ELEMENTY KOMBINATORYKI

1. ELEMENTY KOMBINATORYKI

2. Elementy kombinatoryki. • Permutacje. • Kombinacje. • Wariacje bez powtórzeń. • Wariacje z powtórzeniami. Sposób na prawie każde zadanie.

3. Kombinatoryka - dział w matematyce, w którym zajmujemy się m.in. obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania).

4. OGÓLNIE

5. Permutacja (KĖLINIAI) Permutacją (KĖLINIAIs) zbioru n-elementowego nazywamy każdyciągn-elementowy utworzony zwszystkich elementów tego zbioru, czyli jest to pewne uporządkowanie elementów tego zbioru. Liczba wszystkich różnych permutacji zbioru n-elementowego jest równa:

6. Przykład permutacji (KĖLINIAI). Ile wyrazów mających lub nie mających sens można ułożyć przestawiając litery wyrazu KAT? A T K A T K K A T A A T K K T AKT K A T ATK T K A KTA TAK Są to permutacje zbioru trzyelementowego, a zatem ich ilość wynosi : P3= 3•2•1 = 3! = 6 ; Pn= n•(n-1) •…•3•2•1 = n!

7. Wariacja bez powtórzeń(GRETINIAI) (ważna kolejność) Wariacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdyciąg różnowartościowy k-wyrazowy utworzony z elementów danego zbioru. Liczba wszystkich różnych k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa:

8. 25 27 29 59 57 52 79 72 75 97 95 92 Przykład wariacji bez powtórzeń (GRETINIAI) 1. Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć używając dwóchróżnych cyfr ze zbioru { 2,5,7,9 }? Są to dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru zawierającego cztery elementy.

9.             K Z K Z K Z K Z K Z K Z             K Z K Z K Z K Z K Z K Z Przykład wariacji bez powtórzeń.. (GRETINIAI) 2. Na ile sposobów z czteroosobowej reprezentacji klasy można wybrać kapitana i jego zastępcę : Są to wariacje dwuelementowe bez powtórzeń ze zbioru czteroelementowego.    

10. Kombinacja. (DERINIAI) Kombinacją k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy każdypodzbiórk-elementowy danego zbioru. W odróżnieniu od permutacji i wariacji, kombinacja nie jest ciągiem, a podzbiorem elementów. Ważna cecha - kolejność nie ma znaczenia. Liczba wszystkich różnych kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego jest równa:

11.               Przykład kombinacji (DERINIAI) 1.Ile jest możliwości wyboru dwóch różnych kolorów kart z czterech?     = Są to kombinacje dwuelementowe ze zbioru czteroelementowego.

12. B A C D Przykład kombinacji (DERINIAI) 2. Ile można narysować na płaszczyźnie prostych przechodzących przez: a) dwa, b) trzy, c) cztery punkty ( jeżeli żadne trzy z nich nie są współliniowe ) ?

13. Wariacja z powtórzeniami. Wariacją k-elementową z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy każdyciąg k-wyrazowy utworzony z elementów danego zbioru. Liczba wszystkich różnych k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa:

14. 27 22 29 25 59 57 52 55 79 77 72 75 97 95 99 92 Przykład wariacji z powtórzeniami. 1. Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć używając cyfr ze zbioru { 2,5,7,9 }? Są to dwuwyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru zawierającego cztery elementy.

15. 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 Przykład wariacji z powtórzeniami. 2. Na ile sposobów można włożyć trzy różne piłeczki do dwóch ponumerowanych pudełek ?

16. 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 Przykład wariacji z powtórzeniami. Są to trzywyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru zawierającego dwa elementy, a zatem ich ilość wynosi 23 = 8.

17. tak nie nie tak Sposób na zadanie. Doświadczenie polega na wylosowaniu k-elementów ze zbioru n-elementowego Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów? Czy elementy mogą się powtarzać? Kombinacja. DERINIAI Wariacja bez powtórzeń. Wariacja z powtórzeniami.