DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Zespół Szkół z Oddziałami Integracyjnymi i Specjalnymi nr 2 w Poznaniu • ID grupy: 98_14_mf_G1 • Opiekun: Jolanta Kurzawa - Zeidler • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Paradoksy Semestr/rok szkolny: 5 semestr - 2011/2012

3. WYJAŚNIENIE POJĘĆ PARADOKS,ANTYMONIA, SOFIZMAT

4. Antynomia To sprzeczność logiczna. Paradoks W uproszczeniu, jest to coś (np. stwierdzenie), co ma pozory fałszu, choć (po stosownej analizie) okazuje się prawda (w odpowiednio zmodyfikowanym języku). Sofizmat To rozumowanie, które ma pozory poprawności

5. Paradoks– twierdzenie logiczne prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. Sprzeczność ta może być wynikiem błędów w sformułowaniu twierdzenia, przyjęcia błędnych założeń a może też być sprzecznością pozorną, sprzecznością z tzw. zdrowym rozsądkiem, np. paradoks hydrostatyczny, czy paradoks bliźniąt.

6. Błędne rozumowania -sofizmaty- były od czasów starożytnych i są często do dziś stosowane w nauczaniu matematyki (z greckiego sophisma - wybieg, wykręt). Filozofowie w starożytnej Grecji wyznający nurt filozoficzny zwany sofizmem twierdzili, że nie ma prawd bezwzględnych, a wobec tego można udowodnić każde twierdzenie, opierając się na wieloznaczności pojęć, nieścisłości definicji i nie zawsze poprawnym stosowaniu reguł logiki.

7. Sofizmatczęsto bywa mylony z paradoksem, choć terminy te są antonimami (czyli wyrazami o znaczeniu przeciwstawnym). Różnica polega na tym, że paradoks prowadzi do prawdziwej tezy, choć zaskakującej i sprzecznej z intuicją na tyle, że jesteśmy skłonni podejrzewać, że rozumowanie musi zawierać błąd. Szczególnym rodzajem paradoksu jest antynomia. Nazwa ta pochodzi od greckiego słowaantinomos czyli przeciw prawu. Jest to rozumowanie, które prowadzi jednocześnie do otrzymania dwóch przeciwstawnych tez (prawdziwość zdania pociąga za sobą prawdziwość jego zaprzeczenia i na odwrót).

8. PRZYKŁADOWE ANTYMONIE

9. Antynomia kłamcy Gdy ktoś mówi "Ja kłamię.", to kłamie, czy mówi prawdę?Jeśli założymy, że kłamie, to mówi prawdę, jeśli założymy, że mówi prawdę, to kłamie. Antynomia cyrulika sewilskiego Cyrulik goli wszystkich tych i tylko tych, co nie golą się sami. Czy sam siebie goli?

10. Antynomia obywatelstwa czy nie??? Obywatel Polski to Polak, a obywatel Niemiec to Niemiec. Jak nazywa się obywatel Wybrzeża Kości Słoniowej? A tak na poważnie: błąd jest w założeniach. Polak to nie obywatel Polski, tylko osoba narodowości polskiej. Nie każdy obywatel Polski nazywa się Polakiem. Np. Rosjanin posiadający obywatelstwo polskie, to nie Polak, ale Rosjanin, posiadający obywatelstwo polskie" Trzeba umieć odróżnić naród od państwa. Obywatel Wybrzeża Kości Słoniowej - tak właśnie się nazywa obywatel Wybrzeża Kości Słoniowej. Kraj ten jest zamieszkany przez ok. 60 grup etnicznych, stąd też niemożliwe jest określenie ich przynależności narodowej w powiązaniu z nazwą kraju (tak jak to jest np. w przypadku Polski, Niemiec, itp.).

