DANE INFORMACYJNE

DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Bralinie • ID grupy: 98/78_MF_G1 • Opiekun: Iwona Modzelewska • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: „Liczba Pi” • Rok szkolny: 2011/2012

Nasze działania: • W wybranym przez nas temacie projektowym „ Liczba Pi” zajmowałyśmy się następującymi zagadnieniami: • Poznaniem i opracowaniem informacji na temat liczby π i jej historii oraz sposobów jej wyznaczania. • Przygotowaniem i przeprowadzeniem Szkolnego Dnia Liczby Π • Rozwiązywaniem różnego typu zadań zawierających zastosowanie liczby π.

LICZBA Π I JEJ HISTORIA Jest taka liczba, która 14 marca ma swoje święto. To Pi, określająca stosunek obwodu do średnicy największego odkrycia ludzkości – koła. Pi jest pierwszą literą greckiego słowa perimetron, czyli obwód. Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na kamiennej tablicy z okresu ok.1900 r. p.n.e. znaleziono opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez liczbę 3,125. Pi stworzyli ci, którzy wymyślili koło, czyli Sumerowie (lud, który w IV tysiącleciu p.n.e. stworzył wysoko rozwiniętą cywilizację). Jako pierwszy wartość Pi, z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, obliczył najprawdopodobniej Archimedes w III w. p.n.e.

LICZBA Π I JEJ HISTORIA Informacje o Pi znajdują się nawet w Piśmie Świętym - liczba ta pojawia się przy okazji budowy Świątyni Salomona. Wtedy uważano, że liczba ta wynosi 3. Pi badali również Egipcjanie, którzy podawali, że jest to 16/9 podniesione do kwadratu, co było już dosyć dokładnym przybliżeniem tej liczby. Pi zwana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który na początku XVII w. podał jej rozwinięcie z dokładnością 35 miejsc po przecinku. Zwykle zapamiętuje się Pi jako liczbę 3,14. Ale w tym miejscu Pi się nie kończy, a dopiero zaczyna. Po przecinku następuje nieskończenie wiele cyfr, których kolejność wydaje się całkiem przypadkowa. Liczba Pi jest bowiem niewymierna i nie da się jej przedstawić ani pod postacią skończonej liczby, ani jako wyniku dzielenia dwóch liczb.

LICZBA Π I JEJ HISTORIA Mimo, że obliczenie wszystkich liczb po przecinku nie jest możliwe, ludzie od wieków fascynowali się uzyskiwaniem coraz dokładniejszych przybliżeń liczby Pi. Znajomość dobrych przybliżeń może być ważna np. dla fizyków. Ale bicie kolejnych rekordów w obliczeniach liczby Pi to już jest sport, którym zajmują się głównie hobbyści. Rekordzistą w ręcznych obliczeniach liczby Pi był William Shanks, któremu pod koniec XIX wieku udało się uzyskać 707 miejsc po przecinku. Zajęło mu to 15 lat. Później okazało się zresztą, że 180 ostatnich cyfr obliczył błędnie.

LICZBA Π I JEJ HISTORIA Współcześnie obliczanie liczby Pi przez komputery nie trwa aż tyle czasu: w grudniu 2009r. FabriceBellard obliczył za pomocą komputera prawie 2,7 biliona cyfr tworzących liczbę Pi, a trwało to tylko 4 miesiące. Liczba π inspiruje też zwykłych ludzi. W Księdze Guinessa znajduje się kilka rekordów w zapamiętywaniu jej rozwinięcia. Rekordzistą pod tym względem jest Japończyk Akira Haraguchi, który w 2006 roku wyrecytował z pamięci 100 tysięcy cyfr składających się na liczbę pi. Zajęło mu to 16,5 godziny.

LICZBA Π I JEJ HISTORIA Interesującym eksperymentem jest też piosenka brytyjskiej piosenkarki Kate Bush, w której recytuje liczbę π do 137 miejsca po przecinku. Liczba π jest niewymierna, zatem jej rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe. Niedawno udowodniono, że w rozwinięciu liczby π można znaleźć wszystkie liczby naturalne. Znacznie wcześniej taką hipotezę postawiła nasza noblistka - Wisława Szymborska w wierszu "Liczba pi". Dlatego wszystkie liczby, które mają tę samą własność nazywa się niekiedy liczbami Szymborskiej.

Wisława Szymborska „Liczba Pi” • Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiek dwa sześć cztery trzy na świecie. Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne. Korowód cyfr składających się na liczbę Pi nie zatrzymuje się na brzegu kartki, potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze, przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo, przez całą nieba wzdętość i bezdenność.

O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety! Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni! A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście mój numer telefonu twój numer koszuli rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr, • w którym słowiczku mój a leć, a piej oraz uprasza się zachować spokój, a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to to nie, ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć, nie byle jakie osiem, nieostatnie siedem, przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność do trwania.

