Doc. Milo š Steinhart, 06 036, ext. 6029

1. Pokročilá fyzika C803fIIp_10 Úvod do moderní fyziky IIHraje Bůh ‘v kostky’?Úvod do kvantové fyziky Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029 http://stein.upce.cz/msfIIp13.html

2. Hlavní body • Základní principy kvantové mechaniky • Od vlnových vlastností k vlnové funkci • Relace neurčitosti • Pravděpodobnostní versus deterministický přístup • Popis měřitelných veličin pomocí operátorů • Schrödingerova rovnice a příklady jejího použití • Volná částice • Nekonečná potenciálová jáma • Konečná potenciálová jáma • Tunelování • Elektronové pasti

3. Pád klasické fyziky • Na přelomu 19. a 20. století se nahromadily experimenty, které ukazovaly na principiální odlišnosti mikrosvěta a světa makroskopického. • Nejzávažnější výsledky ukazovaly na dualismus vln a částic a s ním související kvantování mikroskopických veličin. • Popis, který si mikrosvět vyžádal je bohužel daleko od běžnýchzkušeností a selského rozumu. • Klasická fyzika je v makrosvětě zpravidla dobrou aproximací, ale kvantové jevy zasahují i nutně sem. Tedy existují makroskopické jevy, jejichž výsledek je způsoben kvantovým chováním.

4. Kvantová teorie I • Pro zatím nejlepší teorii, která se snaží o vysvětlení mikrosvěta a sporů s klasickou fyzikou se vžil název kvantová mechanika. • Spíš by se ale hodil název pravděpodobnostnímechanika, protože její nejzávažnější a nejobtížněji „stravitelnou“ vlastností je právě fakt, že ukazuje, že popis mikrosvěta je principiálně možný pouze pomocí pravděpodobností. • S tímto faktem se například nikdy nesmířil A. Einstein, přestože sám stál u kolébky kvantové teorie. Tvrdil, že „Bůh nehraje v kostky“

5. Kvantová teorie II • Kvantová teorie vysvětluje chování mikrosvěta. Její extrapolace do makroskopického (normálního) světaale musí souhlasit s dobře ověřenou fyzikou klasickou. Existuje totiž jen jeden svět! Tomuto přirozenému požadavku se říká princip korespondence. • Přes všechny nesporné úspěchy kvantové teorie nezavrhujeme v makroskopické praxi klasické teorie, např. Newtonovy zákony nebo geometrickou optiku, protože jejich použití je mnohem jednodušší a přitom poskytuje často dostatečně přesné výsledky. • Ne ale pokaždé! Vždy je nutné vědět, kde mají klasické teorie své hranice.

6. Vlnová funkce I • Experimentálně je nade vší pochybnost dokázáno, že fotony se nedělí. Změna intenzity světla tedy vede ke změně jejich počtu. Neexistujeteorieani teoretická možnost určit, kamdopadnejeden konkrétní foton. Teprve až bude fotonů obrovskémnožství bude zobrazení vypadat tak, jak očekáváme v závislosti na analýze příslušného zobrazovacíhosystému. Tu bychom mohli učinit nejobecněji pomocí kvantovéelektrodynamiky(QED), která popisuje základní interakci elektronu a fotonu. • V praxi ji však provádíme vždy s využitím nejednoduššího modelu, který ještě splňuje požadavek dané přesnosti: • užitím představy paprsků pokud postačuje model geometrickéoptiky • nebo pomocí skládánívln u difrakčních experimentů. • Stejně postupujeme i u jiných mikroskopickýchčástic.

