CORSO BASE DI MATEMATICA FINANZIARIA

1. CORSO BASE DI MATEMATICA FINANZIARIA

2. CHE COSA E’ LA MATEMATICA FINANZIARIA? BISOGNO FABBISOGNO appartamento Soldi per acquistare l’appartamento Non esiste una relazione perfetta Dalla imperfetta correlazione tra bisogno e fabbisogno NASCE IL MERCATO FINANZIARIO La matematica finanziaria studia il comportamento degli operatori in questo grande mercato che ha come merce di scambio il denaro.

3. INDICE • MERCATO DI CAPITALI PERFETTO • OPERAZIONI FINANZIARIE E NOMENCLATURA • REGIMI FINANZIARI • TASSI EQUIVALENTI E TASSI NOMINALI • COSTITUZIONE DI UN CAPITALE E RENDITE. • PROGETTI ECONOMICO-FINANZIARI E CRITERI DI VALUTAZIONE DI UN INVESTIMENTO • DURATION DI UN TITOLO E DI UN PORTAFOGLIO DI TITOLI • ESERCIZI APPLICATIVI

4. MERCATO DEI CAPITALI PERFETTO • Informazione unitaria equamente distribuita. • L’operatore non conosce le conseguenze delle sue operazioni. • Non si pagano imposte sul trasferimento dei titoli. • Gli operatori sono massimizzatoridel profitto. • Esiste in ogni istante UN UNICO PREZZO.

5. OPERAZIONE FINANZIARIE OPERZIONI FINANZIARIE ELEMENTARI (a capitalizzazione integrale) OPERZIONI FINANZIARIE COMPOSTE

6. OPERAZIONI FINANZIARIE ELEMENTARI P= capitale investito. M=montante. X=data investimento. Y=data disinvestimento. OPERAZIONE FINANZIARIA DI INVESTIMENTO. M -P X Y I=M-P (interesse prodotto nell’operazione=utile) P= valore attuale. M= capitale dovuto a scadenza. X=data investimento. Y=data disinvestimento. OPERAZIONE FINANZIARIA DI FINANZIAMENTO. -M P Y X D=M-P (sconto prodotto nell’operazione)

7. NOMENCLATURA My/Px= r(x,y) Montante unitario Py/Mx= v(x,y) Valore attuale unitario Ix,y/Px= i(x,y) Interesse unitario Dx,y/My= d(x,y) Sconto unitario r fattore di capitalizzazione vfattore di attualizzazione i tasso di interesse d tasso di sconto Unitari rispetto agli importi Unitari rispetto al tempo (sono riferiti ad un periodo di durata 1)

8. Basta conoscere una delle 4 funzioni ed è possibile ricavare le altre

9. Va fatto notare che è possibile esprimere il montante, il valore attuale, lo sconto e l’interesse con le seguenti espressioni My=Px * r(x,y) con questa si può riportare finanziariamente l’importo P all’epoca y. Si dice che si sta capitalizzando l’importo P. Px=My * v(x,y) con questa si può riportare finanziariamente l’importo M all’epoca x. Si dice che si sta attualizzando l’importo M. CAPITALIZZARE P M P X Y ATTUALIZZARE M Ix,y=Px * i(x,y) Dx,y=My* d(x,y)

10. CONTRATTI A TERMINE Si è fatto riferimento a operazioni che presentano due solo epoche. Ad esempio si è studiata la funzione v(x,y), che può rappresentare il prezzo di un titolo, all’epoca x, che mi garantisce un capitale unitario, all’epoca y. -data investimento x -data disinvestimento y Esistono, però, anche altri tipi di operazioni che presentano tre epoche o istanti: -istante u nel quale si stipula il contratto e si stabilisce il prezzo. -istante x nel quale si regola il prezzo del contratto. -istante y nel quale scade il contratto. Questo tipo di contratti viene detto a termine; si indica con v(u,x,y) il prezzo di un titolo che viene stipulato all’epoca u, regolato all’epoca x e che mi restituisce un capitale unitario all’epoca y.