Liczba π z dokładnością do 200 miejsc po przecinku: π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196..

HISTORIA LICZBY Π

TABLICA PRZEDSTAWIAJĄCA HISTORIĘ LICZBY Π WYKONANA DO SALI MATEMATYCZNEJ

WYZNACZANIE LICZBY Π - METODA ARCHIMEDESA Archimedes, będący prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π w III w. p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków.

WYZNACZANIE LICZBY Π - METODA BUFFONA Pierwsza praca naukowa Buffona dotyczyła matematyki. Przedstawił w niej słynny "problem igły Buffona". Chodziło o obliczenie prawdopodobieństwa, że wydłużony przedmiot, rzucany w przypadkowy sposób na płaszczyznę poliniowaną w równych odstępach równoległymi prostymi, przetnie którąś z tych prostych. Okazało się, że w rozwiązaniu pojawia się liczba , której wartość można w przybliżeniu ocenić, zliczając procent przypadków, w których takie przecięcie się zdarza.

Eksperyment - Igła Buffona Eksperyment ten przebiega według następującego algorytmu: Planszę dzielimy liniami równoległymi o jednakowym odstępie t, W pojedynczym eksperymencie rzucamy igłę o długości l nie dłuższej niż t, Sprawdzamy czy igła przecięła którąś z równoległych linii, Przeprowadzamy n prób i zliczamy liczbę przecięć linii p. Na podstawie otrzymanych wyników obliczamy przybliżoną wartość liczby Pikorzystając ze wzoru:

Przykład: n - liczba rzutów p - liczba przecięć n= 709 p = 452 Π = ( 709 · 2 ) : 452 Π ≈ 3,13716814159

METODA MONTE CARLO Jednym z jej bardziej powszechnych zastosowań jest wyznaczenie przybliżonej wartości liczby π przy pomocy równomiernego losowania punktów na płaszczyźnie na której znajduje się prostokąt o znanej długości boków i koło o znanym promieniu. Stosunek liczby wylosowanych punktów, które znajdą się wewnątrz prostokąta do liczby punktów, które znajdą się wewnątrz koła będzie równy przybliżonemu stosunkowi pól obu figur.

METODA MONTE CARLO Pole koła zależne jest od długości promienia i liczby π, a pole prostokąta tylko od długości boków, z tej wyżej wymienionej proporcji łatwo więc wyznaczyć wartość liczby π. Dokładność rozwiązania będzie zależeć tylko od ilości wylosowanych punktów (im więcej tym większa dokładność wyniku). l

WYZNACZANIE LICZBY Π – MIERZENIE OBWODU I ŚREDNICY PRZEDMIOTÓW MAJĄCYCH W PRZEKROJU KOŁO Aby zmierzyć obwód i średnicę przedmiotów mających w przekroju koło, możemy zrobić to za pomocą linijki lub nitki. Mierzymy obwód i średnicę danego ciała za pomocą nitki, którą następnie przykładamy do linijki i odczytujemy wynik. Postanowiliśmy zmierzyć 10 różnych przedmiotów i otrzymane wyniki pomiarów umieścić w tabeli . Znalazły się tam talerzyki różnej wielkości, szklanka, filiżanka, pudełka, klej, płyta CD itp.

Tabela z wynikami pomiarów

DZIEŃ LICZBY PI • 19 marca 2012 r. w naszej szkole po raz trzeci odbył się dzień liczby π. W tym roku zorganizowała go nasza grupa projektowa. Przygotowałyśmy szereg niespodzianek dla uczniów gimnazjum. Odbyło się kilka konkursów, które cieszyły się dużym powodzeniem. • Konkurs dotyczący historii liczby Pi – W trakcie lekcji wychowawczej odbył się międzyklasowy konkurs dotyczący historii liczby pi. Każdą klasę reprezentował dwuosobowy zespół. Uczestnicy musieli znaleźć jak największą liczbę informacji porozwieszanych na kilkunastu kartkach w różnych miejscach szkole, zawierających najważniejsze informacje z historii liczby π, mając na to 10 minut. Następnie należało ułożyć te wydarzenia chronologicznie.

DZIEŃ LICZBY PI • Konkurs wzbudził ogromną rywalizację wśród jego uczestników ale też przysporzył dużo radości i zabawy. Dzięki niemu uczestnicy mieli okazję zapoznać się z historią odkrywania liczby Pi. • Recytowanie z pamięci cyfr po przecinku w liczbie Pi - Kolejnym ciekawym punktem programy były zmagania na wyrecytowanie z pamięci kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π. Rekordem w tym roku był wynik 172 cyfr po przecinku. Natomiast rekord szkoły z zeszłego roku to 208 cyfr. • Gazetka w gablocie szkolnej oraz audycja do szkolnego radiowęzła dotyczące liczby Pi, jej historii oraz ciekawostek z nią związanych.

