ENG309 – Fenômenos de Transporte III

1. UFBA – Universidade Federal da Bahia ENG309 – Fenômenos de Transporte III Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica

2. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1. Considerações Fluidodinâmicas 8.1.1. Condições de Escoamento Figura 8.1: Desenvolvimento de Camada Limite fluidodinâmica laminar em um tubo circular.

3. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1. Considerações Fluidodinâmicas 8.1.1. Condições de Escoamento Experiência de Reynolds.

4. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1. Considerações Fluidodinâmicas 8.1.1. Condições de Escoamento Esquema do experimento.

5. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1. Considerações Fluidodinâmicas 8.1.1. Condições de Escoamento Padrões de Escoamento.

6. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.1. Condições de Escoamento Laminar Escoamento Externo Turbulento Região de Entrada Laminar Região Plenamente Desenvolvida Escoamento Interno Região de Entrada Turbulento Região Plenamente Desenvolvida

7. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.1. Condições de Escoamento ● Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular (8.1) Onde: - um é a velocidade média do fluido na seção transversal - D é o diâmetro do tubo ●Número de Reynolds Crítico (8.2)

8. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.1. Condições de Escoamento ● Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento laminar (Re ≤ 2300, entrada convergente arredondada) ● Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento turbulento (Re > 2300) Para escoamento turbulento será admitido x/D>10

9. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.2. A Velocidade Média ● Escoamento Externo → Velocidade da corrente livre ● Escoamento Interno → Velocidade média Isolando umresulta: Número de Reynolds então fica: (8.6)

10. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.2. A Velocidade Média Representando a vazão mássica pela integral de .u na seção transversal, tem-se: (8.7) Como então (8.8)

11. dr r ro r dr ro CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.2. A Velocidade Média

12. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento laminar de um fluido incompressível com propriedades físicas constantes, na região plenamente desenvolvida, as equações de continuidade e quantidade de movimento em coordenadas cilíndricas tem, respectivamente, as formas:

13. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Na região plenamente desenvolvida, as partículas de fluido movimentam-se paralela ao eixo x, assim: Fazendo v=0 na equação da continuidade, resulta: Ou seja, a componente axial u independe de x

14. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido A equação do momento em r, considerando v=0 e Fr=0 resulta: Ou seja, a pressão é independente de r ( )

15. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido A equação do momento em x, considerando: ou ou ainda: (8.12)

16. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Integrando a 1ª vez resulta: Integrando a 2ª vez, resulta:

17. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Utilizando as condições de contorno e em resulta: (8.13)

18. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido (8.13) Substituindo (8.8) em (8.14) resulta: Isolando dp/dx e substituindo em (8.13), resulta: (8.15)

19. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido ● Para o engenheiro é importante o conhecimento da queda de pressão do escoamento em uma tubulação. ●A queda de pressão determina a potência da bomba ou do ventilador ●Para a determinação da queda de pressão é conveniente a utilização do fator de atrito, dado por: (8.16)

20. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido ● Não se deve confundir fator de atrito f com coeficiente de atrito Cf (8.17) Como s = -  (du/dr)r = ro e com (8.13) a relação entre f e Cf fica: (8.18)

21. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Substituindo e em resulta (8.19)

22. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido → Diagrama de Moody

23. 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido

24. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido e superfície lisa (8.20a) (8.20b) Para uma ampla faixa de ReD(por Petukhov) (8.21)

25. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Com a determinação do fator de atrito, a queda de pressão pode ser determinada como segue: (8.22a) Com a determinação da queda de pressão a potência requerida pela bomba pode ser determinada como segue: (8.22b) Onde é a vazão volumétrica

26. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2. Considerações Térmicas

27. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2. Considerações Térmicas ● Comprimento de entrada térmica para escoamento laminar (8.23) em comparação ao comprimento de entrada fluidodinâmica ● Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento

28. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2. Considerações Térmicas 8.2.1. A Temperatura Média Escoamento Externo Escoamento Interno Velocidade na corrente livre  Velocidade Média Temperatura na corrente livre  Temperatura Média Equação 1.11e ● As temperaturas nas seções transversais não são uniformes para a convecção em escoamento interno ● É necessária a definição de uma temperatura média

29. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2. Considerações Térmicas 8.2.1. A Temperatura Média (8.24) (8.25) Para escoamento em tubo circular com  e cpconstantes e : (8.26)

30. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2. Considerações Térmicas 8.2.2. Lei do Resfriamento de Newton (8.27) Onde h é o coeficiente de transferência de calor local Tm e T∞(para esc. externo) são essencialmente diferentes - T∞é constante ao longo do escoamento (ao longo de x) - Tmvaria ao longo do escoamento (ao longo de x)

31. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato atingidas?

32. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Introduzindo uma diferença de temperaturas adimensional na forma O escoamento é considerado termicamente desenvolvido quando: (8.28) Válida para - Temperatura Superficial Uniforme e - Fluxo Térmico Uniformena superfície

33. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x, sua derivada em relação a r também é independente de x, ou seja: Da Lei de Fourier Da Lei do Resfriamento de Newton Manipulando as 3 equações anteriores, resulta:

34. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas (8.28) ● No escoamento termicamente plenamente desenvolvido de um fluido com propriedades constantes o coeficiente de transferência de calor por convecção local (h) é uma constante independente de x . ● Na entrada, h varia com x

35. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Figura 8.5: Variação de h em um tubo.

36. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Para fluxo térmico na superfície uniforme, tem-se: Para temperatura superficial constante, tem-se:

37. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3. O Balanço de Energia 8.3.1. Considerações Gerais Partindo da Equação (1.11e) e aplicando acima: (8.34) (8.36)

38. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3. O Balanço de Energia 8.3.1. Considerações Gerais representando Rearranjando e substituindo (8.37)

39. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3. O Balanço de Energia 8.3.1. Considerações Gerais (8.37) A solução da equação (8.37) depende da condição térmica da superfície. Serão consideradas dois casos: - Fluxo térmico constante na superfície; - Temperatura superficial constante.

40. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3. O Balanço de Energia 8.3.2. Fluxo Térmico na Superfície Constante A taxa de transferência de calor é dada por: (8.38) Integrando a Equação (8.37) desde x=0: (8.37)

41. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3. O Balanço de Energia 8.3.2. Fluxo Térmico na Superfície Constante

42. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Fazendo (Ts-Tm)= T na equação (8.37) Separando variáveis e integrando

43. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Resolvendo a integração, resulta: Lembrando que é, por definição o coeficiente de convecção médio ,ou tem-se: (8.41a)

44. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Reordenando resulta: (8.41b) Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x no interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral: (8.42) (Ts-Tm) Decai exponencialmente com x

45. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante

46. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante ● Taxa de transferência de calor Da equação (8.34) Somando e subtraindo Ts Substituindo tirado da Equação (8.41a)

47. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante ● Taxa de transferência de calor (8.43) Onde - É a área da superfície do tubo - É a média logarítmica de temperatura dada por: (8.44)

48. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante ● Taxa de transferência de calor Se no lugar da temperatura da superfície for conhecida a temperatura do fluido externo ao tubo, tem-se: (8.45a) e (8.46a) Onde é o coeficiente global de transferência de calor desenvolvido no capítulo 3

49. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante ● Taxa de transferência de calor As equações (8.45a) e (8.46a) podem ser escritas como: (8.45b) e (8.46b) Onde

50. CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.4. Escoamento Laminar em Tubos Circulares: Análise Térmica e Correlações da Convecção 8.4.1. Região Plenamente Desenvolvida ● Para fluxo de calor constante (8.53) ● Para temperatura da superfície constante (8.55) Obs.: - Fluido incompressível com propriedades constantes - k é avaliado em Tm