Fundamentos de Matemática: Alguns apontamentos

1. Fundamentos de Matemática:Alguns apontamentos A)Qual a importância de se buscar entender a estrutura lógica da Ciência Matemática: Para o professor de Matemática Para o estudante B) Nem sempre foi assim... Alguns cuidados com a história: Numa busca na “net” temos:....  A teoria dos conjuntos, que foi formulada no final do século XIX,  foi estabelecida pelo matemático russo Geord Ferdinand Ludwig Philip ( 1845-1918). Nascido em S. Petersburgo, Rússia,  concentrou seus estudos em Filosofia, Física e Matemática. Doutourou-se em Berlim, na Alemanha, em 1867, com uma tese sobre a Teoria dos Números. No princípio, a reação dos círculos matemáticos não foi muito favorável às concepções de Cantor, mas, no fim do século XIX, as idéias dele já eram bem aceitas. Essa é considerada a primeira fase da Teoria dos Conjuntos. A segunda fase iniciou-se nos primeiros anos do século XX, quando descobriu-se que a teoria  cantoriana conduzia a contradições – os  chamados paradoxos da Teoria  dos Conjuntos. Em meados do século XX, a Teoria dos Conjuntos exerceu efeitos profundos sobre o ensino da matemática.  Cantor estava entre os matemáticos mais notáveis e originais de sua época. No entanto, nunca consegui uma posição de destaque, passando a maior parte da sua carreira na Universidade de Halle.  Apesar de não se poder definir o conjunto, entenderemos que ele seja um ente primitivo, isto é, uma coleção ou uma lista bem definida de objetos, símbolos, etc.  Qualquer agrupamento pode ser chamado de conjunto.... .....e segue.......

2. Fundamentos de Matemática:Alguns apontamentos 1) Proposição • O homem para se comunicar utiliza sinais convencionais as palavras são os termos, expressão um conceito, de uma idéia. O juízo é um ato mental pelo qual compomos afirmando ou separamos negando. Ao fazermos um juízo, no julgamento os aproximamos ou ordenamos tornando-os sujeito e predicado, ligados pelo verbo. Em geral essa cópula é feita com o verbo ser: “é” ou “não é”. Em suma, a proposição é a exteriorização do juízo. A proposição declara se termo é ou não outro termo, conforme o julgamento. Ela exprime o verdadeiro ou falso. Para alguns estudiosos, sentença se distingue de proposição. A sentença seria a expressão numa certa linguagem de um dado juízo (ex. sentenças matemáticas), assim, podemos ter uma mesma proposição dada por várias sentenças. Diremos que as proposições declarativas que nos interessam podem sempre assumir valores lógicos V (verdadeira) ou F (falsas).Enunciamos, em geral, as proposições por letras minúsculas do alfabeto latino: p, q, r e s. 2) Proposições Simples ou Compostas • Simples: sujeito e predicado são únicos, como p.ex: p: João é Rico; q: Maria é pobre; r: O número 8 é par. • Compostas:quando reúnem com conectivos várias proposições simples, como p.ex. p: João é rico e Maria é pobre.

3. Fundamentos de Matemática:Alguns apontamentos q: Só os triângulos entre os polígonos possuem por soma dos ângulos internos 180º • Esta proposição pode ser entendida como composta pelas seguintes proposições simples: r: Os triângulos possuem por soma dos ângulos internos 180º. s: Os outros polígonos não possuem por soma dos ângulos internos 180º.

4. Fundamentos de Matemática:Alguns apontamentos • 3) Conectivos e a Tabela Verdade 3.1) Conjunção (e): a proposição conjuntiva é verdadeira se e somente se as proposições componentes são verdadeiras. 3.2) Disjunção (ou): a proposição disjuntiva é verdadeira se e somente se uma das proposições componentes é verdadeira. 3.3) Condicional (se..então): A condicional é falsa se e somente se o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso. 3.4) Bicondicional(se e somente se): Uma bicondicional é verdadeira se e somente se as proposições simples, que a constitui, possuírem valores lógicos iguais.

5. Fundamentos de Matemática:Alguns apontamentos

6. Fundamentos de Matemática:Alguns apontamentos • Exemplos de questões: 1) Dar os valores lógicos das seguintes proposições compostas: • p: 2+5=7 ou 2+5=6 b) q: Se 2+4=8, então 2+6=9 2) "Você foi trancado em uma sala de um castelo por um mago e quer achar uma saída. A sala tem duas portas: numa está a saída e a outra quando aberta libertará demônios que levarão a sua alma para o inferno. Em cada porta existe um guardião. Os guardiões não impedirão quando você tentar abrir uma das portas. As paredes são rígidas e a fuga pelo teto é impossível. A sua única pista é o que o mago disse antes de trancá-lo: "Um dos guardiões peca por só falar a mentira, o outro tem a virtude de só falar a verdade. Escolherás um guardião, farás uma única pergunta e encontrarás a saída na inteligência de seu questionamento." Sem saber qual é o guardião mentiroso e qual é o honesto proponha a pergunta que poderá libertá-lo".

7. Fundamentos de Matemática:Alguns apontamentos Uma proposta de resposta: A resposta pode se basear na propriedade lógica... V e F ou F e V= F. Portanto qualquer pergunta do tipo: "Qual seria a reposta do outro guardião a pergunta tal?" garante uma resposta falsa. Por exemplo, pergunte a qualquer guardião: 'Que porta o seu colega indicaria como a saida verdadeira?' A porta indicada é necessariamente a errada, basta sair pela outra porta e pronto....

8. Fundamentos de Matemática:Alguns apontamentos Outras possibilidades e considerações: • Explorar a relação com a língua portuguesa; • Explorar brincadeiras com blocos lógicos; • Aprimorar as formalizações me Matemática, principalmente para os professores.