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DETERMINANTES

DETERMINANTES. Definição : Determinante é um número associado a uma matriz quadrada de ordem n x n. Matriz quadrada de ordem 1. Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a 11 ), o seu determinante será o próprio elemento a 11 . det A =. a 11 =. a 11. Exemplo.:. .

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Presentation Transcript

  1. DETERMINANTES Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada de ordem n x n. Matriz quadrada de ordem 1 Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a11 ), o seu determinante será o próprio elemento a11. det A = a11 = a11 Exemplo.:  A = ( 120 ) det A = 120  B = (– 29 ) det A = – 29

  2. a11 a12 –3 2 a11 a12 –3 2 A = a21 a22 1 –5 a21 a22 1 –5 A = Matriz quadrada de ordem 2  a11 a22 – a12 a21 det A = = Produto dos elementos da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.  (–3)  (–5) – (2)  (1) det A = = det A = 15 – 2 = 13 det A = 13

  3. Matriz quadrada de ordem 3 Regra de Sarrus: Repete-se as duas primeiras linhas abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a soma do produto da diagonal principal com o produto das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com as diagonais. (det A = SDP – SDS)

  4. ( a13a22a31 + ( a11a22a33 + a23a32a11 + a21a32a13 + a31a12a23 ) a33a12a21 ) SDS = SDP = a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 ou a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a11 a12 a13 a21 a22 a23 det A = SDP – SDI

  5. 0 0 3 5 1 3 5 3 0 –5 det A = 1 3 5 – 15 ) – 15 ) ( 0 + ( 0 + 45 45 Propriedades dos determinantes 1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou proporcionais (0)  (5) – (0)  (3) det A = = = 0 – 0 = 0  – det A = det A = 0

  6. 1 3 5 2 1 2 3 0 –5 3 0 –5 det A = det A = 2 1 2 1 3 5 – 30 ) 15 ) 18 ) – 5 ) ( 0 – ( 0 + ( 0 – ( 13 ) (– 15 ) ( 0 + ( 13 ) ( –15 ) 30 + 18 15 5 + 2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, o determinante mudará o sinal. – det A =  det A = –28 det A = – – =  det A = 28 –

  7. 2 4 6 12 3 5 3 5 3. Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz quadrada por um número k, o seu determinante ficará multiplicado por k. (10) – (12) = –2 det A = = k = 3 (30) – (36) = –6 det B = = det B = kdet A det B = 3(–2) = –6

  8. A2 = 2 4 6 12 6 12 3 5 9 15 9 15 4. Da propriedade 3, decorre que: det ( kAn ) = kndet An.  3A2 = k = 3 (90) – (108) = –18 det ( 3A2) = = det ( 3A2 ) = 32det A2 = 9(–2) = –18

  9. 1 3 5 1 3 2 3 0 –5 3 0 1 det A = det AT = 2 1 2 5 –5 2 18 ) – 30 ) + 15 ) 18 ) ( 0 – ( 0 + ( 13 ) (– 15 ) ( 0 – (– 15 ) ( 0 – ( 13 ) 5 + 30 15 5 + 5. det A = det AT . – det A =  det A = –28 det A = – – det AT =  det AT = –28 det AT = –

  10. A2 = 2 4 3 10 2 4 10 28 3 10 1 2 14 40 1 2 3 5 3 5 A2 B2 =  6. det ( An Bn ) = det A  det B ; B2 = = det ( An Bn ) = 400 – 392 = 8 det A  det B = (–2)  (–4) = 8

  11. 1 0 0 5 3 2 0 1 0 0 –2 1 det I3 = det A = 0 0 1 0 0 3 7. det In= 1  det I3 = 1 8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal. det A = 5  (–2)  3 = –30

  12. 1 det A 2. det A–1 = , det A  0 a b 1. Se A2x2 = , então : c d d –b det A det A A–1 = –c a det A det A Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá inversa (A–1) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. A–1 A = A  A–1 = I  det A  0. 3. Se A possuir inversa, essa será única.

