Numeri Interi Negativi (con N bit)

1. Numeri Interi Negativi (con N bit) • Modulo e segno • Il primo bit indica il segno (0 positivo, 1 negativo), cui segue il numero positivo rappresentato coi restanti N-1 bit • Complemento a due • Un numero negativo -n è rappresentato attraverso la rappresentazione del suo complemento a 2, cioè il numero intero positivo 2N - n. • Anche in questo caso il primo bit indica il segno (0 positivo, 1 negativo); n è il valore assoluto del numero da convertire.

2. Calcolo del complemento a 2 Il complemento a 2 di un numero in una rappresentazione ad N bit si definisce come: C(n) = 2N - n Es. N=8 bit; 2N = 256 n = 35 C(35) = 256 - 35 = 221 Ma … C(n) = 2N - n = (2N - 1) - n + 1 In binario … n = 00100011 (2N - 1) - n = 11011100 cioè lo stesso numero con le cifre invertite

3. E quindi……….. C(n) = 2N - n = (2N - 1) - n + 1 Per calcolare il complemento a 2 di un numero 1. si rappresenta il numero in binario 2. Si invertono tutte le cifre (1->0 e v.versa) 3. Si somma 1. N.B. Il complemento del complemento di un numero è il numero stesso C (32) = 256 - 32 = 224; (uso 8 bit) C (C (32)) = 256 - (256 -32) = 32

4. 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 + 1 = 1 1 0 1 1 1 0 1 Numeri Interi Negativi • Ad esempio avendo a disposizione un byte, il numero 35 è in binario: • Il numero –35 in modulo e segno: • Il numero –35 in complemento a due:

5. Rappresentazione dello 0 • modulo e segno • rappresentazione ambigua • +0 = 00000000 • - 0 = 10000000 • complemento a due • rappresentazione univoca infatti il complemento a due di 00000000 è ancora 0 In una rappresentazione a N bit con complemento a 2 posso rappresentare i numeri da - (2N-1) a + 2N-1-1

6. 1 1 1 0 1 1 0 + 0 1 0 1 0 1 = 1 1 1 0 - 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 = 1 0 0 1 Somma e Sottrazione 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10  riporto prestito  In effetti, la sottrazione equivale alla somma del minuendo col complemento del sottraendo. All’interno del calcolatore somme e sottrazioni sono eseguite utilizzando la stessa operazione (circuito).

7. Rappresentazione di Numeri Interi • Nel caso di informazione numerica può succedere di ottenere valori non rappresentabili: • Overflow indica un errore nella rappresentazione del risultato in quanto il numero di cifre disponibili è minore di quelle necessarie per rappresentare il numero (es. somma) • Underflow segnala solo un’approssimazione del risultato, si ha ad es. nella divisione quando il dividendo è minore del divisore. Il risultato in questo caso è zero.

8. Esempio 1 (overflow) • Con 8 bit posso rappresentare: • interi positivi da 0 a 255 • interi con segno da -128 a +127 • Supponiamo di essere nel primo caso • e di avere 11111111 = (255)10 • 255 + 1 = ? • 1111111. • 11111111+ • 00000001 • -------- • 00000000 • Ma ho solo 8 bit => il risultato dell’operazione è 0! 1 1

9. Esempio 2 (overflow) • Con 8 bit posso rappresentare: • interi positivi da 0 a 255 • interi con segno da -128 a +127 • Supponiamo di essere nel secondo caso • e di avere 01111111 = (127)10 • 127 + 1 = ???? • 1111111. • 01111111+ • 00000001 • --------- • 10000000 • Ma 10000000 è negativo! (-128)

10. Esempio (underflow) Supponiamo di lavorare con interi senza segno Eseguiamo 12 * 15 15 Se eseguiamo prima la moltiplicazione 12 * 15 = 180 180/15 = 12 ok! Ma se eseguiamo prima la divisione 12/15 = 0 (non posso rappresentare numeri < 1) 0 * 15 = 0 ………

11. Moltiplicazione • Si usa la tecnica detta somma e scorrimento • si riporta il moltiplicando in corrispondenza delle colonne dei bit a 1 del moltiplicatore e si effettua la somma • Conviene effettuare la somma parziale dopo ogni contributo NB Uno scorrimento a sinistra di un posto di un numero in una notazione posizionale equivale a moltiplicare il numero stesso per la base; uno scorrimento a destra ad una divisione Es. 1060 = 106 * 10 106 = 1060/10 11010 = 1101 * 10 1101 = 11010/10

12. 1 0 1 1 x 1 1 0 1 1 0 1 1 + 0 0 0 0 0 1 0 1 1 + 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 + 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 Moltiplicazione

13. Rappresentazione di grandezze continue • L’informazione può essere rappresentata in due forme: • Analogica • Digitale • Nella forma analogica una grandezza è rappresentata in modo continuo. • Nella forma digitale una grandezza è rappresentata in modo discreto. • La rappresentazione digitale usata all’interno di un calcolatore: • è una approssimazione della realtà (continua). • l’errore di approssimazione dipende dalla precisione (numero di bit) della rappresentazione digitale.

14. Esercizi • Verificare che (10000101)2 = (133)10 • Data una rappresentazione intera a 8 bit senza segno, rappresentare e calcolare in binario le seguenti operazioni (decimali) : • 12 + 78 • 240 + 17 (che risultato “apparente” ottengo con 8 bit ???) • Data una rappresentazione a 8 bit con complemento a 2 • determinare il minimo numero rappresentabile • determinare il massimo numero rappresentabile • rappresentare e calcolare: • 125 - 33 • 125 + (-33) • 37 - 125