Prednáša RNDr. B eáta Trpi šová, Ph.D.

MECHANIKA A TERMODYNAMIKA Letný semester 2007-2008 Prednáša RNDr. Beáta Trpišová, Ph.D. E-mail: trpisova@fyzika.uniza.sk WWW: http://fyzika.uniza.sk/~trpisova Kancelária: NB411 (budova NB), 513-2362

Literatúra: Teória * http://fyzika.uniza.sk/~trpisova *David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentals of Physics (je aj české vydanie pod názvom Fyzika) *Štefan Veis, Ján Maďar, Viktor Martišovitš, Všeobecná fyzika 1 – Mechanika a molekulová fyzika *Vladimír Hajko, Juraj Daniel–Szabó, Základy fyziky *Dionýz Ilkovič, Fyzika *Jaroslav Binko, Ivan Kašpar, Fyzika stavebního inženýra *František Krupka, Ľubomír Kalivoda, Fyzika *Zdeněk Horák, František Krupka, Fyzika *I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec, Matematika I *Andrej. Tirpák, Elektromagnetizmus *Pavol Čičmanec, Všeobecná fyzika 2 – Elektrina a magnetizmus *Jozef Zámečník, Prehľad fyziky 1, 2 *Bohumil Vybíral, Fyzikálne pole – Z hľadiska teórie relativity

*F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics *Jozef Kvasnica, Termodynamika Príklady *http://fyzika.uniza.sk/~berezi *Vladimír Hajko a kolektív, Fyzika v príkladoch *Quido Jackuliak a kolektív, Zbierka úloh z fyziky I, II *http://fyzika.uniza.sk/~trpisova ... niektoré vyriešené príklady z Q. Jackuliak a kol. Rozsah predmetu: 3 hodiny prednáška, 2 hodiny cvičenie Hodnotenie: Písomná práca v strede semestra (príklady) ... 20% z celkovej známky Skúška (teória+príklady) ... 80% z celkovej známky Podmienka úspešného vykonania skúšky ... celkovo minimálne 50%

Medzinárodná sústava jednotiek SI Sústava jednotiek SI predstavuje 7 základných jednotiek a 2 doplnkové jednotky. Všetky ostatné jednotky sú odvodené zo 7 základných jednotiek. Základné jednotky sústavy SI veličina jednotka značka jednotky dĺžka meter m hmotnosť kilogram kg čas sekunda s elektrický prúd ampér A termodynamická teplota Kelvin K látkové množstvo mól mol svietivosť kandela cd Doplnkové jednotky rovinný uhol radián rad priestorový uhol steradián sr

Definícia metra Jeden meter je dráha, ktorú prejde svetlo vo vákuu za čas 1/299 792 458 sekundy. Čís- lo v menovateli tohto výrazu je rýchlosť svetla vo vákuu udaná v ms-1. Ak teda vyjde- me z faktu, že pri priamočiarom pohybe konštantnou rýchlosťou je prejdená dráha rovná súčinu rýchlosti a času, za ktorý bola táto dráha absolvovaná, dostaneme naozaj Definícia kilogramu Jeden kilogram je hmotnosť medzinárodného prototypu kilogramu, čo je valček z platiny a irídia o priemere a výške 3.9 cm, ktorý je uložený na Medzinárodnom ústa- ve pre váhy a miery v Sevres pri Paríži. Definícia sekundy Sekunda je doba rovnajúca sa 9 192 631 770 periódam žiarenia, ktoré zodpovedá prechodu medzi dvoma hladinami veľmi jemnej štruktúry základného stavu atómu cézia 133 pri teplote 0 K.

Definícia Kelvina Jeden Kelvin je 273.16-ta časť termodynamickej teploty trojného bodu vody. Trojný bod vody je stav, v ktorom sú v rovnováhe všetky tri skupenstvá vody – ľad, kvapalná voda a vodná para. Tomuto stavu prislúcha len jedna určitá kombinácia tlaku a teploty: 611.73 Pa a 0.01 °C, t.j. 273.16 K. Keďže jeden Kelvin a jeden stupeň Celzia sú rovnako veľké rozdiely teploty, teplote 0 °C potom prislúcha absolútna tep- lota273.15 K. Termodynamickej teplote 0 K korešponduje teda teplota -273.15 °C. Definícia ampéra 1 ampér je taký konštantný elektrický prúd, ktorý, keď tečie dvoma rovnými neko- nečne dlhými rovnobežnými vodičmi zanedbateľného kruhového prierezu umiest- nenými vo vákuu 1 meter od seba, vyprodukuje silu Nm-1 pôsobiacu na každý z vodičov. Definícia mólu Jeden mól je také množstvo látky, ktoré obsahuje presne toľko častíc, koľko je atómov v 12 g izotopu uhlíka . Tento počet častíc sa nazýva Avogadrovo číslo a platí