11. PRZYKŁADOWE PARADOKSY MATEMATYCZNE • paradoks czarnego kruka • paradoks głosowania • paradoks Hilberta (teoria mnogości), znany też jako paradoks Grand Hotelu • paradoks Monty Halla • paradoks księgowego (teoria mnogości) • paradoks zbioru wszystkich zbiorów (teoria mnogości, Bertrand RusseLl) • paradoks koni – wszystkie konie są tej samej maści • paradoks Richarda • paradoks dnia urodzin – jakie jest prawdopodobieństwo, że dwóch piłkarzy na boisku ma urodziny tego samego dnia? • paradoks Bertranda – uznajemy za naturalny taki rozkład prawdopodobieństwa, w którym każda wartość zmiennej losowej jest równo prawdopodobna. Jednak tak otrzymany "naturalny" rozkład zależy od wybranego układu współrzędnych (np. kartezjański lub biegunowy) • paradoks Banacha-Tarskiego (rozkład kuli) • paradoks Newcomba (teoria gier) • paradoks losowania – najbardziej prawdopodobne jest wylosowanie kuli czarnej i jednocześnie nie-czarnej. • paradoks Parrondo (teoria gier)

12. Paradoks czy nie? Skoro x = 0,99999999.... czyli 10x = 9,99999999.. zatem 10x - x = 9x czyli 9x = 9 stąd x = 1 czyli 1 = 0,9999999.... ? Dzieląc 1 przez 9 otrzymujemy 0,1111111111... mnożąc 0,1111111... przez 9 otrzymujemy już tylko 0,9999999... więc 1 = 0,9999999... ?

13. Błędnie interpretujemy liczbę 0,999999.... Jest różnica między 1/9 i 0,111111... To pierwsze to wynik, którego nie da zapisać się w ułamku dziesiętnym. Sama liczba 0,111111... to tylko zbiór jedynek, a 1/9 to zbiór jedynek + "Coś" (jakby jedna-nieskończona) Tak więc nie jest to paradoks. 1/9 = 0,(1) + 0,(0)1 Ten ostatni składnik praktycznie nie istnieje, lecz dodany do reszty uzupełnia ją, zmieniając ją w większą, naturalną liczbę.Zauważmy, że:  10 · 0,9999999 to 9,999999 ale 10 · 0,(9) to nie 9,999999

14. Paradoks Monty Halla

15. Paradoks Monty Halla Paradoks Monty'ego Halla to jeden z paradoksów opartych na rachunku prawdopodobieństwa. Nazwa paradoksu pochodzi od autora teleturnieju Let's make a deal

16. Paradoks Monty Halla Teleturniej polegał na tym, że uczestnik miał do wyboru jedną z trzech dostępnych bramek. W jednej z nich znajdowała się nagroda. Jeżeli wybrał dobrą bramkę, wygrywał jej zawartość. Gracz wybierał jedną. Prowadzący wtedy wprowadzał emocje do gry, odsłaniając co kryje jedna z bramek. Musiał on odsłonić pustą. Dawał wtedy graczowi możliwość zmiany swojej początkowej decyzji, na drugą zdostępnych bramek.

17. Problematyka Paradoksu Monty Halla Intuicyjnie nie ma znaczenia, czy zawodnik pozostanie przy swoim wyborze, czy nie. Okazuje się jednak, że jest inaczej. Paradoks pojawia się, kiedy próbujemy udowodnić czemu opłaca się zmienić swoją decyzje. Przecież niby mamy wtedy do wyboru tak naprawdę 2 bramki, czyli prawdopodobieństwo wygranej wynosi 50%. Jednak nie do końca… Przy wyborze strategii pozostawania przy swoim pierwszym wyborze prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Natomiast przy wyborze "strategii zmiany" wynosi 2/3.

18. Paradoks Monty Halla Paradoks wynika z niedocenienia informacji jaką "między wierszami" przekazuje prowadzący. Informacją tą jest wskazanie (zawsze!) pustej bramki.

