1 / 19

Neurčitý integrál.

Neurčitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1 x ). Kolik procent celkové plochy tvoří jednotlivé barevné plochy. Potřebujeme spočítat plochu pod křivkou. a % z 100 m 2.

trilby
Download Presentation

Neurčitý integrál.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Neurčitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik procent celkové plochy tvoří jednotlivé barevné plochy. Potřebujeme spočítat plochu pod křivkou a % z 100 m 2 Princip výpočtů – neurčitý integrál (100 – a) % Plocha se počítá pomocí určitého integrálu

  2. Nechť F (x) je funkce, pro kterou platí F/ (x) = f( x ). Pak F je primitivní funkce k funkci f. Nechť F je primitivní funkce k f, tj.F/ (x) = f( x ). Jestliže c je libovolná konstanta, pak (F + c) / (x) = f( x ), tedy F + c je rovněž primitivní fukce k f. Stručněji píšeme Integrace některých funkcí. Příklad. | | | | | |

  3. Neurčitý integrál z funkce f lze počítat pouze na množině, kde je f definována!!!

  4. Integrace per partes. Nechť f a g mají vlastní derivace v intervalu I. Pak f g' je integrovatelná v I právě tehdy, je-li f 'g integrovatelná v I, a platí Příklad.

  5. Příklad. Substituce. Nechť • z = f ( x ), x A  D( f ) a f má derivaci v A • y = g ( z ), z B  D( g ) a existuje primitivní funkce G ( z ) na B • f ( A )  B Pak

  6. Příklad. Stručněji a jednodušeji

  7. Příklady k procvičení. Vypočítejte , jestliže

  8. Určitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik procent celkové plochy tvoří jednotlivé barevné plochy. Potřebujeme spočítat plochu pod křivkou a % z 100 m 2 Plocha se počítá pomocí určitého integrálu (100 – a) % Princip výpočtů – neurčitý integrál

  9. Newtonův (určitý) integrál. Nechť k funkci f existuje na intervalu I = [a, b] (- , + ) primitivní funkce F, tj. F / (x) = f (x), xI. Nechť existují a . Pak definujeme Newtonův (určitý) integrál Riemannův integrál. Horní dělení: S H =  (“plocha“ obdélníků opsaných křivce) Dolní dělení: S D =  (“plocha“ obdélníků vepsaných do křivky) Délka hrany obdélníků na ose x: h Můžeme psát S H (h), S D (h). Definujeme: (Riemannův integrál k f na intervalu (a, b)

  10. “plocha“ obdélníka: f (m) h, kde m je buď minimum, nebo maximum v úseku na ose x • určitý integrál z kladné funkce je kladný, ze záporné funkce je záporný. • pokud je (a, b) konečný, nezáleží na jeho typu. Horní dělení: S H =  (“plocha“ obdélníků opsaných křivce) Dolní dělení: S D =  (“plocha“ obdélníků vepsaných do křivky) Je-li funkce f spojitá na intervalu [a, b], pak

  11. Příklad. Příklad. Příklad (úvodní). tj. zhruba 16.7% (ze 100m2).

  12. Integrace per partes pro určitý integrál. Nechť funkce f a g jsou diferencovatelné v intervalu (a, b). Nechť existuje . Pak Příklad. Určete velikost plochy pod křivkou f (x) = x sin(x) na intervalu (0, ).

  13. Substituce v určitém integrálu. Nechť funkce g má primitivní funkci na intervalu (a, b), nechť f je diferencovatelná funkce na intervalu (c, d), R( f )  (a, b). Pak Příklad. Určete obsah kruhu o poloměru r. Stačí vypočítat obsah horního půlkruhu a vypočtený obsah násobit 2. (Jinak by takto popsaný kruh měl obsah roven 0!!!!!!

  14. Substituce x / r = y. Pak dx / r = d y. Když x = - r, pak y = - r / r = - 1. Když x = r, pak y = 1. = (*) Substituce y = sin z. Pak dy = cos z dz. Když y = -1, pak z = -/2, když y = 1, pak z = /2. Platí (ověřte!!) (*) = Substituce 2z =p, 2zdz = dp. Když z = /2, pak p =  (protože poslední integrál je roven 0 – ověřte!!!!) Plocha horního půlkruhu je tedy rovna r 2 / 2, tedy plocha kruhu je rovna r 2 .

  15. Příklad. Určete plochu na intervalu (0, 1), která je pod křivkou f ( x ) = 0.5 - x (1 – x) a nad křivkou g ( x ) = x (1 - x). f ( x ) g ( x )

  16. Příklad. Vpočítejte. Příklad. Vpočítejte. A (x – 3) + B (x + 1) = 1  A = -B = 0.25

  17. = log (1/3)0.25  - 0.275 Příklad. Vypočítejte obsah oblasti ohraničené křivkami y = x 2, y 2 = x, x  0. Společné body křivek: [x, y] = [0, 0] [x, y] = [1, 1] Plocha je rovna 2/3 - 1/3 = 1/3.

  18. Objem rotačního tělesa. Objem tělesa vzniklého rotací funkce f,f  0 na (a, b), kolem osy x se spočítá jako Příklad. Vypočtěte objem koule o poloměru r. Koule vznikne rotací kružnice x 2 + y 2 = r 2. Aby se integrály nevynulovaly, počítáme 2x rotaci půlkruhu. Objem koule tedy je 4  r3 / 3.

  19. Příklady k procvičení. Určete objem tělesa, které vznikne rotací plochy pod f ( x ) = 0.5 - x (1 – x) na intervalu (0, 1). Vypočtěte objem kužele, který vznikne rotací úsečky y = r x / v kolem osy x na intervalu (0, v ), v je výška kužele, r je poloměr podstavy.

More Related