kde . Veličina u sa nazýva atómová hmotnostná jednotka a je topresne 1/12hmotnosti izotopu uhlíka , a teda jej hodnota je Bezrozmerné číslo u[g] sa teda vzťahuje na hodnotu u v gramoch. Hmotnosť izotopov atómov rôznych prvkov udávame číslom, ktoré nazývame relatívna atómová hmotnosť . Táto veličina vyjadruje, koľkokrát je atóm izotopu daného prvku ťažší ako atómová hmotnostná jednotka, t.j. jeho hmotnosť je . Potom gramov tohto izotopu je hmotnosť jeho jedného mólu, t.j. jeho atómov. Naozaj kde v zlomku za prvou rovnosťou čitateľ a menovateľ majú rozmer gram. Evidentne horeuvedená rovnica je konzistentná s rovnicou uvedenou na slide 6. Keďže elektróny sú oveľa ľahšie, ako protóny a neutróny, je hmotnosť atómu, resp. molekuly určená najmä hmotnosťami týchto dvoch častíc, ktoré sa líšia len veľmi málo. V označení číslo 12 znamená súčet protónov a neutrónov v jadre atómu a číslo 6 označuje, koľko je z toho protónov. Podobne označujeme aj ostatné izoto- py prvkov. Z toho, čo sme tu povedali potom vyplýva, že číslo u je prakticky rovné

hmotnosti protónu, resp. neutrónu. Ak je teda celkový počet protónov a neutrónov v jadre atómu A, je jeho hmotnosť s dobrou presnosťou rovná Au. Číslo A udané v gramoch potom vyjadruje zhruba hmotnosť jedného mólu daného prvku. Zhruba preto, lebo počet nukleónov A a relatívnaatómová hmotnosťsi nebudú pre daný izotop prvku presne rovné, aj keď sú to veľmi blízke hodnoty. Je to tak preto, lebo atómová hmotnostná jednotka u nie je presne rovná hmotnostiam protónu a neutrónu a v atóme sú okrem nukleónov aj elektróny, ktoré tiež prispievajú k jeho hmotnosti určitou hodnotou, aj keď o tri rády menšou v porovnaní s hmotnosťou nukleónu. Dôležitá je aj skutočnosť, že hmotnosť jadra atómu je men- šia ako súčet hmotností jeho jednotlivých nukleónov. Pritom tento rozdiel vydelený počtom nukleónov je pre každý prvok iný. Preto napr. relatívna atómová hmotnosť izotopu je 7.016003, izotopu je 119.902199. Poznamenajme, že vzhľa- dom na definíciu u sú a A rovné v prípade . Napokon poznamenajme, že podobne ako relatívnu atómovú hmotnosť môže- me zaviesť aj relatívnu molekulovú hmotnosť , ktorá udáva, koľkokrát je molekula ťažšia ako atómová hmotnostná jednotka. Hmotnosť molekuly je teda rov- ná a gramov látky zloženej z týchto molekúl predstavuje hmotnosť jed- mého mólu, t.j. molekúl tejto látky. Tiež platí, ako je zrejmé, že bude číslo veľmi blízke súčtu počtu nukleónov v jadrách atómov, z ktorých molekula po- zostáva.