  13. E 01. (Fuvest – SP) Se a é uma matriz 2x2 iversível que satisfaz A2 = 2A, então o determinante de A será: • 0. • 1. • 2. • 3. • 4. det A2 = det (2A) det A  det A = 22 det A det A = 4

  14. 02. (Udesc) O grau do polinômio que expressa o determinante da matriz A = x x 1 2 x –x 1 x 1 A • 3. • 2. • 1. • 0. • 4. x x 1 P(x) = x2 + 2x – x2 – x + x3 – 2x 2 x –x P(x) = 1 x 1 P(x) = x3 – x x x 1 Grau 3 2 x –x

  15. k11 k12 2 16 K = K = k21 k22 5 5 03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). (01) Se K = (kij) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por kij = 22i + j para i < j e kij = i2 + 1 para i > j, então k é uma matriz inversível. k11 = 12 + 1 = 2 Det K = 10 – 80 = –70  0  é inversível k12 = 22(1) + 2 = 24 = 16 k21 = 22 + 1 = 5 (01) - correta k22 = 22 + 1 = 5

  16. (02) Se A e B são matrizes tais que A  B é uma matriz nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula. A  B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0. (02) - incorreta (04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos 5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R2 tem 625 elementos. Ordem n M5x7 P7x5 = R5x5 (A matriz R possui 25 elementos) c.e.p Logo, a matriz R2 tem 25 elementos. (04) - incorreta

  17. (08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma do elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então Tr(L) = Tr(LT). A transposta de uma matriz não altera sua diagonal principal. (08) - correta GABARITO QUESTÃO 03 : 01 + 08 = 09

  18. 2x + 3y – z = 5 2x + 3y = 5 2x2 + 3y = 5 2xy + 3y = 5 x – y + z = 2 x – y = 2 x – y = 2 x – y = 2 –5x – 3y + 4z = 10 SISTEMAS LINEARES Equação Linear é uma equação de forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b Portanto, um sistema será linear quando for composto de equações lineares. linear não-linear

  19. x 1 3 2 1 . y 2 1 –1 3 = 5 2 1 z 7 3 2 1 1 1 –1 3 2 3x + 2y + z = 1 5 2 1 7 x – y + 3z = 2 5x + 2y + z = 7 Observações: Forma matricial 1.  Forma matricial completa 2. A matriz constituída apenas pelos coeficientes é denominanda matriz principal.

  20. 2x + 3y = 0 x – y = 0 3. Se o número de equações é igual ao número de variáveis e o determinante da matriz principal () for diferente de zero,o sistema recebe o nome de normal. 4. Se todos os termos independentes são nulos (0), o sistem é chamado de homogêneo.

  21. a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 . . . an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n  = . . . . . . an1 an2 an3 ... ann Método de Cramer

  22. b1 a12 a13 ... a1n b2 a22 a23 ... a2n x1 = . . . . . . bn an2 an3 ... ann a11 b1 a13 ... a1n a21 b2 a23 ... a2n x2 = . . . . . . an1 bn an3 ... ann a11 a12 b1 ... a1n a21 a22 b2 ... a2n x3 = . . . . . . . . . an1 an2 bn ... ann

  23. a11 a12 a13 ... b1 a21 a22 a23 ... b2 xn = . . . . . . . . . an1 an2 an3 ... bn x3 xn x1 x2 , , , ... , xn = x2 = x3 = x1 =     Se   0 temos:

  24. 3x + 2y = 8 x – y = 1 x y –5 –10 x = y = = = = 2 = 1   –5 –5 3 2  = = – 3 – 2 = – 5 1 -1 3 8 8 2 y = x = = 3 – 8 = – 5 = – 8 – 2 = – 10 1 1 1 -1 Exemplo: S = {(x, y)} S = {(2, 1)}

  25. determinado Possível indeterminado Sistema linear Impossível (sem solução) DISCUSSÃO DE SISTEMAS Solução única   0 Infinitas soluções  = x = y = z = 0 Infinitas soluções  = 0 e x  0 ou y  0 ou z  0.

  26. Possível e determinado (   0 , S = {(0, 0, 0, ..., 0)} ) Solução trivial Possível e indeterminado (  = 0 ) (Além da trivial, admitirá soluções próprias) Se o sistema linear for homogêneo:

  27. A + B = 30 A + B = 30 + B + C = 28 -A + B = –6 A + C = 34 04. Três amigos sobem em uma balança de dois em dois. Antônio e Beatriz somam 30 kg e Beatriz e Caio, 28 kg. Sabe-se que Antônio e Caio pesam juntos 34 kg. Quanto pesa Beatriz? (–) 2B = 24 B = 12 Beatriz tem 12 kg.

  28. x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = m 3x + 3y + 3z = 4 05. (UFSM – RS) Considere o sistema . Então, pode-se afirmar que o sistema é: • possível e indeterminado. • Impossível para qualquer valor de m. • Possível e determinado. • Possível para m  2. • Impossível apenas quando m  2.

  29. x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = m 3x + 3y + 3z = 4 x + y + z = x + y + z = x + y + z = m 4 4 2 3 3 B  (2)  (3) Impossível para qualquer valor de m.

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