11. Un contratto a termine è detto anche contratto future. L’effettuazione dei contratti future deriva da tre esigenze diverse: COPERTURA SPECULAZIONE ARBITRAGGIO

12. REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE SEMPLICE La caratteristica fondamentale di questo regime è quella di avere l’interesse prodotto, periodo per periodo, proporzionale al capitale inizialmente investito e alla durata dell’investimento. I = P * i * t r(t) = 1 + i * t i (t) = i * t v(t) = 1 / (1 + i * t) d(t) = i * t / (1 + i * t)

14. REGIME FINANZIARIO della capitalizzazione composta La caratteristica fondamentale del regime della capitalizzazione composta e cioè il disinvestimento ad ogni epoca e quindi il successivo, immediato, reinvestimento, della somma ricavata dal disinvestimento, per l’epoca successiva (roll over) può essere espresso dal fatto che l’interesse prodotto tra t e t+1 è proporzionale al capitale investito all’inizio del periodo. Questo regime è scindibile e ciò comporta l’indifferenza tra l’attuare un’operazione unica o n operazioni più piccole. r(t) = ( 1 + i )t i (t) = ( 1 + i )t– 1 v(t) = 1 / ( 1 + i )t d(t) = 1 - ( 1 + i )-t

16. REGIME FINANZIARIO dello sconto commerciale La caratteristica fondamentale di questo regime è quella di avere lo sconto prodotto periodo per periodo proporzionale al capitale da scontare e alla durata dell’investimento. D = M * d * t r(t) = 1 / (1 – d *t) i (t) = 1 – 1 / ( 1 – d *t) v(t) = 1 – d * t d(t) = d * t

17. Validità del regime: ATTENZIONE!! 0 < t < 1/d

19. CONFRONTO FRA I 3 REGIMI

20. Calcoliamo il montante di un investimento nei 3 regimi considerati: Investiamo 100 euro in un fondo di investimento che ci garantisce il 2% annuo. Il direttore del fondo ci da l’opportunità di scegliere il regime con cui capitalizzare i soldi investiti. Essenzialmente bisogna studiare 3 casi: -Investimento per un periodo minore dell’anno. -Investimento per un periodo uguale all’anno. -Investimento per un periodo maggiore dell’anno.

21. 1° CASO Supponiamo di volere investire 100 euro per 8 mesi con i=2% (questo tasso è annuale) La prima operazione da fare è quella di ricondurre alla stessa unità di misura il tempo e il tasso. i=2% t=8/12 anni P=100 Capitalizzazione semplice M= 100*(1 + 2% * 8/12) =101,3333333 Capitalizzazione composta M=100*( 1 + 2% )(8/12)=101,3289279 Sconto commerciale d=i/(1+i)=0,019607843 M=100/(1-0,019607843*8/12)=101,3245033

22. 2° CASO Supponiamo di volere investire 100 euro per 1 anno con i=2% . i=2% t=1 anno P=100 Capitalizzazione semplice M= 100*(1 + 2% * 1) =102,00000 Capitalizzazione composta M=100*( 1 + 2% )1= 102,00000 Sconto commerciale d=i/(1+i)=0,019607843 M=100/(1-0,019607843*1)= 102,00000

23. 3° CASO Supponiamo di volere investire 100 euro per 6 anni con i=2% (questo tasso è annuale) i=2% t=6 anni P=100 Capitalizzazione semplice M= 100*(1 + 2% * 6) = 112,0000 Capitalizzazione composta M=100*( 1 + 2% )(6)= 112,61624193 Sconto commerciale d=i/(1+i)=0,019607843 M=100/(1-0,019607843*6)=113,33333333

24. TASSI EQUIVALENTI immaginiamo di dividere l’anno in m parti: Si definirà m come il frazionamento dell’anno i(1/m) i(1/m) è l’interesse prodotto da un capitale unitario in 1/m di anno. Due tassi si dicono EQUIVALENTI se, applicati ad uno stesso regime finanziario, producono lo stesso montante nello stesso periodo di tempo. La stessa definizione, con gli opportuni cambiamenti può essere data per i tassi di sconto.

