocia con una imagen inadecuada: tomar partes de un todo. Dificultad para ver un solo objeto matemático y no dos.

14. Ejemplo de error pedagógico, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal llamados fraccionarios” (Federici) Fracción compuesta por 2 naturales separados por una raya. Suma o resta como naturales: 3/4 + 2/5 = 5/9 5/9 - 2/5 = 3/4 No se da salto conceptual entre N y Q+, ni entre # contador y # relator. Dificultad para realizar operaciones con otros # diferentes a N.

15. Ejemplo de error conceptual, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal llamados fraccionarios” (Federici) Relación parte todo, cantidades discretas. No puede relacionar fracción con medida, ni con razón, ni con operador. Concepto falso: Q+ es una relación entre magnitudes, entre cantidades continuas. Dificultad para construir el significado de Q+en sus diferentes interpretaciones.

16. Las dificultades en deducir y generalizar se producen porque no se enseña a: Establecer relaciones entre magnitudes y conceptos , ni a diferenciar los conceptos para dar el salto conceptual, por ejemplo entre: Número contador ≠ número relator cantidad ≠ número magnitud ≠ medida Operación y operación inversa. Resolver problemas: no logra identificar las magnitudes conocidas y desconocidas y diferenciarlas de la medida y de la unidad de medida.

17. E.D. se producen por currículo tradicional ¿Qué se enseña? ¿Para qué se enseña? ¿Cómo se enseña? A manipular # y f.g., símbolos abstractos. Aprender contenidos aislados y pasar la evaluación. Procedimientos mecánicos y repetitivos. Se enseñan nociones transitorias en la historia. Se usan “trucos” para “ayudar” a manipular los símbolos. Se evitan los saltos para evitar dificultad temporal.

18. ¿Qué son? Errores metodológicos Errores pedagógicos Errores conceptuales Énfasis en símbolos Contenidos aislados Procedimientos mecánicos ¿Por qué se producen?

19. Tradicionalmente, el docente repite lo que aprendió de sus profesores y esto hace que los obstáculos didácticos se repitan de generación en generación.

20. DIDÁCTICA La didáctica tiene en cuenta cuatro elementos: el saber, el docente, el discente y el contexto social.

21. “EL DESCUBRIMIENTO CONSISTE EN VER LO QUE TODOS HAN VISTO Y EN PENSAR LO QUE NADIE HA PENSADO.” Carlo Federici Casa (1906 – 2005)

22. DIDÁCTICA DE FEDERICI El docente reflexiona sobre qué, para qué y cómo se enseña. Enseñar la matemática consiste en desarrollar el pensamiento lógico matemático con el fin de adquirir herramientas para resolver problemas propios de la matemática, de la ciencia, de la música, del arte y… en general, de la vida cotidiana.

23. DIDÁCTICA DE FEDERICI ¿Qué se enseña? ¿Para quién se enseña? ¿Cómo se enseña? A desarrollar pensamiento lógico matemático. Proceso cognitivo. Des-cubrir relaciones, construir significado. La acción del niño de lo concreto a lo abstracto. Construyes todos los tipos de pensamiento en forma integral. Repite el proceso histórico.

24. ¿Qué y Para qué se enseña? E.T. D.F. A desarrollar el pensamiento lógico matemático mediante el estudio de las relaciones entre cantidades y magnitudes. A manipular números y figuras geométricas, símbolos abstractos. Para resolver problemas propios de la matemática, de la ciencia y de la vida cotidiana. Pasar la evaluación, aprendizaje temporal. Para construir el significado de los conceptos y la relación entre conceptos en todos los tipos de pensamiento en forma integral. Para aprender contenidos aislados.

25. ¿Para quién se enseña? E.T. D.F. El proceso ontogenético repite en cierta manera, el proceso filogenético. No se tiene en cuenta el proceso cognitivo del niño. Se enseña de la misma manera desde pre-escolar hasta la universidad: símbolos abstractos sin significado.

26. ¿Cómo se enseña? E.T. D.F. Se tiene en cuenta el proceso cognitivo del niño que aprende de lo concreto a lo abstracto. Se utilizan las situaciones problema de la historia para diseñar actividades. Mediante la acción y las percepciones des-cubre relaciones y construye el significado de los conceptos. Procedimientos mecánicos sin significado.

27. PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO El pensamiento lógico matemático se desarrolla sobre la base del pensamiento espacial y la construcción de las estructuras lógicas y de las bases matemáticas (Piaget, 1989).

28. Pensamiento espacial Relaciones topológicas se refieren a la construcción del espacio: abierto, adentro, con huecos, vecindad,… Relaciones proyectivas se refieren a la ubicación en ese espacio. Relaciones euclidianas se refieren a la forma y las proporciones y dimensiones del espacio. Las relaciones topológicas preceden a las proyectivas (Piaget, 1967).

29. Estructuras lógicas • Comparación: diferencias y semejanzas. • Clasificación: comprende tres estructuras: • Clasifica y reclasifica: clasifica si forma grupos usando todo el material con un criterio consistente. Reclasifica si clasifica con otro criterio diferente. • Inclusión: incluye un grupo en otro grupo general. • Complemento: separa el material en dos grupos complementarios, una propiedad y la negación de esa propiedad.

