MATEMATICA FINANZIARIA

MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni fpetroni@gmail.com facebook

Rendite certe • Operazioni finanziarie con una data periodicità: affitti, pensioni, compravendite a rate, cedole di obbligazioni etc. etc. • Si chiama rendita una successione di capitali da riscuoter (o da pagare) a scadenze determinate • Rate della rendita sono i singoli capitali esigibili (o da pagare) alle diverse scadenze • La rendita si dice periodica se l’intervallo tra rate successive è costante

Rendite certe • Nel caso periodico l’intervallo tra due rate successive è detto periodo • Il pagamento delle rate può avvenire all’inizio o alla fine di ciascun periodo: rendite anticipate o posticipate • Numero di rate finito => rendita temporanea • Numero di rate infinito => rendita perpetua • Rendita costante => tutte le rate sono uguali • Rendita variabile => rate diverse • Rendita unitaria => rate di valore unitario

Rendite certe 0 R1 R2 Rn t=n t=0 t=1 t=2

Rendite certe • Valore di una rendita • Dato un istante t quale è il valore della rendita in quell’istante • Tutte le rate vanno riportate all’istante t attraverso fattori di attualizzazione e/o capitalizzazione • È necessario stabilire un regime finanziario ed una legge finanziaria (tasso i) • Il valore della rendita non ha un carattere oggettivo

Rendite certe • Valore di una rendita • Tempo: scelte standard nell’istante iniziale (t0) o in quello finale (tn) • Rendita anticipata => in t0 si paga la prima rata • Rendita posticipata => in tn si paga l’ultima rata • Si chiama Montante della rendita il valore nell’istante tn • Si chiama valore attuale della rendita il valore nell’istante t0

Rendite certe • Valore di una rendita • Si parla di rendita differita quanto il tempo di valutazione t è antecedente t0 => differita di t0-t • Rendita immediata se t0=t • Una rendita posticipata immediata è equivalente ad una rendita anticipata differita di un periodo

Rendite certe Valore attuale di una rendita immediata posticipata v(n) v(2) v(1) r(n-1) Montante di una rendita immediata posticipata 0 0 R1 R1 R2 R2 Rn Rn r(n-2) t=n t=n t=0 t=0 t=1 t=1 t=2 t=2

Rendite certe • Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) • Regime dell’interesse composto • Ci riferiamo a rendite unitarie (nel caso di rate costanti) • Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata immediata, di durata n anni • Basta sommare i valori attuali delle singole rate

Rendite certe • Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) • La prima rata viene pagata dopo un anno esatto quindi va attualizzata per un periodo • La seconda rata va attualizzata per 2 anni • L’ultima rata va attualizzata per n anni

Rendite certe • Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) => il valore attuale della rendita sarà la somma di tutti i valori attuali delle singole rate

Rendite certe • Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) • Se sostituiamo

Rendite certe • Calcolo dei valori capitali (valore attuale o montante) • Si vede facilmente che è funzione crescente di n e decrescente di i • Ovviamente se la rendita è costante ma le rate non sono uguali a 1 ma ad R qualunque il valore attuale sarà

Rendite certe • Rendite costanti temporanee • Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata, di durata n anni e differita di t anni • Che equivale a calcolare il valore attuale nell’istante di inizio della rendita e anticiparlo di t anni

Rendite certe • Montante di una rendita unitaria annua posticipata immediata di durata n anni • Poiché calcoliamo il montante dobbiamo capitalizzare invece che anticipare • La prima rata va capitalizzata per n-1 anni, la seconda n-2 ….. l’ultima per 0 anni 0 R1 R2 Rn r(n-1) t=n t=0 t=1 t=2 r(n-2)

Rendite certe • Montante di una rendita unitaria annua posticipata immediata di durata n anni • In formule:

Rendite certe • Valore attuale di una rendita unitaria annua anticipata immediata di durata n anni • In formule: R1 R2 R3 Rn t=n t=0 t=1 t=2

Rendite certe • Valore attuale di una rendita unitaria annua anticipata, di durata n anni e differita di t anni • In formule:

Rendite certe • Rendite frazionate • Valore attuale di n annualità unitarie, ciascuna frazionata in m rate uguali posticipare 0 1/m 1/m 1/m t=n t=0 t=1/m t=2/m

Rendite certe • Rendite frazionate • Possiamo valutarla considerando il tasso d’interesse i1/m e il fattore di sconto associato v1/m. Bisogna tenere conto che ora ci sono n*m rate di valore 1/m:

Rendite certe • Rendite perpetue • Possiamo considerare un a rendita perpetua come limite di una rendita temporanea • Non possiamo valutare il montante (non è definito l’istante finale) • Vediamo il valore attuale di una rendita perpetua posticipata immediata unitaria annua

Rendite certe • Rendite continue • Valore attuale di una rendita continua costante unitaria annua immediata di durata n anni • È il caso limite della rendita frazionata al tendere di m all’infinito. • La consideriamo unitaria nel senso che la somma delle rate in un anno vale 1

Rendite certe • Rendite continue • Da cui si ottiene • Avendo usato le seguenti relazioni

Rendite certe • Rendite variabili • Nel caso di rendite variabili (con rate non costanti) la sommatoria non si può fare senza sapere il valore specifico di ogni rata =>

Rendite certe • Determinazione della durata • Supponiamo una rendita posticipata, immediata, di durata n anni, rata R, tasso di valutazione i, il valore attuale sarà • Supponiamo di conoscere tutto tranne la durata => possiamo invertire la formula per trovare n

Rendite certe • Determinazione della durata

Rendite certe • Determinazione del tasso • Supponiamo una rendita posticipata, immediata, di durata n anni, rata R, tasso di valutazione i, il valore attuale sarà • Supponiamo di conoscere tutto tranne il tasso d’interesse praticato => è meglio ragionare con l’equazione scritta in questo modo:

Rendite certe • Determinazione del tasso • Per trovare il tasso i di valutazione bisogno trovare gli zeri di un polinomio di grado n nell’incognita v e poi trovare i dalla relazione v=(1+i)-1 • In generale non si trova una soluzione in modo analitico ma si cerca numericamente => metodo delle approssimazioni successive

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