25. Capitalizzazione semplice: i(1/m) = i / m Capitalizzazione composta: (1 + i) = (1 + i(1/m))m Sconto commerciale: d(1/m) = d / m

26. In capitalizzazione composta: • Tasso annuale=i  i=5% • Tasso semestrale=? i(1/2)=? • In un anno ci sono 2 semestri  m=2 • (1+5%)=(1+i(1/2) )2 • i(1/2)=2,46950766% Tasso annuale=i  i=5% Tasso trimestrale=? i(1/4)=? In un anno ci sono 4 trimestri  m=4 • (1+5%)=(1+i(1/4) )4 • i(1/4)=1,22722344%

27. TASSI NOMINALI In regime di capitalizzazione composta esiste un altro modo per calcolare il tasso relativo ad una frazione di periodo unitario. Se investo al tasso annuo sto scegliendo, implicitamente, di effettuare un’unica operazione con inizio immediato e durata unitaria ad un tasso noto e certo, se si investe per un anno al tasso mensile (equivalente) si dovranno effettuare 12 operazioni di reinvestimento che ipotizzano sempre lo stesso tasso, cosa non necessariamente vera nella realtà dei mercati finanziari. Dunque l’equivalenza espressa dai tassi equivalenti ipotizza implicitamente che i tassi rimangano costanti per ciascuna frazione di periodo unitario (anno). j(m) = = i(1/m) *m dove in generale j(m) è il tasso annuo nominale di interesse convertibile m volte l’anno (o frazionato m volte l’anno).

28. j(m)= = = d. dviene chiamato tasso istantaneo di interesse o tasso nominale annuo convertibile infinite volte. Viene anche indicato come j().

29. Le stesse considerazioni fatte per il tasso di interesse possono essere fatte per il tasso di sconto. Il tasso nominale di sconto è indicato con r(m). r(m)= m * d(1/m) Può essere, naturalmente, espresso come r(m)= L’asintoto orizzontale r() è il tasso nominale annuo di sconto convertibile infinite voltee viene indicato con r. r= -ln(1-d) = d= ln(1+i)

31. RENDITE Un’operazione finanziaria composta è un contratto di scambio tra n (n≥2) importi esigibili in epoche diverse. R0 R1R2 … Rn-1Rn t0 t1 t2 tn-1 tn Per identificare un’operazione finanziaria composta è necessario definire univocamente: • il vettore dei cash flows (rate) {R0 ; R1 ; …; Rn } • il vettore delle scadenze (scadenzario) {t0 ; t1 ; …; tn } • il vettore “dei segni”, con cui si identificano le poste in entrata (contraddistinte con il segno “+”) e quelle in uscita (contraddistinte con il segno “-”). Le operazioni che presentano un solo cambiamento di segno sono chiamate RENDITE. Un esempio classico di rendita è il BTP (buono del tesoro poliennale). Il regime finanziario prescelto nelle rendite è quello della capitalizzazione composta. Si userà la struttura piatta di mercato ovvero con tassi di interesse costanti per tutti il periodo preso in considerazione. Il tasso i preso in considerazione viene chiamato TIR.

32. VALORE CAPITALE DI UNA RENDITA VALORE CAPITALE: è la somma delle rate riportate finanziariamente all’epoca h di valutazione (compresa tra zero e n) Wh=+

33. VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA VALORE ATTUALE: è la somma dei valori attuali delle rate. Quindi si può calcolare come valore capitale con h=0 W0=A=

34. MONTANTE DI UNA RENDITA MONTANTE: è la somma dei montati delle rate. Si può calcolare come valore capitale con h=n Wh=M=

35. ANALISI DI UN BTP Un buono poliennale del tesoro è un’operazione finanziaria di rendita che, dietro pagamento del prezzo, assicura una serie di importi prefissati disponibili in epoche predeterminate (cedole: c) e il rimborso a scadenza del capitale investito. C = * VN Dove VN è il valore nominale Cash flow di un BTP biennale, cedola semestrale al tasso nominale annuo del 6%, valore di rimborso pari a 100 e prezzo del BTP=98. -98 3 3 3 103 0 1/2 1 3/2 2

36. Voglio acquistare BTP per un valore nominale di 20.000, che scadono tra 2 anni, che prevedono un pagamento di cedole semestrali al 4% nominale annuo e rimborso alla pari. Ipotizzando un tasso di rendimento del 5% effettivo annuo, costante per i prossimi due anni a quale prezzo posso acquistare questi titoli? Per trovare il prezzo che è il valore attuale del BTP si calcola la somma dei valori attuali degli importi alle varie epoche. X= VN 20000 j(2) 4% i 5% i(1/2) 2,470% 0 1 2 3 4 La somma di questi valori attuali mi da il prezzo del BTP P=19646,48523 400 400 400 20400 390,3600292 380,952381 371,7714564 18503,40136 Valori attuali degli importi

