LINEÆR FUNKTIONER

1. LINEÆR FUNKTIONER MATEMATIK A

2. Hvad er en funktion? • En x-værdi til en y-værdi • Må aldrig gå tilbage – KUN gå frem

3. Lineær funktion • Generelle forskrift for en lineær funktion: f(x)=ax+b • ax=hældningen • b=skæring i y-aksen

4. Eksempel på lineær funktion • Forskriften for funktionen: f(x)=3x+2 • Funktionen skærer y-aksen i punktet 2 • Hver gang man går 1 ud går man 3 op

5. Formel 19 • Formlen hedder: • Formlen bruges til at finde hældningen (a) i en lineær funktion • a=hældningen på grafen • y = y2-y1 • x = x2-x1 • Formlen kan udledes via geometrisk metode • som:

6. Bevis formel 19 • y1 = ax1+b ^y2 = ax2+b • y1 - ax1 1) =b ^ y2 = ax2+b • y1 - ax1 =b ^y2 = ax2+(y1-ax1)2) • y1 - ax1 =b ^ y2 = ax2+y1-ax13) • y1 - ax1 =b ^ y2-y1 = ax2-ax1 4) • y1 - ax1 =b ^ y2-y1 = a(x2-x1) 5) • y1 - ax1 =b ^ 6) • y1 - ax1 =b ^ =

7. Formel 22 • Formlen hedder: b=y-ax • Formlen bruges til at finde skæringen med y-aksen (b) • b=skæringen med y-aksen • y= y1 eller y2 • ax= a * med den tilhørende x-værdi til den valgte y-værdi

8. Skæring af to linjer • Der er to metoder man kan benytte, når man skal finde skæringen mellem to linjer • Aflæsning på koordinatsystem • Stille de 2 funktioner over for hinanden ligesom en ligning (når x er fundet, sættes x ind i funktionerne og derefter findes y)

9. Eksempel ved aflæsning • Givet to funktioner: g(x)=-x-5 & f(x)=½x+1 De 2 linjer skærer hinanden i punktet (-4,-1) g(x) = -x – 5 Hældning = -x Skæring med y-aksen= -5 f(x) = ½x + 1 Hældning = ½x Skæring med y-aksen = 1

10. Eksempel ved beregning Beregning af x Beregning af y 0,5x+1=-x-5 f(x)=0,5x+1 1,5x=-6 y=-2+1 x=-4 y=-1 g(x)=-x-5 y=4-5 y=-1 Funktionen skærer hinanden i punktet (-4,-1)

11. Ligninger • Ligninger kan løses ved hjælp af 2 metoder: • Man kan omforme ligningen, således at x står på den ene side og talværdierne på den anden side af lighedstegnet • Man kan gætte og kontrollere ved at indsætte et tal i stedet for x

12. Når en ligning omformes • Man skal lægge/trække samme tal til på begge sider af lighedstegnet. • Man skal gange/dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet • Alle ligninger kræver grundmængde, ensbetydendetegn og løsningsmængde • Der indgår aldrig x i løsningsmængden • Hvis man vil sikre sig at ligningen er rigtig, kan der foretages en kontrol (Det fundne x sættes ind på x’s plads)

13. Eksempel på en ligning G=R 6(x-2)=2x+16 Ligningen er skrevet op 6x-12=2x+16 Parantesen løses 4x=28 x’erne står på samme side x=7 løsningen er fundet L={7} løsningen er skrevet op

14. Uligheder • Man skal lægge/trække samme tal til på begge sider af ulighedstegnet • Man skal gange/dividere med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet • Man må gange og dividere med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, hvis man samtidig vender ulighedstegnet • Alle uligheder kræver grundmængde, ensbetydendetegn og løsningsmængde • Hvis der ingen løsning er, skrives løsningen som L=Ø

15. Eksempel på ulighed Uligheden: 2x - 8 < -3x + 2 G= R 2x - 8 < -3x + 2 2x+3x < 2 + 8 5x < 10 x < 2 L = ]- ;2[

16. Dobbeltulighed • Samme regler gælder ved en dobbeltulighed • Som en hjælp kan man opstille en linje, hvor talstørrelserne sættes ind • Det der er imellem talstørrelserne indgår i løsningen

17. Eksempel på dobbeltulighed Dobbeltuligheden: 4x - 6 < 2x + 2 < 6x + 14  G = R*R 4x - 6 < 2x + 2 < 6x + 14 4x - 6 < 2x + 2 ^ 2x + 2 < 6x + 14 2x < 8 ^ -4x < 12 x < 4 ^ x > 3 L = ]3;4]

18. Tangentbestemmelse • Funktionen f har forskriften: f(x) = 2x2 – 5x , som har en tangent i punktet (2;f(2)). • Man skal differentier funktionen, som kommer til at hedde: f’(x)=4x-5 • Tangentformlen til at finde en tangents hældning er: • Nu sættes 2 ind på x-plads i den differentieret funktion og den oprindelige funktion • f’(2)=4(2)-5=3 • f(2)=2*(2)^2-5(2)=-2

19. Tangentbestemmelse fortsat • Nu benyttes tangentformlen f(x)=3(x-2)+(-2) f(x)=3x-6-2 f(x)=3x-8 Tangentshældning kommer derfor til at hedde f(x)=3x-8

20. Eksempel i Nspire