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Cap. 33 – Corriente Alterna. Análisis Matemático. Circuitos AC – Fuente de Voltaje AC Generador de Emf AC. Circuito AC Cualquier circuito conectado a un Emf AC.
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Circuito ACCualquier circuito conectado a un Emf AC • Todas las corrientes y todos los voltajes en el circuito serán funciones senusoidales del tiempo con la misma frecuencia, la frecuencia de la fuente. • Tendrán diferentes fases y diferentes amplitudes. • La fase de la corriente que pasa por la fuente y su amplitud serán sumamente importantes porque determinan el comportamiento del circuito en conjunto.
Circuito ACCualquier circuito conectado a un Emf AC Matemáticamente, empezamos con un emf dado por: Lo que queremos calcular son la amplitud y la fase de la corriente de la fuente. Fíjate en el signo de Φ. Para valores negativos de Φ, la corriente llega a su máximo antes que el voltaje y se dice que “está adelantada” con respecto al voltaje. Si Φ > 0, se dice que está “atrasada”. Para Φ = 0, “están en fase”.
La Potencia que Provee la Fuente La potencia instantanea es el producto de la corriente por el voltaje. Lo que nos interesa es la potencia promedio, o sea, el integral a través de un ciclo dividido por el periodo, T. El resultado es Pavg =½ ξm I cosΦ, o sea, con un factor adicional de ½ y otro factor adicional de cosΦ comparado con la fórmula que se usa en circuitos DC. Para que las fórmulas sean más parecidas se definen los “valores rms” de las variables.
La Potencia que Provee la Fuente La potencia promedio se escribe entonces: que es muy parecida a la fórmula en DC excepto que también tiene el factor cosΦ. Este factor es muy importante. Se le llama el factor de potencia y nos señala la importancia que tiene la fase entre la corriente y el voltaje. Los valores RMS de las variables son los que se usan regularmente como la medida de la magnitud en circuitos AC. Los instrumentos de medir corriente y voltaje nos brindan valores RMS directamente.
Al principio usamos Kirchoff y senos y cosenos para el análisis. El estudiar este circuito sencillo me permi-te hacer varias cosas. • Introducir la herramienta matemática de “fasores”. Harán que los cálculos sean más fáciles que senos y cosenos. • Determinar la fase que hay entre la corriente y el voltaje de cualquier resistor en cualquier circuito AC. La fase relativa es cero. Están en fase. • Determinar la relación entre la amplitud de la corriente y la amplitud del voltaje de cualquier resis-tor en cualquier circuito AC. Es la misma relación que hay para corriente DC.
De Kirchoff, que lo queremos escribir como para hacer patente que la fase, Φ es -90º y que podemos definir una variable que es la generalización del concepto de resistencia. A esta variable la llamamos la reactancia, X. Siempre tendremos Vm = Im X. Para el caso del capacitor: Fíjate que X depende de la frecuencia. En cuanto a la fase, la corriente está adelan-tada. Es más fácil verlo con fasores.
De forma similar: La corriente está atrasada.
Método de Fasores En vez de trabajar con senos y cosenos, trabajaremos con vectores que llamaremos fasores ya que su fase será muy importante. Cada variable de voltaje y corriente estará representada por un fasor. Las ecuaciones de Kirchoff se convertirán en ecuaciones “fasoriales”. Suena complicado pero es más fácil porque la mayoría de los ángulos serán 90º, o sea, aunque el elemento de circuito esté dentro de un circuito complicado, todavía se mantienen las relaciones sencillas que acabamos de derivar.
Análisis del Circuito RLC en Serie En este circuito hay una corriente y cuatro voltajes. Sabemos las relaciones de tres de esos voltajes a esa corriente. Usaremos Kirchoff y el método de fasores para calcular la relación entre el cuarto voltaje (el de la fuente) a la corriente.
Sabemos las fases relativas de los fasores (1 corriente y 3 voltajes). Tenemos que sumar vectorialmente: Debido a las direcciones esto se convierte en: El resultado es: Que queremos escribir como: donde Es la impedancia.
Cálculo de la Fase Del dibujo de los fasores también es fácil ver que:
El que la fase sea positiva o negativa dependerá de cuál es mayor, XL o XC. A su vez eso depende de los valores de capacitancia e inductancia y sobretodo de la frecuencia de la fuente.
Resonancia • Si cambiamos la frecuencia de la fuente, cambiarán las reactancias del circuito, la impedancia y el ángulo de fase. • En la frecuencia para la cual la corriente y el voltaje están en fase (cos Φ es máximo), se dice que el circuito está en resonancia. • Esto corresponde al caso en que Xc=Xl. y, por tanto, Z es mínimo así que la amplitud de la corriente también es máxima. • Por tanto, la potencia que está supliendo la fuente es máxima (al cuadrado) • A qué frecuencia ocurre esto? Empezando con Xc=Xl., resolvemos por ωd y encontramos: • O sea, que ocurre cuando la frecuencia de la fuente es igual a la frecuencia natural del circuito. Este fenómeno es exactamente igual al fenómeno de resonancia mecánica que estudiamos en Fisi 3171. Una vez más encontramos principios físicos fundamentales que se manifiestan en diversos sistemas.
Resonancia • La corriente es máxima cuando la fre-cuencia de la fuente coincide con la fre-cuencia natural del circuito. • Esto corresponde al caso de Φ = 0 y de Xc=Xl y de Z = R. Estas tres condiciones son sinónimas. • El efecto es más notable para R pequeña.
La Potencia que Disipa el Circuito O sea, que el factor de potencia cosΦ = R / Z ya que esto tiene que ser igual a la potencia que provee la fuente. De hecho, eso lo podemos comprobar usando fasores.
Resumen – Circuito RLC en serie • Usalo como un ejemplo de las características generales de los circuitos AC. • El comportamiento del circuito está dado por la impedancia y por el ángulo de fase (factor de potencia), características ambas que dependen de la frecuencia de la fuente. • Usalo como un ejemplo del uso del método de fasores. Cómo usarías fasores si el circuito fuese en paralelo?
El Transformador de Voltaje AC • Dos Embobinados Conectados Magnéticamente • El material ferromagnético multiplica el campo magnético y causa que el flujo magnético sea igual a través de los dos embobinados. • Cuando el circuito secundario está abierto, la corriente primaria está a 90 grados del voltaje y la fuente suple cero potencia neta. • El emf de cada vuelta es el mismo en ambos. • El secundario tiene un voltaje diferente determinado por la razón entre el número de vueltas.
El Transformador de Voltaje AC • Cuando el circuito secundario está cerrado, la corriente secundaria causa una corriente inducida en el circuito primario que sí está en fase con el voltaje y la fuente suple potencia, P = Ip Vp . • La corriente y el voltaje en el secundario también están en fase y se disipa una potencia, Pdis = Is Vs . • Asumiendo 100% de eficiencia, estas potencias son iguales. • Las corrientes son diferentes. • Las pérdidas en el alambrado son proporcionales al cuadrado de la corriente así que queremos usar voltajes altos y corrientes pequeñas para minimizar estas pérdidas por ejemplo en la transmisión a través de largas distancias.