37. NOMENCLATURA DELLE RENDITE Le rendite possono classificarsi: in base allo scadenzario: • rendite periodiche • rendite non periodiche In base all’epoca cui si riferiscono le rate: • rendite anticipate • rendite posticipate In base al numero delle rate: • rendite temporanee • renditeperpetue In base alla data cui si versa (incassa) la prima rata rispetto all’epoca cui si calcola il valore attuale: • rendite immediate • rendite differite In base alla periodicità delle rate rispetto allo scadenzario: • rendite intere • rendite frazionate • rendite nel continuo Infine, si distingue tra rendite con rate costanti e rendite con rate non costanti

38. Valori attuali delle rendite (in formule compatte)

39. Montanti delle rendite (in formule compatte) Il montante di una rendita differita coincide con quello di una rendita immediata (a parità di tasso di interesse).

40. COSTITUZIONE DI UN CAPITALE • La costituzione di un capitale parte dal concetto di rendita. • Vogliamo avere fra 20 anni un capitale di 100.000. Ci viene garantito, da un fondo di accumulazione, che il tasso di costituzione del capitale è del 5%. Quale deve essere l’importo da versare alla fine di ogni mese per avere dopo 20 anni quella somma? • DATI: • Rendita: • Immediata • Frazionata • Periodica • Posticipata • M=100.000 • n=12*20=240 • i=5% • i(1/12)=(1+i)(1/12) – 1 = 0,407412 % • Questa è il tasso mensile • equivalente all’annuale La formula che ci serve per risolvere il problema è *R=M Si ricava R=246,4240875 Il problema poteva essere risolto ugualmente utilizzando *R, sapendo che j(12)=12*0,41=4,889% Si ricava la rata annuale R=2957,08905 Dividendola per 12 si ottiene la rata mensile R=246,4240875

41. PROGETTI ECONOMICO-FINANZIARI E CRITERI DI VALUTAZIONE DI UN INVESTIMENTO Un progetto è un’operazione finanziaria. Indichiamo un generico progetto con A=[a, t], con a e t vettori (riga): a= (a0, a1, …, an ) vettore degli importi o vettore dei cash flow t= (t0, t1, …, tn ) vettore delle scadenze o scadenzario. Un progetto è un’operazione finanziaria in cui il vettore dei segni dei cash flow può avere un numero qualsiasi di cambiamenti di segno. Il numero dei cambiamenti di segno presenti nel vettore dei cash flow del progetto permette di classificare i progetti in: • PROGETTI DI INVESTIMENTO • PROGETTO DI FINANZIAMENTO • PROGETTI MISTI

42. L’algebra dei progetti è quella classica dei vettori con la solo accortezza che nella somma o differenza di progetti per quanto riguarda lo scadenzario si prende l’unione di questi. A: a=(-5,2,3,4) B: b=(1,2,9) t= (0,1,2,3) t= (1,2,6) A+B: a+b= (-5,3,5,4,9) ta+tb= (0,1,2,3,6) L’uguaglianza tra due progetti comporta lo stesso scadenzario e l’ordinata corrispondenza di ciascun importo A: a=(-5,2,3,4) B: b=(-5,2,3,4) t= (0,1,2,3) non sono uguali t= (0,1,2,4) A: a=(-5,2,3,4) B: b=(-5,2,3,4) t= (0,1,2,3) sono uguali t= (0,1,2,3)

43. Vettore dei saldi Il vettore dei saldi s=[s1; s2; …; sn] relativo ad un progetto A=[a; t] è un vettore le cui componenti sono la somma algebrica della componente relativa all’epoca precedente ed il flusso del progetto A s0=a0 s1=s0+a1 … Sn=sn-1+an Il vettore s si definisce vettore dei saldi a tasso “0” o vettore dei saldi contabili perché non tiene conto dei tassi di interesse.

44. Se teniamo conto dei tassi di interesse (in ipotesi di struttura piatta) il vettore dei saldi s(i) è dato dal valore capitalizzato della componente precedente cui viene sommata la componente dell’epoca in corso del vettore dei cash flows del progetto: S0=a0 S1=s0*(1+i)+a1 … Sn=sn-1*(1+i)+an Il vettore s(i) prende il nome di vettore dei saldi a tasso “i”;ovviamente il saldo sn(i) è diverso dal saldo sn.