Definícia kandely Jedna kandela je svietivosť zdroja, ktorý v danom smere vysiela monofrekvenčné žiarenie s frekvenciou 540x1012 Hz a ktorého žiarivosť v tomto smere je 1/683 wat- tov na steradián. (Žiarivosť je podiel časti žiarivého toku vysielaného bodovým zdrojom v danom smere do priestorového uhla , ktorého osou je tento smer, a tohto priestorového uhla. Číselne je rovná žiarivému toku vyžiarenému do jednotko- vého priestorového uhla. ) Aby sme porozumeli horeuvedenej definícii, objasnime si význam pojmov, ktoré v nej vystupujú. Za tým účelom zavedieme veličinu nazvanú žiarivý tok, ktorú ozna- číme . Žiarivý tok predstavuje množstvo žiarivej energie, ktorá prejde za jednotku času nejakou plochou S. Jeho jednotkouje watt. Pod žiarivou energiou rozumieme e- nergiu elektromagnetického vlnenia, ktorá je daná jednak vlnovými dĺžkami mono- chromatických vĺn, z ktorých je dané elektromagnetické vlnenie zložené, jednak poč- tom fotónov, ktoré zdroj vlnenia vysiela. Potom hustota žiarivého toku je množstvo žiarivej energie, ktoré prejde cez jednotkovú plochu v smere kolmom na ňu, pričom

tento smer je totožný sosmerom vyžarovania v mieste, v ktorom hustotu žiarivého toku určujeme. Hustota žiarivého toku teda nemusí byť vo všetkých smeroch, v ktorých zdroj vyžaruje, rovnaká, t.j. zdroj môže vysielať do rôznych infinitezimálnych priesto- rových uhlov rôzne množstvá energie. Ľudské oko však z celého diapazónu elektromagnetického vlnenia vidí len vlnenie s vlnovými dĺžkami z intervalu asi 360 nm (fialová) až 770 nm (červená). Ako vieme, túto časť EM vlnenia nazývame svetlo. Avšak aj v prípade svetla má ľudské oko rôz- nu citlivosť na monochromatické vlny (vlny s jednou vlnovou dĺžkou) o rôznych vlno- vých dĺžkach. To znamená, že normálne ľudské oko prenáša len časť žiarivej energie svetla, pričom veľkosť tejto okom prenášanej žiarivej energie závisí od jeho vlnovej dĺžky. Preto sa zaviedla veličina svetelný tok označovaná obyčajne , ktorá predstavuje skutočný tok žiarivej energie svetla prenášaný normálnym ľudským okom. Túto veličinu počítame na základe monochromatickej hustoty žiarivého toku ... je elementárny žiarivý tok pripadajúci na elemen- tárny interval vlnových dĺžok , t.j. a tým aj vyjadrujú závislosť veľkosti prenášanej žiarivej energie od vlnovej dĺžky žiarenia Svetelný tok potom počítame na základe integrálu podľa vlnovej dĺžky , v ktorom je násobené pre každé faktorom , ktorý sa volá pomerná

svetelná účinnosť jednofarebného žiarenia. Tento faktor je iný pre rôzne vlnové dĺžky, a teda prostredníctvom neho sa pri výpočte svetelného toku berie do úvahy rôzna cit- livosť ľudského oka na svetlo rôznych vlnových dĺžok. Svietivosť, ktorú obyčajne označujeme I, potom definujeme takto ... je elementárny svetelný tok vyžarovaný zdrojom do ele- mentárneho priestorového uhla v smere osi tohto uhla Na prvom obrázku je zobrazený príklad závislosti monochromatickej hustoty žiarivého toku od vlnovej dĺžky. Vidíme, že vyžarovaná energia je rôzna pre rôzne vlnové dĺžky, preto celková vyžaro- vaná energia na všetkých vlnových dĺžkach – žia- rivý tok – je daná naznačeným integrálom, t.j. plochou pod krivkou na prvom obrázku. Druhý obrázok ukazuje príklad toho, koľko energie prenesie ľudské oko z celkového žiarivého toku na prvom obrázku, t.j. aký je asi svetelný tok od- povedajúci žiarivému toku na prvom obrázku. Zvis- lými čiarkovanými čiarami je naznačený interval vlnových dĺžok, ktorý odpovedá svetlu. Vidíme,

