Propriétés de la fonction partie entière

1. Tu devrais visionner la présentation : - Fonction partie entière, rôle des paramètres.ppt - Fonction partie entière, graphique et règle.ppt avant de visionner celle-ci. Propriétés de la fonction partie entière Remarque :

2. y 5 4 3 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 ∞ [ 0 , + -3 f(x) : ∞ -4 , 1 [ - -5 pour x [ 0 , 1 [ Voici la fonction partie entière de base : Analysons ses propriétés. dom : R Tous les réels sont représentés par l’ensemble des marches (intervalles). codom : Z soit { … , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … } On ne retient que la partie entière des nombres, donc que des entiers. R soit sur l’ensemble de son domaine. f(x) ≥ 0 : f(x) ≤ 0 : Ordonnée à l’origine ( f(0) ) : 0 Abscisses à l’origine ( f(x) = 0 ) : Extrémum : aucun

3. 5 y 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 x -2 -3 -4 { y R | y = an + k, n Z } -5 y = -2n - 2, n Z Voici une fonction partie entière transformée : f(x) = -2 [ 0,5 ( x – 1 ) ] - 2 Analysons ses propriétés. Remarque : Pour analyser une fonction partie entière, il est préférable de dessiner son graphique; quelques marches, autour de l’origine, suffisent. dom : R Dans la fonction partie entière, f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k Les paramètres b et h sont reliés au domaine de la fonction. Les paramètres a et k sont reliés au codomaine. En posant b = 1, h = 0 et n pour représenter l’ENTIER, nous obtenons codom : Dans la fonction ci-contre, codom : soit ima : { … , -4, -2, 0, 2, 4, … }

4. f(x) : 5 y 4 ∞ [ -1 , + 3 2 1 pour x [ -1 , 1 [ -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 x -2 -3 ∞ -4 , 1 [ - -5 R soit sur l’ensemble de son domaine. f(x) ≥ 0 : f(x) ≤ 0 : Ordonnée à l’origine ( f(0) ) : 0 Abscisses à l’origine ( f(x) = 0 ) : Extrémum : aucun

5. y 5 4 3 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 - k = [ b ( x – h ) ] -1 a Si – k Si – k Z Z -2 a a -3 -4 -5 Remarque : Il peut arriver qu’une fonction partie entière n’ait pas de zéro. Dans la règle, f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k on peut le constater. 0 = a [ b ( x – h ) ] + k - k = a [ b ( x – h ) ] , il n’y a aucun zéro. , il y a une infinité de zéros.

6. y 5 – k - 1 4 a - 2 3 0,5 Z 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 Exemples f(x) = -2 [ x ] + 1 = = 0,5 aucun zéro.

7. 5 – k 2 y = 4 a - 2 3 -1 Z 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 x -2 -3 -4 -5 Exemples f(x) = -2 [ 0,5 ( x – 1 ) ] - 2 = -1 une infinité de zéros. Remarque : On dit une infinité de zéros, car dans l’intervalle [ -1 , 1 [ il y a une infinité de nombres.

8. Primes reçues en fonction des ventes effectuées. Primes ($) f(x) : 250 200 150 100 50 1 000 2 000 3 000 6 000 5 000 4 000 pour x [ 0 , 1 000 [ 0 0 Montant des ventes ($) Les propriétés d’une fonction sont différentes lorsqu’elle est en contexte, c’est-à-dire lorsque qu’on l’étudie en lien avec une situation réelle. Exemple : Pour stimuler ses vendeurs et vendeuses, le gérant d’une boutique leur accorde une prime supplémentaire de 50,00 $ pour chaque tranche de 1 000,00 $ de ventes effectuées. Analyse cette situation (fonction) sur le domaine [ 0 , 6 000 [. { 0 , 50, 100, 150, 200, 250 } codom : [ 0 , 6 000 [ [ 0 , 6 000 [ f(x) ≥ 0 : f(x) < 0 : aucun intervalle f(0) : 0 f(x) : 0 Extrémum : max. abs. : 250 min. abs. : 0