7. Vlnová funkce II • Provedeme-li s částicemi například vhodně navržený experiment s dvojitou štěrbinou, dostáváme obdobné výsledky jako s monochromatickým vlněním (světlem). • Není tedy překvapivý předpoklad, že v pozadí existence částic je jakási hmotnostní nebo pravděpodobnostní vlna. V současné době se nazývá vlnováfunkce. • V analogiích lze pokračovat : Jak známo, intenzita světla v jistém bodě zobrazení je úměrná druhé mocnině intenzity elektrického pole EMA záření. Budeme-li ale zobrazovat foton po fotonu, můžeme intenzitu světla chápat jako pravděpodobnost dopadu fotonu do daného místa.

8. Vlnová funkce III • Analogicky požadujeme, aby druhámocninaamplitudyvlnovéfunkce byla rovná hustotěpravděpodobnostivýskytu příslušné částice v daném bodě a čase.Jedná se o komplexníveličinu, protože musí popsat i fázové posuny. • Tedy vlnováfunkce podobně jako amplituda elektrické intenzity EMA vlny závisínapolozea na časea sama o sobě není přímo měřitelnou veličinou. Uvědomme si, že například při difrakci EMA vln neumíme přímo měřit intenzitu elektrické ani magnetické složky EMA pole, ale jen intenzitu záření. Neznáme tedy fázi příchozích vln. To je obtíž například ve strukturní analýze, kde zkoumáme, strukturu ‘difrakční mřížky’. Nazývá se fázovýproblém.

9. Vlnová funkce IV • Vlnovou funkci lze nicméně za příznivých okolností nalézt a vypočítat příslušné pravděpodobnosti. • Aby to bylo co nejjednodušší musí být vlnová funkce zpravidla normovaná. • Rozličné fyzikálníveličiny lze získat působíme-li na vlnovou funkci vhodnýmioperátory. • Například je operátor celkové energie a je operátor hybnosti.

10. Heisenbergův princip neurčitosti I • V klasické fyzice předpokládáme, že každé měření je zatíženo určitou chybou, ale zlepšováním přístrojů a metod lze tuto chybu neustále zmenšovat. • V mikrosvětě se ale ukazuje, že výskyt určitých “chyb“ je principiální vlastností přírody, která nesouvisí přímo s vlastním měřením. Tento fakt musí kvantová mechanika respektovat. • Pomocí měření se ale princip neurčitosti nejsnáze a nejčastěji vysvětluje. To vede sice k názorným ale často ne úplně správným představám.

11. H. princip neurčitosti II • Jedno z vyjádření Heisenbergova principu neurčitosti lze psát ve formě : • Principneurčitostiplatípro různé, tzv. nekompatibilní(nebo nekomutativní)dvojiceveličin. Kromě souřadnice a odpovídající složky hybnosti mezi ně patří i čas a energie : • Kompatibilní dvojice, např. x a py však společně ostrou hodnotu mít mohou. • Neurčitosti vyplývající z Heisenbergova principu lze jistý jev chápat jako mezní dosažitelné.

12. Determinizmus versus pravděpodobnost I • Klasická mechanika je determistická – známe-li pohybové rovnice určitého tělesa a okrajové podmínky, jsme principiálně schopni určit její polohu a hybnost v libovolném čase v minulosti i budoucnosti. • Mikrosvět deterministický není. Je to vidět třeba na předchozím příkladu zobrazování s použitím jednotlivých fotonů, kdy fotony vychází z jednoho zdroje, prochází stejným optickým systémem, ale každý dopadne někam a předem nelze určit kam. Kvantová teorie musí tuto principiální vlastnost mikrosvěta odrážet. Proto je založena na pravděpodobnostech.

13. Determinizmus versus pravděpodobnost II • Extrapolace mikrosvěta do makrosvěta vede ke zdánlivému determinismu. Kvantová teorie totiž přiřadí každému řešení jistou pravděpodobnost. U některých řešení je ovšem astronomickymalá. Tím může podpořit náš předchozí názor, že se jedná o řešení téměřnemožná. • Předchozí postup sice připomíná metody klasické statistické fyziky, například u teorie plynů, ale ta ve skutečnosti předpokládá deterministické chování jednotlivých částic. • Kvantové efekty se nemusí vyrušit ani pro velké množství částic. Ty potom bývají nerozlišitelné a chovají se podle neklasických kvantových statistik – Bose-Einstein / Fermi-Dirac.