19. Przykładowe gry Załóżmy, że zawodnik wskazuje pierwotnie bramkę, za którą jest nagroda (zdarza się to z prawdopodobieństwem 1/3). Prowadzący program odsłoni wtedy jedną z pozostałych bramek i wówczas zmiana wyboru z pewnością doprowadzi do przegranej. Jeżeli jednak zawodnik początkowo wskazuje bramkę pustą (a dzieje się tak z prawdopodobieństwem 2/3), wówczas prowadzący program musi odsłonić drugą z dwóch pustych bramek. Zmiana wyboru przez zawodnika w tym przypadku doprowadzi do pewnej wygranej.

20. Sto bramek Często najlepszym sposobem zrozumienia rozwiązania paradoksu jest rozszerzenie zadania na większą liczbę (np. 100) bramek. W tej sytuacji po pierwotnym wyborze gracza (powiedzmy bramki numer 83) prowadzący odsłania 98 pustych bramek zostawiając bramkę gracza i jeszcze jedną (powiedzmy: numer 2). Oczywiste jest, że w bramce 83 nagroda znajduje się z prawdopodobieństwem 1/100. Zamiana na bramkę 2 gwarantuje wygraną w 99 przypadkach na 100. Pozostanie przy pierwotnym wyborze jest wiarą w słuszność swoich przeczuć bez posiadania racjonalnych dowodów. Przy tym wyjaśnieniu powstaje pytanie: Dlaczego prowadzący musi odsłonić 98 bramek, a nie jedną jak w przypadku z trzema bramkami? W przypadku trzech bramek wybór gracza jest zerojedynkowy: albo pozostaję przy wyborze, albo zmieniam. Aby sytuacja była analogiczna gracz przy stu bramkach musi mieć także taki prosty wybór (bramka 83 czy 2). Odsłonięcie jednej bramki spowodowałoby, że gracz miałby 99 wyjść z sytuacji, co jest zadaniem jakościowo różnym.

21. Przykładowe paradoksy

22. Paradoks z odcinkami Odcinek AP=½ odcinka AB, ale liczba punktów znajdujących się na odcinku AP jest taka sama jak liczba punktów na odcinku AB (wyrażając to ściśle językiem matematycznym powiedzielibyśmy, że zbiór punktów odcinka AP ma taką samą moc jak zbiór punktów odcinka AB). Twierdzenie to wydaje się nam co najmniej dziwne, jest jednak prawdziwe. Mamy więc do czynienia z paradoksem.Z rysunku poniższego widać, że każdemu punktowi L odcinka AB możemy przyporządkować jeden i tylko jeden punkt L' na odcinku CD=AP i na odwrót.

23. Paradoks z długością okręgu Jeżeli krążek o promieniu r = 10 cm opaszemy nicią i zmierzymy jej długość, stwierdzimy, że wynosi ona około 62,8 cm (2πr = 6,28 cm). Długość równika ziemskiego wynosi około 40 000 km = 4 000 000 000 cm. Jeżeli teraz opaszemy nasz krążek nicią o 10 cm dłuższą, o długości 72,8 cm, to między krążkiem a nicią powstanie luz. To samo nastąpi, jeżeli równik ziemski opaszemy taśmą  długości 4 000 000 010 cm. Powstanie również luz. Okazuje się, że w obu przypadkach szerokość luzu będzie taka sama. I znowu paradoks. Rozwiązanie: Obwód krążka = 2πr; obwód powiększony o 10 cm = 2πr + 10 cm. Luz równa się różnicy: Takie same obliczenia dla równika Ziemi (promień R) dadzą: A więc luz będzie w obu przypadkach równy i tak duży, że będzie przez niego mogła przejść pszczoła.

24. Paradoks z liczbami naturalnymi i nieparzystymi Liczb naturalnych jest tyle samo co liczb parzystych nieujemnych (wyrażając to znowu ściśle językiem matematycznym powiedzielibyśmy, że moc zbioru liczb naturalnych jest równa mocy zbioru liczb nieujemnych parzystych). Znowu paradoks. Wydaje się przecież, że tych pierwszych liczb jest więcej niż drugich.Poniższy rysunek pokazuje bowiem, że każdej liczbie naturalnej można przyporządkować dokładnie jedną liczbę parzystą nieujemną i na odwrót, każdej liczbie parzystej nieujemnej można przyporządkować dokładnie jedną liczbę naturalną. Inaczej mówiąc, można liczby z tych zbiorów połączyć w pary, muszą więc być one równoliczne.

