Introdução ao escoamento compressível

1. Introdução ao escoamento compressível • Matéria • Velocidade das ondas de pressão no interior de condutas • Variação de massa específica associada à variação de energia cinética • Revisões de Termodinâmica • Equação de energia unidimensional para gases em regime estacionário sem trocas de energia ao veio • Entalpia e temperatura de estagnação • Exemplo • Escoamento subsónico, crítico e supersónico.

2. Introdução ao escoamento compressível • Matéria (cont.) • Velocidade do som • Condições críticas • Evoluções em função do número de Mach • Equações para regime compressível unidimensional • Transferência de calor em condutas de secção constante • Exemplo.

3. Velocidade das ondas de pressão (I) Fluido ainda não afectado pelo movimento do êmbolo Fluido já afectado pelo movimento do êmbolo Êmbolo desloca-se com velocidade dV durante o intervalo de tempo dt Onda de pressão de velocidade c Qual a velocidade do som (onda de pressão) c?

4. 1 2 Velocidade das ondas de pressão (II) Num referencial fixo à frente de onda (para tornar o problema estacionário) x Fluido afectado pelo movimento do êmbolo Onda de pressão de velocidade estacionária Fluido não afectado pelo movimento do êmbolo Balanço de massa ao VC limitado pelas secções 1 e 2: Balanço de quantidade de movimento ao VC:

5. 1 2 Velocidade das ondas de pressão (III) x Balanço de massa ao VC limitado pelas secções 1 e 2: Balanço de quantidade de movimento ao VC:

6.  Velocidade das ondas de pressão (IV) No caso dos líquidos, introduzindo o módulo de expansão volumétrica: Condições para pressão e temperatura normais

7. Velocidade das ondas de pressão (V) Caso de líquidos em tubagens elásticas: d – diâmetro do tubo e – espessura do tubo E – módulo de elasticidade do material do tubo c – velocidade num tubo inelástico Condições para água a PTN e d/e=10

8. Velocidade das ondas de pressão (VI) No caso de gases perfeitos, p=RT, em evoluções isentópricas (=cp/cv): Para o ar ( =1,4; R =287 J/kg/K) em condições PTN: c = 343 m/s

9. elevados elevados  =  (T,p) significativos Introdução ao escoamento compressível • Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia cinética: Equação de Bernoulli: Importância do termo Efeitos de compressibilidade a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos fluidos de menor a)

10. Introdução ao escoamento compressível • Aumento do número de variáveis (e equações): Esc. incompressível Esc. compressível Vep V,p,  e T Equação da continuidade Equação da continuidade Equação de Bernoulli (ou de quantidade de movimento) Equação de Energia Equação da quantidade de movimento Equação de estado (G.P.): • Novos parâmetros: a – Velocidade do som M – Número de Mach (M = V/a)

11. Revisão de Termodinâmica • Algumas definições: • Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de duas delas (p.ex. pressão e temperatura). • Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o final. • Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem interferência do exterior. • Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de trocas de calor). • Leis da Termodinâmica: • 1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de energia. • 2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais

12. 1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas abertos/volumes de controlo) • Equação de energia para escoamentos unidimensionais: • Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia potencial (gases), por unidade de massa:

13. 2ª Lei da Termodinâmica • Num processo real a entropia svaria de modo a que; se q expressos por unidade de massa • Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta, excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em que s = cte – processo isentrópico. Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0

14. Gases perfeitos • Equação de estado: com R – constante do gás, M– molécula-grama do gás (massa em gramas de uma mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1mole-1) e ainda:  varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da molécula do gás; vapor de água  =1,33. • Evoluções isentrópicas:

15. Força de inércia Força elástica Energia cinética Energia elástica para um gás perfeito Número de Mach, M

16. Entalpia de estagnação adiabática • Equação de energia: • Entalpia de estagnação adiabática: • Num escoamento adiabático (q = 0): Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática

17. Temperatura de estagnação adiabática • Para um gás perfeito: • Temperatura de estagnação adiabática: • Equação da energia: • Num escoamento adiabático: Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática

18. p0=84 kPa T1=-50 C p1=70 kPa 1 0 V Exemplo • Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V. Equação da energia: ? Nota: os pontos 1 e 0 estão muito próximos e estariam à mesma pressão e temperatura se o ponto 0 não fosse de estagnação devido à presença do Pitot. Evolução isentrópica: Resultados:

19. Temperatura de estagnação em função do número de Mach - M • Temperatura de estagnação, T0:

20. Condições críticas (M=1) • Para M=1 T* é a temperatura crítica V* é a temperatura crítica: a* é a velocidade do som crítica

21. Equações a utilizar em escoamento compressível • Equação da energia: • Equação da continuidade: • Equação de estado: • Equação do número de Mach:

22. Equações a utilizar em escoamento compressível • Equação da quantidade de movimento: (escoamento sem mudança de direcção) p A+dA V+dV V A, p,  p+dp +d Força longitudinal exercida pela pressão na parede lateral p

23. Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante • Equação da energia: T+dT p+dp V V+dV M+dM +d T0+dT0 p,  dq • Definição de temperatura de estagnação:

24. Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante • Equação da continuidade: • Equação de estado: • Eq. número de Mach: • Eq. da quant. movimento: (desprezando o atrito)

25. Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante • 6 incógnitas (dV, dp, dT, d, dM, dT0) e 6 equações Solução: Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo) (Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal, mantendo escoamento sónico à saída) ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo) (Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)

26. Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante • Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)? M=0,3 T=250 K saída q Qual a equação que falta?

27. Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante • Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)? M=0,3 T=250 K saída q

28. M=0,3 T=250 K saída Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante

29. Introdução ao escoamento incompressível • Bibliografia • Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta, E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª edição, Prentice Hall, 1999. • Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics, 3ª edição, McGraw-Hill, 1994. • Secções 10.1 e 10.2, L. A. Oliveira, A. G. Lopes, Mecânica dos Fluidos, 2ª edição, ETEP, 2007