že svetelný tok je nenulový len pre tento interval a že aj pre rôzne vlnové dĺžky z toh- to intervalu je energia prenesená ľudským okom rôzna. Preto celkový svetelný tok, t.j. energia prenesená ľudským okom na všetkých vlnových dĺžkach svetelného žiarenia, je daná naznačným integrálom, ktorý predstavuje plochu pod krivkou na druhom ob- rázku. Odvodenie definície svetelného toku – doplnkové štúdium Ľudské oko má schopnosť rozlíšiť, či je napr. nejaký povrch viac alebo menej osvetle- ný. Tento zrakový vnem závisí od vyžarovaného žiarivého toku povrchom a od toho, koľko z tohto žiarivého toku ľudské oko prenesie. Na základe zrakového vnemu mož- no pomerne presne rozhodnúť, či sú dve rovnaké plochy rovnako osvetlené, ak majú svetlá, ktoré osvetlenia produkujú, približne rovnakú farbu. Majme teda dve takéto plochy. Jednu osvetlime svetlom, ktorého vlnové dĺžky ležia v malom intervale obsa- hujúcom vlnovú dĺžku , na ktorú je ľudské oko najcitlivejšie. Príslušný žiarivý tok označme . Druhú plochu osvetlime svetlom, ktoré je zložené z vlnových dĺžok z intervalu o rovnakej veľkosti, ako v prvom prípade, ktorý je však trošku posunutý vzhľadom na . Tento druhý interval budeme teda chrakterizo- vať vlnovou dĺžkou , ktorá sa len veľmi málo líši od , takže farba oboch

svetiel je skoro rovnaká. Žiarivý tok príslušný vlnovým dĺžkam z intervalu okolo označme . Keďže oko je menej citlivé na svetlo o vlnovej dĺžke , ako na svetlo o vlnovej dĺžke , tak aby sme pozorovali rovnaké osvetlenie oboch plôch, musí byť . Potom pomernú svetelnú účinnosť jednofarebného žiarenia o vlnovej dĺžke , vyjadrujúcu citlivosť ľuského oka na svetlo o vlnovej dĺžke v porovnaní s maximálnou citlivosťou na svetlo o vlnovej dĺžke , definujeme vzťahom Teraz zvoľme ďalší rovnako veľký interval vlnových dĺžok ako predchádzajúce dva Intervaly, ktorý je ešte ďalej od ako , ale ktorý je stále veľmi blízko , a charakterizujme ho vlnovou dĺžkou . Potom môžeme určiť na základe prísluš- ných svetelných tokov určiť a po dosadení z horeuvedenej rovnice dostaneme t.j. pomernú svetelnú účinnosť jednofarebného žiarenia o vlnovej dĺžke . Ak budeme takto postupovať v celom intervale viditeľného žiarenia, pričom po sebe idúce vlnové dĺžky budeme voliť veľmi blízko pri sebe, môžeme diskrétnu závislosť

od nahradiť spojitou závislosťou . Potom svetelný tok definujeme ako súčet všetkých elementárnych žiarivých tokov pripadajúcich na elementárny interval vlnových dĺžok vynásobený pre každé (t.j. pre každý interval ) pomernou svetelnou účinnosťou žiarenia o vlnovej dĺžke , kde sme druhý integrál dostali použitím vzorca na slide 7. Hranice integrovania sme mohli zvoliť od 0 po , keďže mimo intervalu svetelného žiarenia je . Prvý integrál v horeuvedenej rovnici môžeme vyjadriť na základe prvého vzorca uve- deného na predchádzajúcom slide, ak stotožníme s a s . Dostaneme tak Posledná rovnica hovorí, že svetelný tok je rovný žiarivému toku monochromatic- kého svetla s vlnovou dĺžkou , ktorý budí v oku rovnako intenzívny zrakový vnem ako celkový žiarivý tok , ktorý žiarič vysiela na všetkých vlno- vých dĺžkach. Integrál teda predstavuje súčet všetkých elementárnych príspev- kov k celkovému žiarivému toku vyžarovanému na vlnovej dĺžke .

Definícia radiánu Uhol vypočítame v radiánoch ako s ... dĺžka kružnicového oblúka odpove- dajúceho uhlu r ... polomer kružnice Jeden radián je stredový uhol v kružnici, ktorý odpovedá kružnicovému oblúku kruž- nice s dĺžkou rovnajúcou sa jej polomeru. Keďže obvodu kružnice odpovedá kruhový oblúk , uhol v radiánoch prislúchajúci uhlu 360º je .