25. Paradoks zaginionej złotówki Do baru przyszło trzech chłopaków i zamówili 2 pizze. Gdy kelnerka je przyniosła, dała im dodatkowo rachunek na kwotę 30,00 zł. Zrzucili się więc po 10 zł i zapłacili jej tyle, ile wynosił rachunek. W międzyczasie kelnerka zorientowała się, że zaszła pomyłka, i że rachunek powinien być na 25,00 zł, a nie na 30,00 zł. Oddała więc im po złotówce, a resztę tj. 2 zł zatrzymała sobie jako napiwek. Z pozoru wszystko się zgadza: 30,00 zł - 25,00 zł = 5,00 zł — tyle złotych kelnerka powinna oddać 5,00 zł - 3,00 zł = 2,00 zł — tyle złotych kelnerka sobie zostawiła. Co z tego wynika? Każdy chłopak najpierw dał po 10,00 zł, a potem dostał zwrot 1,00 zł czyli zapłacił 9,00 zł. Oznacza to, że wszyscy trzej razem zapłacili 27,00 zł. Skoro kelnerka zatrzymała sobie 2,00 zł napiwku, to łączny rachunek za pizze wyniósł: 27,00 zł + 2,00 zł = 29,00 zł, a przecież chłopcy dali jej 30,00 zł. Gdzie więc podziała się jedna złotówka?

26. Dlaczego rozumowanie jest błędne? Błąd jest nie w treści zadania, lecz w rozumowaniu które jest pod nim. Chodzi o to, że kelnerka zatrzymując sobie 2,00 zł napiwku, sprawiła, że chłopcy zamiast zapłacić 25,00 zł, zapłacili: 25,00 zł + 2,00 zł = 27,00 zł co daje po 9,00 zł na osobę. W rozumowaniu zaś zaprezentowanym pod zadaniem jest błąd polegający na tym, że 2,00 zł wzięte przez kelnerkę jest doliczone nie do 25,00 zł lecz do 27,00 zł. Poprawne rozumowanie powinno być takie: Chłopcy płacą 30,00 zł. Dostają zwrot 3,00 zł, więc te 2 pizze kosztują ich 27,00 zł, ale w tych 27,00 zł jest już 2,00 zł napiwku które wzięła sobie kelnerka. Błędem jest zatem doliczanie tych 2,00 zł do 27,00 zł. Powinno być: 27,00 zł - 2,00 zł = 25,00 zł Wystarczyło nie zauważyć, że zamiast minusa jest plus, by zagadka stała się bardzo trudna do rozwiązania.

27. Paradoks zaginionej złotówki inna wersja Do hotelu przyjechało trzech gości razem wzięli pokój za 45zł. Bagażowy odprowadził ich do apartamentu. W tym czasie portier przypomniał sobie, że ten pokój kosztuje 40zł. Poprosił więc pokojówkę, żeby oddała im te 5zł. Ale pokojówka przemyślała sprawę, że jak niby się podzielą pięcioma złotymi na trzech? Zatem oddała im 3zł, a dla siebie potrąciła napiwek w wysokości 2zł. Ok, gdzie jest haczyk? No właśnie. Na początku zapłacili za pokój 45zł, czyli każdy po 15zł, od pokojówki dostali 3zł, czyli po 1zł każdy, więc każdy zapłacił 15zł-1zł=14zł, a w sumie 14zł * 3 =42zł, pokojówka wzięła 2zł, więc 42zł+2zł = 44zł. Zgadza się? No tak tylko, że na początku zapłacili 45 zł, a nie 44zł ! Gdzie się podziała brakująca złotówka? - spróbujecie sami rozwiązać ten paradoks

28. Paradoks graficzny

29. Paradoks graficzny I W trójkącie (rysunek lewy) poprzestawiano jego części i otrzymano drugi taki sam trójkąt, ale z brakującym fragmentem (rysunek prawy). Jak to możliwe, że zniknęła jedna kratka?