14. 1D Schrödingerova rovnice I • Schrödingerova rovnice umožňuje výpočet vlnové funkce na základě zákonazachování energie. • Existuje několik verzí, z nichž nejdůležitější skupiny jsou časově proměnné SR, jejichž řešením jsou vlnové funkce systémů, které se mohou vyvíjet v čase nebostacionární SR, jejichž řešením jsou stavy stacionární. Jím odpovídající vlnové funkce závisí samozřejmě již jen na poloze. • Platnost SR musí ověřit experiment.

15. Kvantová teorie III • Pro názornost si další jemnosti kvantové mechaniky ukážeme při řešení konkrétních jednoduchých problémů. • Nejprve řešme případ volné částice. Nezajímá-li nás fáze, můžeme volnou částici určité hybnosti a energie reprezentovat harmonickou rovinnou vlnou, která se rozprostírá v celém prostoru. Podle principu neurčitosti totiž vede ostrá hodnota hybnosti k nekonečnéneurčitosti v poloze : • Lokalizovanou částici by bylo nutné reprezentovat souborem rovinných vln blízkých vlastností – tzv. vlnovým balíkem. Tím však dochází k rozmazání hybnosti.

16. Kvantová teorie IV • Kvantování hybnosti a energie se objevuje při prostorovémomezení výskytu částice. Nejjednodušeji je to vidět u částice v nekonečně hluboké (vysoké) potenciálové jámě. • Kvantované jsou hybnost, energie, vlnová funkce i hustota pravděpodobnosti. Protože je jáma nekonečněhluboká, je jich ale nekonečněmnoho, n=1, 2, 3 … • Z hustoty pravděpodobnosti je patrné, že částice v základnímstavu bude spíše v centru než na krajích. • Ve vyšších stavech jsou místa pravděpodobného i nepravděpodobného výskytu pravidelně odměřena.

17. Kvantová teorie V • Principiální novinkou, kterou přináší kvantová teorie, je existencenenulového základního energetického stavu : • Tedy částice v nekonečně hluboké potenciálové jámě a tedy i jiná, prostorovělokalizovaná částice, má v základním stavu nenulovou energii a není tudíž v absolutním klidu ani při 0 K!

18. Kvantová teorie VI • Uvažujme částici v hluboké potenciálové jámě nyní konečné hloubky U0. • Kvantované jsou opět stejné veličiny jako u nekonečně hluboké jámy. Podstatný rozdíl ale je nenulová pravděpodobnost výskytu částice i vně jámy. Tento fakt zcela odporuje klasickým představám, protože odporuje zachování energie. Princip neurčitosti ovšem připouští na kratičkou dobu jistou neurčitost energie.

19. Kvantová teorie VII • Případ konečně hluboké potenciálové jámy naznačuje princip tak zvaného tunelování, kdy částice může s jistou pravděpodobností projít barierou určité tloušťky a (energetické) výšky, přestože podobný průnik podle klasických představ odporuje zákonu zachování energie. • Podobně jako v optice popisujeme schopnost projít bariérou transmitancí T a schopnost odrazit se reflektivitou R. Samozřejmě T + R =1. Pro malé T platí : zjevně schopnost pronikat drasticky klesá s U0 a L.

20. Kvantová teorie VIII • Tunelováníje typická vlastnost vln a dochází k němu i u světelných vln v optice. • Díky tunelování dochází například též k rozpadu. • Princip tunelování je využit u • tunelových diod s tenkou vrstvou dělící p a n – umožňují přesnější řízení proudu napětím • tunelové scanovací mikroskopie (STM) – zpětnovazební mechanismus udržuje konstantní proud mezi hrotem a vzorkem přibližováním nebo vzdalováním hrotu. Umožňuje laterární rozlišení 0.1 nm a vertikální dokonce 10-2 – 10-3 nm.Podobně funguje (ATM - atomic force microscopy) kde se ale udržuje konstantní síla.