Definícia steradiánu S ... plocha, ktorú vytína priestorový uhol na povrchu gule r ... polomer gule 1 steradián je priestorový uhol, ktorý z povrchu gule o polomere r vytína plochu rovnú . Povrch gule o polomere r je . To znamená, že plný priestorový uhol je steradiánov.

Smernica priamky Rovnica priamky ležiacej v rovine xy: k ... smernica priamky q ... y-ová súradnica bodu, v ktorom priamka pretína os y, t.j. je vzdialenosť prie- sečníka priamky a osi y od počiatku Definícia k: ... a sú ľubovoľné dva body priamky

Smernica priamky je kladná, ak priamka zviera s kladným smerom osi x (smer doprava) uhol od 0º po 90º meraný v smere proti chodu hodi- nových ručičiek. Smernica priamky je záporná, ak priamka zviera s kladným smerom osi x uhol od 90º po 180º meraný v smere proti chodu hodinových ručičiek. Hodnoty xi a yi musia byť v príslušných fyzi- kálnych jednotkách.

Veľkosť (absolútna hodnota) smernice hovorí o strmosti priamky, t.j. čím je priamka strmšia, tým je veľkosť smernice väčšia, či už je smernica kladná alebo záporná.

Derivácia ako smernica dotyčnice Zostrojme funkciu . Táto funkcia predstavuje smernicu priamky určnej bodmi a . Čím viac sa bod x blíži k bodu x0, a teda funkčná hodnota k funkčnej hodnote , tým viac sa priamka p blíži k do- tyčnici k funkcii v bode x0 a keď bod x bude nekonečne (infinitezimálne) blízko k bodu x0, priamka p bude touto dotyčnicou. Funkcia je potom smernicou tejto dotyčnice a nazývame ju deriváciou funkcie v bode x0, ktorú teda definujeme ...definícia derivácie (1)

V definícii (1) symboly a predstavujú infinitezimálne, t.j. nekonečne malé zmeny a x. Sú to limitné hodnoty konečných zmien a pre . Derivácia funkcie v bode x0 je teda číslo, ktoré sa rovná smernici dotyčnice k tejto funkcii v bode x0. Tomuto hovoríme aj geometrický význam derivácie. Príklady derivácií niektorých jednoduchých funkcií Z definície derivácie (1) môžeme priamo vypočítať napr. tieto derivácie: 1. Derivácia konštanty, t.j. , kde c je konštanta, pre každé x. Potom 2. Derivácia 3. Derivácia ... cvičenie na doma

Bez odvodenia: 4. Derivácia , kde n je ľubovoľné reálne číslo Všimnite si súhlas medzi týmto všeobecným vzorcom a jeho špeciálnymi prípadmi 1, 2, 3. 6. Derivácia 5. Derivácia 8. Derivácia 7. Derivácia

Maximum a minimum (extrémy) funkcie Priamky sú dotyčnica- mi k funkcii v bodoch a zároveň sú rovnobežné s osou x. To znamená, že ich smernice sú nulové, a teda derivácie funkcie v bodoch sú nulové. Body , pre ktoré platí , sa nazývajú stacionárne body funkcie . V týchto bodoch môže funkcia nadobúdať svoje extrémy – maximum, alebo minimum. Stacionárny bod funkcie teda nájdeme tak, že túto funkciu zderivujeme 1-krát podľa jej argumentu x, získané vyjadrenie položíme rovné nule a takto vzniknutú rovnicu potom riešime vzhľadom na x. Či má funkcia v bode maximum, alebo minimum, rozhodneme tak, že nájdeme druhú deriváciu tejto Funkcie a vyčíslime ju pre . Ak dostaneme kladnú hodnotu, má v minimum, ak dostaneme zápornú hodnotu, má v maximum, ak dostaneme nulu, funkcia v tomto bode extrém nenadobúda.

Na obrázku na predošlom slide je vykreslená funkcia pre hodnoty x zurči- tého intervalu. Ako vidno na tomto intervale nadobúda dve minimá, a to v bodoch a , pričom . Minimum v potom nazývame lokálnym minimom a minimum v je absolútnym minimom funkcie na danom intervale. Predpokladajme navyše, že tento interval je uzavretý. Potom maximum v bode je lokálne, pretože v krajných bodoch intervalu nadobúda funkcia väčšie funkčné hodnoty ako v bode , t.j. v jednom z krajných bodov bude funkcia na danom uzatvorenom intervale nadobúdať absolútne maximum. Cvičenie: Nájdite stacionárne body funkcie Zistite, či v týchto bodoch nadobúda funkcia extrémy a ak áno, či ide o minimum alebo maximum alebo o ani jednu z týchto možností.