30. Rozwiązanie: Trudność tego zadania polega na tym, że drugie słowo w treści tego zadania sugeruje odbiorcy, że ma do czynienia z trójkątem. Tak naprawdę rysunek pierwszy nie przedstawia trójkąta lecz czworokąt wklęsły. Punkt wklęsłości jest na boku AC w wierzchołku żółtej części. Chodzi o to, że bok AC nie jest odcinkiem lecz łamaną składającą się z dwóch odcinków. Aby się o tym przekonać można narysować pierwszy rysunek w dużym powiększeniu i połączyć linią prostą punkt A z punktem C.

31. Czerwona linia łączy punkty A i C dokładnie w linii prostej. Biała linia łączy punkty A i C tak, jak ukazuje to rysunek (przechodzi przez wierzchołek żółtej części). W powyższym powiększeniu widać wyraźnie, że linie te nie pokrywają się. Czerwona linia jest zawsze nad białą linią. Oznacza to, że figura ABC nie jest trójkątem.

32. Gdyby figura ABC była trójkątem, to jej pole (32,5 kratki) byłoby równe sumie pól części na które została podzielona (32 kratki). A tak nie jest. Różnica tych pól wynosi 0,5 co oznacza, że pole między czerwoną linią a białą jest dokładnie równe połowie pola brakującej kratki. Aby wykazać, że AC nie jest odcinkiem lecz łamaną, można było posłużyć się długościami wektorów (co pokażemy w praradoksie II).

33. Paradoks graficzny II W trójkącie (rysunek lewy) poprzestawiano jego części i otrzymano drugi taki sam trójkąt, ale z brakującym fragmentem (rysunek prawy). Jak to możliwe, że zniknęła jedna kratka?

34. Rozwiązanie analogiczne jak poprzednie: Trudność tego zadania polega na tym, że drugie słowo w treści tego zadania sugeruje odbiorcy, że ma do czynienia z trójkątem. Tak naprawdę rysunek pierwszy nie przedstawia trójkąta lecz pięciokąt wklęsły. Punkty wklęsłości są na „ramionach" tego nibytrójkąta. O tym, że nie jest to odcinek, lecz łamana można przekonać się np. rysując daną figurę w dość dużym powiększeniu.

35. Czerwona linia łączy 2 punkty tej figury dokładnie w linii prostej. Biała linia łączy te same punkty tak, jak ukazuje to pierwszy rysunek w zadaniu. W przedstawionym powiększeniu widać wyraźnie, że linie te nie pokrywają się. Czerwona linia jest zawsze nad białą linią. Oznacza to, że figura w zadaniu to nie trójkąt.

36. Aby wykazać, że „ramię" tego nibytrójkąta nie jest odcinkiem lecz łamaną, można posłużyć się długościami wektorów, a dokładniej sprawdzić, czy zachodzi równość:

37. Paradoksy percepcji Zauważenie, ze zmysły nas „oszukują” było, przypuszczalnie, jedna z ważnych inspiracji do rozwoju nauk empirycznych. Oto kilka paradoksów percepcji: Wzrok każe uznać, że szyny kolejowe gdzieś tam daleko się przetną. Czy miałeś ostatnie słowo w „rozmowie” z echem? Jakie są podstawy podziału zapachów na przyjemne oraz wstrętne.

38. Paradoksy percepcji Wewnętrzne koło są równe

39. Paradoksy percepcji

40. Paradoks dziadka Podróżujesz w czasie i zabijasz swojego dziadka, zanim spłodzeni zostali twoi rodzice. I co wtedy?

41. Paradoksy filozoficzne Kamień. Istota wszechmogąca może stworzyć kamień, którego nie może podnieść. Stos. Jedno ziarno nie tworzy stosu. Dwa ziarna nie tworzą stosu. Trzy ziarna nie tworzą stosu. . . . Milion ziaren tworzy stos.