21. Kvantová teorie IX • I když jsme v případě konečně hluboké jámy nešli do podrobností, je patrné, že částice bude mít jen konečný počet diskrétních hladin energie, a to těch které odpovídají podmínce En < U0. • Kdyby se například jednalo o elektron, mohl by takový systém absorbovat nebo emitovat jen fotony určitých diskrétních energií, čili by měl čárové spektrum.

22. Kvantové pasti I • Ze vztahu pro energii u částice v nekonečné potenciálové jámě je patrné, že při zužování jámy konečné hloubky by rostla energie základního stavu a zmenšovala se ionizační energie. • Jako skutečnápast na elektrony může sloužit například zrno polovodičového materiálu a velikosti řádově nanometrů.

23. Kvantové pasti II • Podobně funguje kvantovátečka nebo-li umělýatom, kde polovodičová vrstva je oddělena tenkou a podstatně tlustší vrstvou izolantu od přívodních elektrod. Tenčí vrstva umožňuje elektronům tunelovat do střední oblasti a případně nazpět v závislosti na řídícím napětí. Tímto způsobem je možné řídit počet elektronů uvězněných v jámě. Toto uspořádání se chová jako umělý atom, u kterého je možné řídit počet elektronů. Kvantové tečky uspořádané do 2D struktur mohou sloužit například jako paměti s velkou hustotou záznamu a rychlostí vybavování.

24. Relace neurčitosti I • Hledáme-li ve tměpingpongový míček, můžeme se snažit ho nahmátnout nebo si posvítit. Při nahmatávání do míčku zpravidla nechtě strčíme, ale potom nevíme přesně, kde míček původně byl. Když si posvítíme běžným světelným zdrojem, polohu míčku určíme, protože tlak fotonů jej nedokáže uvést do pohybu. • Posvítíme-li si ovšemna mikroskopickou částici, do pohybu ji uvést můžeme a to podle energie použitého světla. Neurčitost změření souřadnice tedy závisí na vlnové délce použitých fotonů :

25. Relace neurčitosti II • DeBroglieho vlnové délcetakového fotonu odpovídá hybnost : • Neurčitost hybnosti odhadneme jako srovnatelnou : • Součin neurčitostí souřadnice a hybnosti tedy je : • Přesnější výpočet vede na :

26. Relace neurčitosti III • Vidíme, že neurčitost souřadnice a neurčitost hybnosti si konkurují: • Budeme-li například chtít, aby hybnost fotonů byla malá a tedy malá byla i jejich interakce se sledovanou částicí, musíme použít fotony s velkou vlnovou délkou, což ale vede k větší neurčitosti v určení souřadnice. • Není ale hyperbola jako hyperbola. Kdyby bylo h = 1projevovaly by se relace neurčitosti i v makrosvětě, jako je tomu v knížce Pan Tomkins v říši divů. Vzhledem k velikosti Planckovy konstanty tomu tak ale není! ^

27. Relace neurčitosti IV • Příklad 1.: • Basebalový míček o hmotnosti 150 g je hozen rychlostí v=42 m/s, s neurčitostí 1 m/s. S jakou maximální přesností by mohla být změřena souřadnice? • Neurčitost hybnosti míčku je p = 0.15 kg m/s. Tedy : • Neexistuje metoda, která by měřila s takovou přesností. Relace neurčitosti neznamenají pro současnéurčení souřadnic i hybnosti makroskopických těles žádné faktické omezení. Jinak by tomu bylo, kdyby bylo např. h = 1! ^