30. Relación se refiere al orden de un grupo teniendo en cuenta las relaciones temporales: • Relaciones y sus inversas. • Secuencias o patrones cuyo orden es aleatorio. • Relaciones de orden entre cantidades y magnitudes, cuyo orden es lógico, por ejemplo: en las regletas Cuisenaire.

31. Relación de orden entre magnitudesRegletas Cuisenaire blanca b roja r verde v rosada R amarilla a Verde oscura V negra n café c Azul A Naranja N

32. Bases matemáticas • Las bases matemáticas se refieren a la construcción del concepto de cantidad, magnitud, equivalencia y relación, y diferenciar: • Cantidad ≠ número. • Magnitud ≠ medida. • Equivalencia ≠ operación. • Relación ≠ relación inversa.

33. EQUIVALENCIAS R es equivalente a v y b b + v = R 2r = R o R/2 = 2 ¿Cuántas equivalencias diferentes de R? ¿Cuántas equivalencias diferentes sin importar el orden de R? ¿Cuántas equivalencias de R sólo con 2 regletas? ¿Cuál es el área del rectángulo? ¿De cuántas maneras se puede encontrar el área del rectángulo?

34. Cómo evitar los errores didácticos en el S.N.D. 3 + 5 = 8 8 – 5 = 3 La resta: operación inversa de la suma. La suma de 3 y 5 es igual a 8. La resta de 8 y 5 es igual a 3.

35. Generalización de la suma y la restaEcuaciones de primer grado 8 – x = 3 3 + x = 8 x + 5 = 8 x – 8 = -3

36. Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Construcción números de 2 cifras ¿Existe el número doce? El número 12 son doce cosas, conteo. Educación Tradicional Construcción de la lógica: el número doce es una suma. 1 grupo de 10 cosas = 1 decena ≠ 10 cosas N y r = 1d y 2 = 10 + 2 = 12 doce 10N y r = 10d y 2 = 100 + 2 = 102 40N y 5N y A = 40d y 5d y 9 = 400 + 50 + 9 = 459

37. Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Suma de unidades mayor que d 1 28 8 más 6 igual 14 + 36 pongo 4 llevo 1 64 Educación Tradicional Se cuenta y lleva. Construcción de la lógica: se forman decenas. 8 + 6 = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 = 14

38. Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Resta de unidades mayores El número de la izquierda le presta. 51 64 4 menos 6 no se puede - 36 el 6 le presta 1 al 4,… 28 Educación Tradicional Construcción de la lógica: se resta de la decena. + 4 = 4 + 4 = 8 14 – 6 = (10 – 6)

39. Cómo evitar los E.D. en Q+Relación entre conceptos y no usar las fracciones 0 + 2 + 2 = 2 x 2 = 4 R es múltiplo de r Multiplicación, múltiplos. R es el doble de r Número relator u operador multiplicador sobre magnitudes. = 2 2 = 2r = R

40. División: operación inversa de la multiplicación, divisores. 4/2 = 4 – 2 – 2 = 0 4/2 = 2 r es divisor de R r es la mitad de R Número relator u operador divisor sobre magnitudes. = 1/2 = 1/2 (1/2)R = r

41. Cómo evitar los E.D. en Q+ Construcción de la relación entre magnitudes ¿Cuál es la relación entre R y V? 3/2 = 3/2R = V ¿Cuál es el segmento que resulta del operador 2/3 sobre V? 2/3 = 2/3V = R

42. Construcción del significado de Q+: Operador, medida y razón. ¿Cuál es la medida entre R y V? R = 2/3V o V = 3/2R ¿Hay otra medida? R = 4/6V o V = 6/4R ¿Las medidas son equivalentes? R = 4/6V = 2/3V R/V = 2/3 V/R = 3/2 ¿Cuál es la razón entre R y V?

43. Construcción del significado de Q+: Operador, medida y razón.

44. Uso de regletas en álgebra x x2 (x + 2) (x + 3) = + (2 + 3)x + 2•3 (x + 3) (x + 2) = x2 + (3 + 2)x + 3•2

45. Uso de regletas en cálculo integral

46. Resolución de problemas • Pregunta: sin pregunta no hay problema. • Magnitudes conocidas y desconocidas. • Relación entre dos magnitudes (el cerebro funciona en forma binaria). • Unidad de medida para cada medida y la relación entre las diferentes unidades de medida. • Proceso de lo analítico a lo sintético.

47. Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área Docente Docente Docente Discente Saber Docente Contexto social

48. Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área Contexto social Resolver problemas propios de la matemática. Resolver problemas de la ciencia y del arte. Resolver problemas de la vida cotidiana. P.L.M: procesos lógicos, espaciales, matemáticos. Logros: identificar, diferenciar, construir. Actividades.

49. Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área Saber Desarrollo del proceso cognitivo. Historia del proceso de construcción de los conceptos. Conceptos fundamentales y la relación entre ellos.

50. Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área Papel del discente Descubrir relaciones entre cantidades y magnitudes mediante la acción. Construir el significado de los conceptos. Justificar y explicar las respuestas.