Produto Vetorial e Produto misto

1. Produto Vetorial e Produto misto • Introdução a Matrizes e Determinantes • Produto Vetorial • Definição • Propriedades • Interpretação Geométrica • Produto Misto

2. Introdução a Matrizes e Determinantes • Matrizes • Matriz é um arranjo numérico formado por linhas e colunas. • Representação: Amxn = [aij]mxn • m: número de linhas • n: Número de colunas • aij: é o elemento da i-ésimalina e j-ésima coluna a12 a13 .......a14 a11 a21 a22 a23 .......a24 =[aij]mxn Amxn= . . . . . . . . am1 am2 am3 .......amn • A: Denota a matriz A ou Amxn para definir numero de linhas e colunas • Os elementos de uma matriz podem ser reais ou complexos. • As matrizes são utilizadas para resolução de diversos porblemas que envolvem sistemas lineares. • Matematicamente definir-se-á determinante e a regra de Sarrus para sua determinação e utilização em produto vetorial

3. Determinantes O estudo sistemático teve início no sec. XIX pelo tratado de A.L.Cauchy (1789-1857) em 1812. Posteriormente foram desenvolvidos nos trabalhos de Jacobi (1804-1851) • Definição É um número associado a uma Matriz Quadrada a12 a13 .......a14 a11 a21 a22 a23 .......a24 =[aij]mxm Amxm= . . . . . . . . am1 am2 am3 .......amm Escreve-se det A ou |A| ou det [aij] det [a] = a - determinante de uma matriz 1x1

4. Utiliza-se a regra de Sarrus - + + + - -

5. Exemplo: Calcule • Produto Vetorial Definição: Considerando-se a base ortonormal positiva, dados os vetores: ou É definido como Símbolo do produto vetorial Lê-se u vetor v.

6. Obs1: O resultado do produto vetorial é um vetor. Exemplo: Determine o produto vetorial uxv e vxu. Obs2: uxv=-vxu Exemplo: Determine: u . uxv e v . uxv . Obs3: O vetor resultante do produto vetorial entre dois vetores é perpendicular ao plano dos vetores originais.

7. Determinação do sentido do vetor pela regra da mão direita. Dados dois vetores quaisquer no espaço, com um ângulo q≠ 0, o sentido do vetor resultante pode ser definido pela regra da mão direita. Considera a mão direita. Coloca-se a mão com todos os dedos apontados no sentido do primeiro vetor e a palma voltada para o ângulo entre os vetores. Faz-se uma varredura desta mão até o segundo vetor e levanta-se o polegar. O sentido do vetor é o mesmo do polegar.

8. Exemplo: Determine e represente graficamente o produto vetorial entre u e v. z y x

9. Propriedades Anticomutativa

10. Interpretação Geométrica O produto vetorial é também chamado de produto externo e o seu módulo está relacionado com a área do paralelogramo formado pelos vetores que o originaram. Usando a identidade de Lagrange: como

11. Produto Misto Definição: Dados três vetores: Em relação a uma base ortonormal (i,j,k) O produto misto é:

12. Propriedades é linearmente dependente (ld) ou seja, os vetores são coplanares. 1. 2. Propriedade cíclica: 3. onde É um vetor dado. 4. e

13. Interpretação Geométrica Sejam os vetores u,v,w. O Produto misto [v,w,u]=u.(v x w) é definido por: Onde q é o ângulo entre u e (v x w). O cálculo do volume do paralelepípedo da figura à direita é dada pelo produto da área da base vezes a altura. A área da base é: A altura é: Portanto o volume do paralelepípedo Vp é dado por: corresponde ao produto misto entre os vetores. Da mesma forma, observando-se a figura verifica-se que o volume do tetraedro Vt formado por estes vetores é:

14. E´o Fim E´o Fim