28. Relace neurčitosti V • Příklad 2.: • Elektron se pohybuje rychlostí v=1.1 106 m/s, která byla změřena s přesností 0.1 %. S jakou maximální přesností by mohla být změřena souřadnice? • Odpovídající hybnost elektronu je p = 1 10-24 kg m/sa její neurčitost p = 1 10-27 kg m/s. Tedy : • To je asi tisícinásobek velikosti atomu! ^

29. Relace neurčitosti VI • Příklad 3.: • Bylo zjištěno, že mezon J/, objevený v roce 1974 má střední hmotnost 3100 MeV/c2s rozpětím 63 keV/c2. Toto rozpětí souvisí s dobou života mezonu. Odhadněte tuto dobu pomocí relací neurčitosti? • Neurčitost energie mezonu je E = 63 103 1.6 10-19 = 1.01 Jkg. Tedy : • Takto krátké doby života je velice obtížné měřit přímo. ^

30. Filosofie vlnové funkce I • Lineárně polarizovanou, rovinnou EMA vlnu, šířící se ve směru, vlnového vektoru, lze popsat jako časoprotorovou závislost její magnetické indukce nebo elektrické intenzity: • Úhlovou frekvencilze vyjádřit pomocí celkové energie. Pro fotony s nulovou klidovou hmotností m0 = 0 :

31. Filosofie vlnové funkce II • Podobně velikost vlnového vektoru k lze vyjádřit pomocí velikosti vektoru hybnosti p. Stejný vztah platí i mezi jednotlivými složkami a tedy i celými vektory. Vektory • a jsou podle očekávání rovnoběžné:

32. Filosofie vlnové funkce III • Popis naší známé EMA vlny tedy lze upravit na : • Analogicky definujeme kvantově mechanickouvlnovou funkci :

33. Filosofie vlnové funkce IV • Fyzikální veličiny vyjadřujeme z vlnové funkce zpravidla vhodným derivováním. • Derivujme ji například parciálně podle času : • Po úpravě platí :

34. Filosofie vlnové funkce V • Působením výrazu na vlnovou funkci tedy dostáváme energii. Proto tento výraz nazýváme operátorem celkové energie.

35. Filosofie vlnové funkce VI • Podobně můžeme vlnovou funkci parciálně derivovat například podle souřadnice y a máme: • operátor y-ové složky hybnosti :

36. Filosofie vlnové funkce VII • Kdybychom takto postupovali pro všechny složky: • Pokud je známa vlnová funkce lze jeho působením určit hybnost, i odvodit fundamentální rovnici kvantové mechaniky tzv. Schrödingerovurovnici. • nalezneme operátorvektoru hybnosti : ^

37. Schrödingerova rovnice I • Odvodíme stacionární Schrödingerovu rovnici pro jednorozměrný případ. Vyjdeme ze zákona zachování energie : • Hybnost a potenciální energii nahradíme příslušnými operátory a budeme působit na vlnovou funkci : ^

38. Schrödingerova rovnice II • Jak jsme dospěli k předchozímu závěru? Upravme vztah pro energii : • Derivujme dvakrát naší předchozí vlnovou funkci : • Nyní stačí výsledek rozšířit výrazem : ^

39. Volná částice I • Mějme částici, která se může pohybovat ve směru osy x a nepůsobí na ní žádná síla, čili Ep = 0 . Napišme SR : • S diferenciální rovnicí 2. řádu jsme se setkali např. při studiu harmonického oscilátoru. Její obecné řešení je rovinná prostorová vlna: • zde k ale není tuhost pružiny, ale vlnové číslo (vektor) :

40. Volná částice II • Docházíme k závěru, že hybnostaenergie volné částice mohou dosahovat libovolných hodnot a nejsou tudíž kvantovány. • Vlnová funkce volné částice může být reprezentována rovinnou harmonickou vlnou. Pokud nás nezajímá fáze, můžeme položit například B = 0 a dostáváme jednoduchou sinusoidu. • U takovéto částice by ale byl problém s normalizací. V reálných případech by se volná částice vyskytovala v možná velkém, ale ne nekonečném prostoru. Vlnová funkce by potom byla normalizovatelná. Dostali bychom ovšem kvantování, které by ale mohlo být nerozlišitelně jemné. ^