DZIEŃ LICZBY PI • Układanie łamigłowki Tangram - na każdej przerwie można było zmierzyć się z stara chińską układanką TANGRAM i układać na czas obrazek przedstawiający liczbę π. Przygotowałyśmy 6 stanowisk z układanką wyciętą z papieru. Bardzo wielu uczniów próbowało ułożyć liczbę Pi. Najlepszemu zajęło to niecałe 2 minuty.

ZADANIA Z LICZBĄ Π • Zadanie 1. • Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość stożka o promieniu podstawy równym 6 cm i tworzącej 10cm. • Dane: Rozwiązanie:Pc= π r^2 + π rl • r= 6cm Pc= π *6^2 + π *6*10 • l=10 cm Pc=36π + 60 π • Pc=96π cm^2 • h ^2 + r^2 = l ^2 • h^2 + 6^2 = 10^2 • h^2 = 100 -36 • h^2 = 64/ Ѵ • h =8cm V = 96π cm^3 • Odpowiedź: Pole powierzchni stożka wynosi 96π cm^2 , • a objętość V = 96π cm^3

Zadanie 2 • Oblicz pole powierzchni i objętość kuli o promieniu r=3 cm. • Dane: Szukane: Wzory: • r=3 cm P=? P=4πr² • V=? V= πr³ • Rozwiązanie: • P=4πr²P=4·π·3² P=4π·9 P=36πcm² • V= πr³V= π·3³ V= ·π·27 V= 36πcm³ • Odpowiedź: Pole powierzchni kuli jest równe 36πcm³.

Zadanie 3 • Po zjedzeniu miąższu arbuza pozostała skórka z niejadalną częścią o grubości 3 cm. Arbuz miał średnicę 30 cm. Jaką jego część stanowił miąższ ? • Dane: Szukane: • R=15 cm Va= ? • r=12 cm Vm=? • Rozwiązanie: • Va=4/3·п·15³=4500п Vm=4/3·п·12³=2304 • Vm/Va·100%=2304/4500·100%=51,2% • Odpowiedź: Miąższ stanowił 51,2 % całego arbuza.

Zadanie 4 Z ilu pomarańczy o średnicy 6cm należy wycisnąć sok, aby napełnić sześć szklanek w kształcie walca, skoro wiadomo, że średnica dna szklanki (wewnątrz) ma 5cm, a długość wysokości szklanki (wewnątrz) wynosi 8cm? Zawartość soku stanowi 60% objętości pomarańczy. 5cm: średnica szklanki śr=5cm 8cm: wysokość szklanki H=8cm 2,5cm: promień szklanki R=2,5cm Vs: objętość 1 szklanki Vws: objętość wszystkich szklanek 6cm: średnica pomarańczy 3cm: promień pomarańczy Vp= objętość pomarańczy Vs=πr ∙ H Vs=π∙2,5 ∙ 8 Vs=6,25∙8 Vs=50cm Vws= 50∙6 Vws=300cm

Vp= 4/3πr • Vp=4/3∙π∙3 • Vp=4/3∙π∙27 • Vp=4∙π∙9 • Vp=36πcm • 36π - 100% • X - 60% • X = 21,6 • 300:21,6=13,888=14 • Odpowiedź: Do zapełnienia wszystkich 6 szklanek potrzeba 14 pomarańczy.

Zadanie 5 Zbiornik ma kształt półpierścienia o wymiarach podanych na rysunku. Ile litrów wody należy wlać do takiego pojemnika, aby poziom wody wynosił 50cm? W obliczeniu za π przyjmij 3. Vp: objętość pierścienia Vd: objętość dużego walca Vm: objętość małego walca Vp=Vd-Vm Vd= πr^2 ∙ H Vd=3∙30^2 ∙5=2700∙5=13500dm^3 Vm=πr^2∙H Vm=3∙10^2 ∙5 Vm=1500dm^3 Vp=13500-1500 V1/2p=12000:2 V1/2p=6000dm Odpowiedź: Aby poziom wody wynosił 50cm V1/2p=6000l należy wlać 6000l wody.

PODSUMOWANIE Praca nad tematem związanym z liczbą Pi okazała się świetnym pretekstem do powtórki przed egzaminem gimnazjalnym. Zorganizowanie i przeprowadzenie Szkolnego Święta Liczby Pi przysporzyło nam wiele satysfakcji i było bardzo fajnym doświadczeniem.

Bibliografia: • Podręcznik i zbiór zadań „Z Pitagorasem przez gimnazjum” kl. 2 i 3 • http://pl.wikipedia.org • http://kompetencje.gimnazja.eduportal.pl/Szkolenie.aspx?szkolenieId=776 • http://www.geogebra.org/cms/ • http://www.serwis-matematyczny.pl • http://wiki.wolnepodreczniki.pl • www.mmzielonagora.pl/artykul/czytanie-poezji-szymborskiej

DANE INFORMACYJNE