– Progetto Docente – Applica le competenze acquisite

1. – Progetto Docente –Applica le competenze acquisite • Realizzazione di un lavoro didattico di formazione-informazione relativo alla parte finale del corso Lezione di Geometria.L’opera di Gauss e le geometrie non-euclidee. (2^ parte) Prof. Massimo Ottone Novembre 2002

2. Curvature e geodetiche • Abbiamo avuto modo di dire come il contributo di Gauss consistette nel fornire un insieme di formule utilizzabili su qualsiasi tipo di superficie: piana, sferica, ellissoidale o irregolare a piacere; e nel definire una grandezza, chiamatacurvatura, assegnata a ciascun punto della superficie. • Nel caso di quel grande frutteto che ricopre la Terra quasi per intero (di cui si è parlato nel paragrafo precedente), il rilievo geodetico metterebbe in evidenza una curvatura positiva. Maggiore è tale curvatura, tanto più rapidamente gli alberi si avvicinano tra loro. Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

3. Curvatura negativa e curvatura nulla • La formula di Gauss si applica anche nel caso di curvatura ne-gativa, in cui gli intervalli fra gli alberi aumenterebbero con la distanza dalla linea di base. • Ancora una volta, quanto più negativa fosse la curvatura, tanto più rapidamente aumente-rebbe la distanza fra un albero e l’altro. Per tornare al nostro esempio, pensiamo ad un piane-ta a forma di clessidra e suppo-niamo di piantare un frutteto prendendo come linea di base il suo equatore. • Solo nel caso di curvatura nulla, come in un piano euclideo o su un cilindro, gli intervalli fra gli alberi resterebbero identici: si noti come anche una superficie cilindrica ha curvatura nulla.

4. Linee rette e geodetiche • La “distanza in linea d’aria” di un rilievo geodetico segue sempre una linea retta, ma non è una retta euclidea, si chiama geodetica e ha la proprietà di rappresentare il cammino più breve tra due punti. • Per esempio: per chi si muove sulla superficie terrestre (supposta sferica) senza avere la possibilità di staccarsi da questa né di scendere sotto di essa, il percorso più breve tra due punti è un arco di circonferenza. • Per tale motivo la distanza tra Milano e Wellington (Nuova Zelanda) viene indicata in circa 18.600 km. In realtà il segmento di retta che unisce Milano e Wellington misura circa 12.700 km. • Quest’ultima misura non ha alcun valore pratico, perché tale segmento di retta passa vicino al centro della Terra. • Perciò le geodetiche sulla Terra sono archi di circonferenza.

5. Come misurare la curvatura? • Rimanendo su una superficie, non è affatto facile capire se essa sia o non sia euclidea. • Le prove a sfavore della Terra piatta sono tutte dovute ad osservazioni astronomiche o all’effettuazione di percorsi sufficientemente lunghi come la circumnavigazione. • Gauss ha elaborato un sistema per cui, senza uscire dalla superficie è possibile misurare il tipo di curvatura: se la somma degli angoli interni di un triangolo (a+b+g)tracciato sulla superficie è >180° la curvatura relativa sarà positiva, se è <180° sarà negativa, se è =180° sarànulla.

6. 90° La somma degli angoli interni di questo triango-lo non è di 180°, ma, come è evidente, 270°. • Disegnato su di una sfera, un triangolo equilatero può avere retti tutti e tre i suoi angoli interni. 90° 90° • Abbiamo così fatto l’importante scoperta, tra l’altro, di un modo per determinare le dimensioni di una sfera usando solo misurazioni superficiali • Un cerchio tracciato su una superficie non piana è sempre definibile come il luogo di tutti i punti che si trovano ad una distanza data (il raggio) da un punto fisso (il centro). • La distanza sarà misurata ovviamente lungo una geodetica.

7. Supponendo che la Terra sia una sfera con una circonferenza di 40.000 chilometri, essa avrebbe un cerchio avente centro al polo nord e raggio 10.000 chilometri. • Si noti come il rapporto tra circonferenza e diametro è molto meno di =3,14…, e, in questo caso, vale 2.

8. Ogni cerchio su una sfera ha in effetti una circonferenza minore rispetto a un cerchio dello stesso raggio sul piano. L’entità della differenza determina esattamente la curvatura della sfera: quanto maggiore è la curvatura, tanto minore è la circonferenza. • Viceversa, se la circonferenza è maggiore di quella di un cerchio dello stesso raggio su un piano, la superficie ha curvatura negativa; quanto maggiore è il rapporto fra la circonferenza e il raggio, tanto più negativa è la curvatura della superficie

9. Conclusione su Gauss • Nell’articolo che Gauss pubblicò nel 1827 sulle superficie curve, spiegò anche che una carta topografica, per essere perfetta, – cioè rispettare la scala, gli angoli e le distanze – deve avere la stessa curvatura della superficie che intende descrivere: è una diversa (e più profonda) dimostrazione del teorema di Eulero sull’impossibilità di disegnare una carta perfetta della Terra. • Stanno ormai nascendo le geometrie non–euclidee, ma pochi sviluppi della matematica si sono imbattuti in una resistenza così accanita e addirittura indignata come quella che accolse la geometria non–euclidea. • Oltre duemila anni di “onorato servizio” come prototipo di pensiero chiaro e di ragionamento logico – nonché la consacrazione datale da Kant come conoscenza sintetica a priori – facevano della geometria euclidea un fondamento irrinunciabile.