a 1 2 x 2 +

Matrizes Conceitos Básicos a31 a32 a33 ... a3n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn Consideremos o sistema ...+ a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 ...+ a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 ...+ a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 ... ...+ am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23 ... a2n Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

Matrizes Conceitos Básicos a13= 2 3x5 a34= 7 Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

Matrizes Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxn As matrizes podem ser classificadas segundo: A forma A natureza dos elementos

Matrizes Conceitos Básicos Segundo a forma em: Amxn = [aij]mxn Rectangular Se o número de linhas é diferente do número de colunas Quadrada Se o número de linhas é igual do número de colunas Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m Linha Se o número de linhasé igual a um Coluna Se o número de colunas é igual a um

Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Real se todos os seus elementos são reais Complexa se pelo menos um dos seus elementos é complexo Nula se todos os seus elementos são nulos

Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Triangular Superior uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos

Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Diagonal uma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos Escalar uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais

Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn se os elementos aij são iguais aos aji Simétrica Densa se a maioria dos seus elementos são não nulos Dispersa se a maioria dos seus elementos são nulos

Matrizes Operações com Matrizes Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. 3 3 6 6 4 0 5 4 6

Matrizes Operações com Matrizes A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa

Matrizes Operações com Matrizes A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades: Comutativa Assim o conjunto M mxn forma um Grupo Aditivo Comutativo Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa

Matrizes Operações com Matrizes Produto por um escalar Sejam A uma matriz e l um escalar O produto de l por A é uma matriz C do mesmo tipo de A que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por l

Matrizes Operações com Matrizes do mesmo tipo Dadas as matrizes A e B e os escalares l e m as seguintes propriedades são válidas:

Matrizes Operações com Matrizes ...+ a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 ...+ a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 ...+ a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 ... ...+ am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm a11 a12 a13 ... a1n b1 x1 a21 a22 a23 ... a2n b2 x2 a31 a32 a33 ... a3n b3 x3 ... ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn bm xn Consideremos o sistema = Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 0 2 x 3 3 =

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 27 29 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes Produto de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp. O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp cujos elementos são dados por: e escreve-se C=AB. O produto de matrizes não é comutativo

Matrizes Operações com Matrizes Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar. Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, as seguintes propriedades são válidas:

Matrizes Operações com Matrizes Transposição de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que: e escreve-se B=AT

Matrizes Operações com Matrizes Dadas as matrizes A e B e a um escalar. Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas, as seguintes propriedades são válidas:

a 1 2 x 2 +

a 1 2 x 2 +

Presentation Transcript

Warm Up 1. 2( w + 1) 2. 3 x ( x 2 – 4)

1 . f ( x ) = – – 8 x + 12 2 . h ( x ) = 2 – 3 – 2 x + 3

Solve log 2 (2 x + 1) – log 2 x = 2

y 1 y 2 x 1 x 2

1 x 2

sen 2 x + cos 2 x = 1

sen 2 x + cos 2 x = 1

1 int [][] x={{1},{2,3},{4,5,6}; System.out.print(x[2][2]);

1 x 2

f ( x ) = 2 x + 1

P 1 x V 1 = P 2 x V 2

x 1 x 2 x i-1 x i

y = x 2 -1

x(Larger(x, a)) (1) x(Larger(b, x)) (2)

Warm Up Solve each equation. 1. 2 x + 3 = 2 x + 4 2. 2( x + 1) = 2 x + 2

Graph the function. 1. f(x) = (x - 5)2 2. g(x) = (x + 1)2 + 7

y 1 y 2 x 1 x 2

1. Solve x 2 – 2 x – 24 = 0 .

x cg = (W 1 x 1 + W 2 x 2 + . . .)/ (W 1 + W 2 . . .)

a  x  b  1 ( x )  y   2 ( x )

1 x 2