41. Částice v nekonečné p. jámě I • Mějme částici, která se může pohybovat ve směru osy x, ale je umístěna v nekonečně hluboké potenciálové jámě délky L. Potenciální energii můžeme napsat jako : • Schrödingerovu rovnici i její obecné řešení předpokládejme stejné jako v případě volné částice :

42. Částice v n. potenciálové jámě II • Částice se může vyskytovat pouze v jámě. Vně by musela mít nekonečnou potenciální energii! Vlnová funkce vně jámy tedy bude identicky rovna nule. Z požadavku její spojitosti musí tedy platit okrajové podmínky ve tvaru : • Vlnová funkce je tedy stojatá vlna s uzly na okrajích jámy.

43. Částice v n. potenciálové jámě III • První podmínka vede na zjednodušení vlnové funkce : • a druhá, díky periodicitě funkce sinus, na kvantování vlnového vektoru, hybnosti a energie :

44. Částice v n. potenciálové jámě IV • KonstantuAzískámez normalizační podmínky : • Celkově tedy lze vlnovou funkci pro určité n vyjádřit :

45. Částice v n. potenciálové jámě V • Tedy máme-li volnou částici o přesně známé energii E nebo hybnosti p, může se vyskytovat kdekoli na ose x. To je v dokonalém souladu s principem neurčitosti. • Omezení výskytu částice v prostoru vede na kvantování hybnosti, energie atd. i obecně. Z něj také vyplývá existence energetickýchhladin v atomech, která vedla k formulaci Bohrova modelu. ^

46. Částice v konečné p. jámě I • Mějme částici, která se může pohybovat ve směru osy x, ale je umístěna v konečně hluboké potenciálové jámě délky L. Potenciální energii můžeme napsat jako : • Schrödingerova rovnice má nyní tvar :

47. Částice v konečné p. jámě II • Ve vlastní jámě předpokládejme řešení Schrödingerovy rovnice opět stejné jako v předchozích případech : • Okrajové podmínky nyní ale budou jiné. Předpokládejme, že částice je (alespoň v klasickém slova smyslu) uvězněna v jámě, tedy E < U0. Zaveďme nejprve konstantu G a vložme ji do rovnice:

48. Částice v konečné p. jámě III Obecné řešení této rovnice lze napsat : • V oblasti I je x < 0 proto musí být D = 0 . Podobně v oblasti III musí být C = 0. Tedy:

49. Částice v konečné p. jámě IV jako okrajové podmínky požadujeme spojitost vlnové funkce a její první derivace ( tzv. hladkost). Na stěnách jámy tedy platí : • Na levém okraji tedy platí : • Další podmínky bychom dostali na pravém okraji a z normalizace. • Pro E > U0obdržíme stojaté vlny. ^

50. Částice v konečné p. jámě V • Příklad : Mějme elektron v základním stavu potenciálové jámy dlouhé100 pm a vysoké30 eV. • a) Jaké by bylo spektrum tohoto systému? • b) Jaký foton by dokázal uvolnit tento elektron? • c) Může tento elektron absorbovat foton s  = 100 nm? • Jaký foton by dokázal uvolnit tento elektron? • a)Podrobný výpočet ukazuje, že systém má tři diskrétní hladiny energie E1 = 2.9 eV, E2 = 11.6 eV a E3 = 24.5 eV. Další hladina by již byla výše než je výška jámy. • Elektron v základním stavu může v důsledku absorpce fotonu přejít buď do druhé nebo třetí hladiny. Ve spektru by ještě existovala čára odpovídající přechodu z druhé do třetí hladiny.