Matematica Finanziaria ed EXCEL

1. Matematica Finanziaria ed EXCEL

2. Capitalizzazione C = Capitale iniziale M M = Montante (valore finale) di C C 0 t I = interesse i = tasso di interesse M = C + I

3. M C 0 t M = C ·(1+i)t regime di capitalizzazione composta

4. ESEMPIO M=? 15000 € 0 8 i = 4% M = 15000 ·(1+0.04)8 = 20528.54 I = M – C = 5528.54

5. M=? S0 S1 S2 S3 Sn …………….. 0 1 2 3 n

6. Esercizio di calcolo del montante 300 2400 3100 1800 750 900 4000 0 1 2 3 4 5 6 i = 4% M = 300(1+0.04)6 + 2400(1+0.04)5 + 3100(1+0.04)4 + 1800(1+0.04)3 + 750(1+0.04)2 + 900(1+0.04) + 4000 M = 14698.08

7. Un progetto prevede oggi le seguenti entrate annue 100 250 125 2050 185 0 1 2 3 4 5 6 7 calcolare, usando Excel, il valore dei flussi di cassa a scadenza (montante), ed all’istante iniziale (valore attuale) nell’ipotesi che il tasso di valutazione sia del 10% (vedere esercizio Excel)

8. Attualizzazione C = valore attuale in t = 0 M = valore finale M C i = tasso di interesse 0 t

9. regime di capitalizzazione composta M C = (1+i)t M = C ·(1+i)t Valore attuale = M ·(1+i)-t V

10. ESEMPIO V=? 32000 € 0 2 i = 15% V = 32000 ·(1+0.15)-2 = 24196.60

11. V = 350 ·(1+i)-1 350 0 1 V = 40 ·(1+i)-2 40 0 2 350 40 0 1 2 V = 350 ·(1+i)-1+40 · (1+i)-2

12. V=? S1 S2 S3 Sn …………….. 0 1 2 3 n

13. Progetti Finanziari VA VF S0 S1 S2 S3 Sn …………….. 0 1 2 3 n VF = S0 (1+i)n + S1 (1+i)n-1 + S2 (1+i)n-2 + … + Sn VA = S0 + S1 (1+i)-1 + S2 (1+i)-2 + … + Sn (1+i)-n

14. Tassi Equivalenti Due tassi di interesse che producono il medesimo montante applicati ad uno stesso capitale in regime di capitalizzazione composta a scadenze diverse si dicono equivalenti. Il tasso periodale im è equivalente al tasso annuo i se lo stesso capitale C produce nello stesso periodo di tempo t il medesimo interesse. In un anno vengono effettuate m capitalizzazioni bimestrali. In regime di interesse composta risulta: C * (1+i)t = C * (1+im)t*m Da cui risulta: i= (1+im)m – 1 im= (1+i)1/m – 1 Dove i è il tassuo annuo, im quello periodale, m le frazioni di anno

15. Esercizio di calcolo del valore attuale 350 40 920 58 25 63 70 0 1 2 3 4 5 6 7 i = 7% V = 350(1+0.07)-1 + 40(1+0.07)-2 + 920(1+0.07)-3 + 58(1+0.07)-4 + 25(1+0.07)-5 + 63(1+0.047)-6+ 70(1+0.047)-7 V =1260.68

16. FUNZIONE VAN Calcola il valore attuale netto di un investimento utilizzando un tasso di sconto e una serie di pagamenti (valori negativi) e di entrate (valori positivi). • VAN (tasso_int; valore1; valore2;…,valoren) • tasso_int tasso di interesse relativo all’unità temporale considerata, • valore1,…,valorenimporti periodici S1, …., Sn riscossi o pagati nelle diverse epoche. • Le epoche sono equidistanziate • I pagamenti sono posticipati • L’importo S0 all’epoca 0 non viene incluso come argomento della funzione VAN

17. FUNZIONE VA • VA (tasso; periodi; S; valore futuro; tipo) • Valuta all’istante iniziale una successione monetaria con importi uguali. I pagamenti possono anche essere effettuati anticipatamente. • tasso tasso di interesse relativo all’unità temporale periodi numero dei pagamenti • Spagamento in ogni epoca • Valore futuro pagamento addizionale finale • tipo 0 per importi posticipati, 1 anticipati • Le epoche sono equidistanti • Può mancare uno degli argomenti tra S e Valore futuro • Attenzione che il risultato è di segno opposto a quello dei flussi