Neurčitý integrál funkcie Primitívna funkcia k funkcii je taká funkcia , pre ktorú platí Keďže derivácia konštanty je nula, primitívnych funkcií k nejakej funkcii je nekonečne veľa a majú teda tvar , kde c je ľubovoľná konštanta. Funkcia sa nazýva neurčitým inegrálom funkcie , čo sa zapisuje označením Príklad: Funkcia je primitívna funkcia k funkcii lebo (pozri pravidlo derivovania 4)

Niektoré základné neurčité integrály 1. , 4. 5. 2. 3. Všimnite si, že na základe pravidiel derivovania uvedených na slide 9 je naozaj deri- vácia funkcií vystupujúcich na pravej strane horeuvedených rovníc rovná funkciám vystupujúcim na ich ľavej strane pri znaku integrálu – podintegrálnym funkciám. Základné pravidlá integrovania , kde konšt. 1. 2.

Určitý integrál funkcie Nech je daná funkcia na určitom uzavretom intervale . Rozdeľme ten- to interval napr. na tri uzavreté podintervaly, ktoré nazveme podľa ich hraničných bodov , a , pričom a . Tieto podintervaly nemusia byť rovnako veľké. Je zrejmé, že dĺžku každého podintervalu môžeme vyjadriť ako Vyberme teraz v ľubovoľnom mieste kaž- dého podintervalu číslo . Potom čísla budú predstavovať plochy 3 obdĺžnikov, každý so základňou a výškou . Ak sčítame plochy všetkých týchto 3 obdĺžnikov, t.j. vyčíslime súčet dostaneme približne plochu ohraničenú úsekom krivky odpovedajúcom intervalu a osou x. Ak chceme spresniť odhad veľkosti tejto plochy, musíme zjemniť delenie intervalu , t.j. musíme zväčšiť počet jeho podintervalov. Napr. môže-

me každý z už vytvorených 3 podinterva- lov rozdeliť ešte na tri intervaly. Dostane- me tak celkovo 9 podintervalov intervalu . Opäť vyberieme z každého podintervalu číslo a vypočí- tame súčet Ako je zrejmé z obrázkov, bude oveľa presnejšie aproximovať plochu S ohrani-čenú krivkou reprezentujúcou funkciu na intervale , ako . Takto by sme mohli pokračovať ďalej s neustálym zväčšovaním počtu podintervalov intervalu , čím by sme dostávali neustále presnejšie odhady veľkosti plochy S, až v limi- te nekonečného počtu podintervalov konečná dĺžka každého podintervalu by prešla v infinitezimálnu, t.j. nekonečne malú dĺžku dx príslušiacu bodu x na osi x, v ktorom funkčná hodnota našej funkcie je . Potom presnú hodnotu pre plochu S dostaneme sčítaním všetkých obdĺžnikov s infinitezimálnou veľkosťou základne dx a výškou pre každé x z intervalu . Takýto súčet nazývame urči- tým integrálom funkcie na intervale a zapisujeme ho symbolom

... určitý integrál funkcie na intervale (2) Všimnite si korešpondenciu medzi horeuvedeným vyjadrením a súčtami , resp. . Znamienku sumy odpovedá znamienko integrálu a konečnej dĺžke intervalu odpovedá infinitezimálna dĺžka dx. Integrál je teda tiež súčet, a to nekonečne veľkého počtu infinitezimálnych, t.j. nekonečne malých príspevkov. Určitý integrál ľubovoľnej funkcie vypočítame tak, že nájdeme primitívnu funkciu k tejto funkcii a vyčíslime jej hodnoty v krajných bodoch intervalu, na ktorom určitý integrál (2) počítame. Potom platí Príklad: Nájdite určitý integrál funkcie , kde sú konštanty, na intervale . Použijeme základný neurčitý integrál 1 a základné pravidlá integrovania 1 a 2:

Prednáša RNDr. B eáta Trpi šová, Ph.D.