45. Se la struttura dei tassi non è piatta il vettore dei saldi s(i(t-1,t)) è definito dalla: S0=a0 S1=s0*(1+i(0,1))+a1 … Sn=sn-1*(1+i(n-1,n))+an Il vettore s(i(t-1,t)) prende il nome di vettore dei saldi a tassi variabili. Nella realtà operativa si utilizzano, piuttosto che i tassi di mercato, due tassi: un tasso yper i saldi attivi ed un tasso xper i saldi passivi. Il vettore dei saldi s(x,y) è: S0=a0 s0*(1+x)+a1 se a0< 0 S1= s0*(1+y)+a1 se a0> 0 … sn-1*(1+x)+an se an-1 < 0 Sn= sn-1*(1+y)+an se an-1 > 0

46. Per poter confrontare (e quindi scegliere) tra diversi progetti è necessario verificare che essi siano: Completi (o omogenei): due o più progetti sono completi se hanno la stessa dimensione (esborso iniziale) e stessa durata. I progetti possono essere resi completi tramite progetti integrativi. 2. Ammissibili: un progetto è ammissibile se il soggetto economico è in grado di attuarlo 3. Alternativi: l’operatore deve scegliere un solo progetto 4. Indipendenti: due (o più progetti) sono indipendenti se l’accettazione o il rifiuto di un progetto non ha alcuna influenza né sull’ammissibilità né sugli elementi che descrivono gli altri progetti.

47. CRITERI DI VALUTAZIONE DI UN PROGETTO DI INVESTIMENTO Un criterio di valutazione di un progetto è funzione f che, applicata al vettore dei cash flows del progetto A, restituisce uno scalare: f (A) = λ. Tra più progetti si sceglierà quello che presenta il valore massimo della f(⋅): A preferito B ⇔ f (A) > f (B) A = B ⇔ f (A) = f (B) Un generico criterio di scelta f gode di alcune proprietà: ♦ Deve essere applicabile ad una certa classe di progetti; ♦ Se aumentano le entrate del progetto A deve aumentare anche la f (A); ♦ Se anticipiamo un ricavo o posticipiamo un costo la f aumenta; ♦ Se cambiamo l’unità di misura dei progetti (ad esempio da dollari in euro) l’ordinamento tra progetti generato dalla f (⋅) non cambia: se f (A) > f (B), dato α >0, anche f (α Α )> f (α Β). Un criterio di scelta si dice relativo o dimensionale se f (A) = f ( α A) ∀ α > 0 Si dice assoluto o adimensionale se f (αA) = α f (A) ∀ α > 0

48. CRITERIO DEL VAN Il VAN (valore attuale netto) è la somma algebrica dei valori attuali dei flussi di cassa associati ad un progetto: f(A)=VAN(A)= Se valutiamo due progetti di investimento sceglieremo quello con il VAN più elevato. Il VAN misura il guadagno associato ad un progetto riportato finanziariamente all’epoca t0.

49. CRITERIO DEL VFN Se si vuole valutare il guadagno associato ad un progetto di investimento non all’epoca iniziale t0, ma a quella finale, tn, capitalizzando fino all’epoca tni flussi si ottiene un nuovo criterio di scelta: il VFN (valore finale netto). f(A)=VFN(A)= Se i due tassi usati nelle equazioni precedenti coincidono, i due criteri assegnano lo stesso ordine di preferibilità tra progetti alternativi. Inoltre, per la scindibilità della legge finanziaria usata (la capitalizzazione composta): VFN(A)=VAN(A) * VAN e VFN sono due criteri assoluti e soggettivi (dipende strettamente dal tasso utilizzato) e sono lineari rispetto al vettore dei capitali.

50. CRITERIO DEL TIR Il TIR è quel tasso i che rende pari a 0 il VAN. f(A):=0 Problema del TIR: -Il TIR è un criterio oggettivo, utilizzabile però solo per quei progetti il cui vettore dei segni presenta una sola inversione (quindi non è applicabile ai progetti misti). - Il TIR non è lineare rispetto al vettore dei capitali