18. FUNZIONE VAL.FUT • VAL.FUT (tasso; periodi; S; valore attuale; tipo) • Valuta all’istante finale una successione monetaria con importi uguali. I pagamenti possono anche essere effettuati anticipatamente. • tasso tasso di interesse relativo all’unità temporale periodi numero dei pagamenti • Spagamento in ogni epoca • Valore attuale pagamento addizionale iniziale • tipo 0 per importi posticipati, 1 anticipati • Le epoche sono equidistanti • Può mancare uno degli argomenti tra S e Valore futuro • Attenzione che il risultato è di segno opposto a quello dei flussi

19. FUNZIONE TIR.COST Restituisce il tasso di rendimento interno per una serie di flussi di cassa. Il tasso di interesse che eguaglia i valori attuali di entrate ed uscite di cassa è detto, se esiste ed è unico, tasso interno di rendimento (i*). V(i*) = 0 • TIR.COST (val; ipotesi) • Val è un riferimento a celle che contengono i flussi di cui si desidera calcolare il tasso di rendimento interno. • Ipotesi è un numero che si suppone vicino al risultato di TIR.COST. Se omesso verrà considerato pari al 10% • Le epoche sono equidistanziate e nell’ordine indicato. • Val deve contenere almeno un valore positivo e uno negativo. • Viene utilizzata una tecnica iterativa per eseguire il calcolo della funzione TIR.COST. che potrbbe non trovare il risultato

20. B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 350 40 920 58 25 63 70 0 1 2 3 4 5 6 7 i = 0.07 G3 = VAN(B11;B3:B9) Sol. 1260.68

21. S0 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 350 40 920 58 25 63 70 450 0 1 2 3 4 5 6 7 i = 0.07 G3 oppure = B2+VAN(B11;B3:B9) Sol. 1710.68

22. Esercizio Un progetto prevede oggi le seguenti entrate annue 5920 5420 7470 6240 9770 6720 10370 0 1 2 3 4 5 6 7 calcolare usando Excel il valore attuale dei flussi di cassa, assumendo un tasso di valutazione del 9%

23. Calcolo del tasso di interesse noto il valore attuale Si consideri un progetto i cui importi monetari sono descritti come nell’Esercizio Excel del VAN. Dire per quale valore del tasso di interesse si ottiene un valore attuale netto di € 1000. (vedere esercizio Excel) Nota:si usa“Ricerca Obiettivo”

24. RICERCA OBIETTIVO Permette di trovare il valore di una certa variabile in modo da raggiungere un prefissato obiettivo. Strumenti - Ricerca obiettivo Imposta la cella Al valore Cambiando la cella

25. Imposta la cella: riferimento alla “cella obiettivo”; deve contenere una formula . Al valore: il valore della cella obiettivo; Cambiando la cella: riferimento alla “cella soluzione”; deve contenere un valore.

26. Come opera Ricerca Obiettivo Segue un procedimento iterativo di ricerca della soluzione: 1. Pone un valore nella “cella soluzione” 2. Confronta il valore calcolato nella cella “obiettivo” con il valore indicato nella casella Al valore. 3. Se i due valori coincidono, STOP. 4. Se i due valori non coincidono, sceglie un altro valore per la “cella soluzione” e ripete il procedimento.

27. MUTUO Art. 1813 del Codice Civile: Il mutuo è un contratto mediante il quale una parte, detta mutuante, consegna all'altra, detta mutuataria, una somma di denaro o una quantità di beni fungibili, che l'altra si obbliga a restituire successivamente con altrettante cose della stessa specie e qualità. AMMORTAMENTO DEL MUTUO Prendiamo a prestito una somma di denaro S e dobbiamo restituirla entro un certo numero di periodi n. Oltre alla somma presa a prestito si dovranno dare al creditore anche gli interessi calcolati sulla base di un certo tasso di remunerazione del prestito i. Alla fine di ogni periodo si restituisce una quota del mutuo e alle stesse scadenze vengono anche corrisposti gli interessi.

28. I TASSI DEL MUTUO • TAN (tasso annuo nominale): è il tasso di interesse puro applicato ad un finanziamento. • Tasso Applicato: è calcolato come somma di un indice di riferimento (di norma l'EurIRS o l’Euribor ), dello spread (percentuale di guadagno della banca) e di un eventuale maggiorazione-premio di rischio, legato al mutuatario che richiede il prestito. • EurIRS (o IRS): è il tasso di riferimento che indica il tasso di interesse medio al quale i principali istituti di credito europei stipulano swap a copertura del rischio di interesse. • Euribor: è un tasso di riferimento che indica il tasso di interesse medio delle transazioni finanziarie in Euro tra le principali banche europee. • ISC (Indicatore Sintetico di Costo): è l'indicatore di tasso di interesse di un'operazione di finanziamento. Indica il costo effettivo del finanziamento, tenendo conto del TAN e di tutte le spese accessorie (istruttoria, revisione, apertura e chiusura pratica, riscossione rate, assicurazione e garanzie, intermediazione).