42. SOFIZMAT

43. Czym jest sofizmat? Sofizmat to zwodniczy "dowód" matematyczny, pozornie poprawny, lecz faktycznie błędny, zawierający rozmyślnie wprowadzony błąd, na pierwszy rzut oka trudny do wykrycia.

44. Sofizmat, że 5=3 Niech x,y, z — liczby rzeczywiste oraz niech liczba x będzie sumą dwóch pozostałych liczb. Zatem: x = y + z Czyli: 3x = 3y + 3z 5x = 5y + 5z Równanie drugie przepiszmy, a w trzecim zamieńmy stronę prawą ze stroną lewą. Otrzymamy wówczas: 3x = 3y + 3z 5y + 5z = 5x Dodając stronami mamy: 3x + 5y + 5z = 3y + 3z + 5x Od obu stron odejmujemy 8x : -5x + 5y + 5z = 3y + 3z - 3x Wyłączam czynnik przed nawias: 5(-x + y + z) = 3(y + z - x) Czyli: 5(y + z - x) = 3(y + z - x) Ponieważ oba nawiasy mają identyczną zawartość, więc obie strony równania możemy podzielić przez to co jest w nawiasie. Zatem: 5 = 3

45. Dlaczego rozumowanie jest błędne? Otrzymaliśmy fałsz, ponieważ jedno z przekształceń nie było poprawne. Pod koniec tego zadania w nawiasie otrzymaliśmy (y + z - x), a przecież dwie pierwsze zmienne po dodaniu są równe x, bo w załozeniu zadania było powiedziane, że y + z = x. Zatem wartość nawiasu (y + z - x) jest dokładnie równa 0, a jak wiadomo, nie można obu stron równania dzielić przez 0. Końcówka zadania powinna być tak napisana: 5(y + z - x) = 3(y + z - x) 5 ∙ 0 = 3 ∙ 0 0 = 0 co jest oczywiście prawdą.

46. Sofizmat, że 1=2 Wiadomo, że: 2 = 2 oraz -2 = -2 Zatem 1-3 = 4-6 obustronnie dodajmy Stąd Zwijając do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: Porównując wyrażenia w nawiasach: Dodając do obu stron równania: Otrzymujemy: 1 = 2

47. Dlaczego rozumowanie jest błędne? Otrzymaliśmy fałsz, ponieważ jedno z przekształceń nie było poprawne. Niepoprawny jest krok przedostatni, bo z tego, że kwadraty dwóch liczb są równe, wcale nie wynika, że te liczby są równe; na przykład w obu wynikiem jest ¼, a przecież Zwijając do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: Czyli nie możemy zapisać, że :

48. Sofizmat, że 42=43

49. Dlaczego rozumowanie jest błędne? Otrzymaliśmy fałsz, ponieważ jedno z przekształceń nie było poprawne. Niepoprawna jest powyżej opisana metoda skracania. To, że można znaleźć kilka ułamków, dla których takie skracanie przypadkiem "działa", nie daje reguły do stosowania zawsze.

50. Sofizmat, że każda liczba jest równa dowolnej liczbie od niej mniejszej Jeśli liczba a jest większa od liczby b, to istnieje pewna liczba c, taka że a = b + c, np. dla liczb 5 i 3 mamy: 5 = 3+2. Mamy zatem: a = b+c Mnożymy obie strony równania przez a-b a∙ (a-b) = (b+c) ∙(a-b) a2 - ab = ab + ac - b2 - bc Składnik ac przenosimy na lewą stronę: a2-ab-ac = ab-b2-bc a∙(a-b-c) = b ∙(a-b-c) Dzielimy obie strony przez a-b-c i otrzymujemy: a = b.