29. k = generico anno (k = 1,2,…,n) Ck =quota di capitale in k Parte del debito che viene restituita alla fine dell’anno k Condizione:C1+ C2+ …+ Ck+…+ Cn = S Ik =quota interesse in k Interesse corrisposto alla fine di ogni anno. Rk =rata di ammortamento in k ammontare di denaro che il debitore deve pagare complessivamente alla fine di ogni anno. Rk = Ck + Ik

30. Dk=debito residuo in k il debito residuo in un certo istante k è l’ammontare che il debitore deve ancora restituire, a titolo di capitale, per estinguere il debito. Ek=debito estinto in k il debito estinto in un certo istante k è la parte del debito che a quell’istante è già stato rimborsato. istante0: D0 = S; E0 = 0 Dn = 0; E0 = S istanten:

31. Rk = Ck + Ik Calcolo della rata di ammortamento • Ik = iDk-1 Calcolo della quota interesse • Dk = Dk-1 – Ck Aggiornamento del debito residuo Ek = Ek-1 + Ck Aggiornamento del debito estinto

32. Anno (k) Quota capitale (Ck) Quota interesse (Ik) Rata ammort. (Rk) Debito residuo (Dk) Debito Estinto (Ek) 0 - - - D0= S E0= 0 1 C1 I1 R1 D1 E1 2 C2 I2 R2 D2 E2 …. .... .... .... .... .... n Cn In Rn Dn = 0 En= S Piano di ammortamento

33. Ammortamento a Quote Costanti Nell’ammortamento italiano le quote di capitale sono costanti: Ck = Cper ogni k S= C+ C+…+ C = nC Ik = Dk-1 * i Rk = Ik + C Dk = Dk-1 - C

34. Ammortamento a Rate Costanti Nell’ammortamento francese le rate di ammortamento sono costanti: Rk = Rper ogni k Ik = Dk-1 * i Ck = Rk - Ik Dk = Dk-1 - C

35. FUNZIONE RATA RATA(tasso_int; periodi;val_attuale;val_futuro;tipo) tasso_int tasso di interesse periodi numero delle rate di ammortamento val_attuale importo del mutuo val_futuro valore residuo del capitale(se omesso è considerato 0) tipo convenzione usata per i pagamenti (0 = posticipato, 1 = anticipato). Se omesso è considerato uguale a zero

36. La funzione RATA restituisce l’importo della rata necessario per ammortizzare un prestito, in un ammortamento di tipo “francese”. Nota: poiché la funzione RATA restituisce un risultato negativo (il suo importo rappresenta un costo dal punto di vista del debitore), quando scriveremo la formula in Excel prenderemo l’opposto del risultato della funzione RATA.

37. FUNZIONE INTERESSI INTERESSI(tasso_int; periodo; periodi;val_attuale;val_futuro;tipo) tasso_int, periodi, val_attuale, val_futuro, tipo argomenti con lo stesso significato di quelli della funzione rata periodo: epoca di calcolo della quota interesse Viene impiegata per determinare la quota interessi ad un istante k nell’ammortamento a rate costanti.

38. FUNZIONE P.RATA P.RATA(tasso_int; periodo; periodi;val_attuale;val_futuro;tipo) tasso_int, periodi, val_attuale, val_futuro, tipo argomenti con lo stesso significato di quelli della funzione rata periodo: epoca di calcolo della quota capitale Viene impiegata per determinare la quota capitale ad un istante k nell’ammortamento a rate costanti.

39. FUNZIONE CAP.CUM CAP.CUM(tasso_int; periodi;val_attuale;inizio_per;fine_per;tipo) tasso_int, periodi, val_attuale, tipo argomenti con lo stesso significato di quelli delle funzioni precedenti inizio_per: istante della prima rata del periodo considerato fine_per: istante dell’ultima rata del periodo considerato Viene impiegata per determinare l’ammontare del capitale rimborsato in un certo perido di tempo nell’ammortamento a rate costanti. (E’ UNA FUNZIONE DI OFFICE2007)

40. FUNZIONE INT.CUMUL INT.CUMUL (tasso_int; periodi;val_attuale;inizio_per;fine_per;tipo) Gli argomenti sono gli stessi della funzione CAP.CUM Viene impiegata per determinare l’ammontare cumulato degli interessi versati in un certo perido di tempo nell’ammortamento a rate costanti. (E’ UNA FUNZIONE DI OFFICE2007)