COORDINATE SYSTEMS IN GEODESY

1. Doç.Dr. ErsoyARSLAN COORDINATE SYSTEMS IN GEODESY

2. BÖLÜM 5KÜRESEL ÜÇGEN VE ÇÖZÜMLERİ 5.1- GİRİŞ Gök küre üzerinde gözlemciyi temsil eden Z zenit noktası, (KGK) Kuzey Gök Kutbu ve bir (S) gök cisminin oluşturduğu küresel üçgene Astronomik ya da Nautik Üçgen denir (Şekil 5.1). Bu üçgenin kenarları, Kuzey Gök Kutbu ile zenit arasında Gök Meridyeni üzerinde (90-), Kuzey Gök Kutbu ile gök cismi arasında Deklinasyon (saat) Dairesi üzerinde (90-), zenit ile gök cismi arasında z = 90-h olmaktadır. Bu üçgenin açıları, Kuzey Gök Kutbunda saat açısı t (veya 24h-t), zenit noktasında azimut a (veya 360-a) ve gök cisminde oluşan ve paralaktik açı olarak adlandırılan q açısıdır.

3. Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi KGK 90- t a Z 90- Gök meridyeni a z q  S Düşey daire h   Gök Ekvatoru Gök Ufku N GGK Şekil : 5.1 - Astronomik üçgen

6. Yerküre üzerinde A , B ve Kuzey Kutup (veya Güney Kutup) noktalarının oluşturduğu üçgen bir küresel üçgendir. Bu üçgenin kenarları, küresel coğrafi enlemi A , küresel coğrafi boylamı A olan A noktası ile Kuzey Kutup arasında kalan kenarı meridyen dairesi üzerinde (90-A), enlemi B , boylamı B olan B noktası ile Kuzey Kutup arasında meridyen üzerinde (90-B), A ve B noktaları arasında büyük daire yayı üzerinde SAB dir. Bu üçgenin açıları, Kuzey Kutup noktasında A noktasından ve B noktasından geçen meridyenler arasındaki  = B - A boylam farkı; A noktasında, bu noktadan geçen meridyenle A ve B noktalarını birleştiren büyük daire yayı arasındaki  açısı (bu açı SAB kenarının azimutudur) ve B noktasında, bu noktadan geçen meridyenle SAB kenarı arasında kalan  açısıdır. Bu açı SBA kenarının azimutunun 360 den farkına eşittir.

7. KK 90-B  Greenwich B 90-A SAB A B A A B Ekvator GK Şekil : 5.2 – Yerküre üzerinde A , B ve KK noktalarının oluşturduğu küresel üçgen

9. Gök küre üzerinde Astronomik üçgen ve yerküre üzerinde iki noktanın ve kuzey kutup (veya güney kutup) noktasının oluşturduğu üçgen bir küresel üçgendir ve bu üçgenin çözümünde Küresel Trigonometri kuralları geçerlidir. Bu nedenle astronomik üçgen çözümlerine geçmeden önce küresel trigonometri ve küresel üçgen ile ilgili bazı tanım ve kavramların bilinmesi gerekmektedir. Bunlar kısaca aşağıda verilmektedir.

10. 5.2- KÜRESEL ÜÇGEN VE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR 5.2.1- Temel Kavramlar a) Bir küre yüzünün, bu kürenin merkezinden geçen bir düzlemle ara kesitine büyük daire denir b) Bir küre yüzünde iki noktayı birleştiren en kısa yol, bu noktalardan geçen ve yarım daireden küçük olan kesimi olarak bir büyük daire yayıdır (Şekil 5.3). O halde bu büyük daire yayının merkez açısı c, her zaman c  180° dir.

12. Küre yüzünde büyük ve küçük daireler

13. c) Küre üzerinde iki nokta, bir küre çapının küreyi deldiği iki nokta ise, bu noktaları birleştiren en kısa yol yarım dairedir ve sonsuz sayıdadır. Bu yarım dairelerden ikisinin oluşturduğu şekle “küre dilimi” ya da “ikigen” denir. Küre dilimlerini oluşturan düzlemlerin arasındaki açı a ise, kürenin tüm alanı 4r2 olduğuna göre, bir ikigenin alanı (Şekil 5.4) (5.1) eşitliği ile verilmiştir. Burada r = kürenin yarıçapı, = (Ro derece) dir

14. d) Kürenin bir büyük dairesine dik olan küre çapının küreyi deldiği noktalar, o büyük dairenin kutuplarıdır. ( Şekil: 5.5).

15. Küre yüzünde aynı büyük daire üstünde olmayan A, B, C gibi üç noktayı birbirleri ile en kısa yoldan birleştiren büyük daire yaylarının oluşturduğu kapalı şekle “EULER küresel üçgeni” denir.

17. Bu üç noktayı birleştiren ve merkez açısı 180° den küçük olan büyük daire yayları küresel üçgenin kenarlarıdır. Küresel üçgenin kenarlarını içine alan düzlemler arasındaki açılar, küresel üçgenin açılarıdır. Üçgenin A, B ve C noktalarında iç ve dış açı olmak üzere böyle iki açı vardır. Üçgenin kenarları yarım daire yayından (kenarlara karşılık merkez açıları 180° den) büyük olamayacağına göre, bir küresel üçgenin iç açıları da 180°den büyük olamaz. Bu durumda Euler üçgeni, kenarları yarım daire yayından küçük ve iç açıları 180° den küçük olan küresel üçgendir. Bundan böyle, küresel üçgen denince Euler üçgeni kastedilmiş olacaktır. (Şekil : 5.6).

19. Bir küresel üçgenin kenarları, her kenarın merkez açısı büyüklüğü ile, açı cinsinden ifade edilir. Bir kenar açı derecesi cinsinden verilmiş olup uzunluk biriminde ifade edilmek istenirse, ve (5.2) den (5.3) eşitliği ile bulunur. Üçgen kenarı uzunluk biriminden verilmişse, (5.3) den (5.4) ile açı derecesi cinsinden elde edilir. Açı, grad cinsinden ifade ediliyorsa, (5.5) olur. Burada (Ro grad) dır. (5.6)

20. f) Bir küresel üçgenin A, B ve C noktalarından geçen küre çaplarının uzantılarının küreyi deldiği noktalarla ikinci bir A', B', C' üçgeni meydana gelir. Bu üçgene A, B, C üçgeninin “taban üçgeni” denir ve bu iki üçgenin küre simetrili açı ve kenarları birbirlerine eşittir. Böylece alanları da birbirlerine eşit olacaktır (Şekil : 5.7).

21. Bir küresel üçgenin alanı: (Şekil : 5.7 den), ABC üçgeninin alanı F ve (5.2) ile (5.7) elde edilir. Küresel Fazlalık (Ekses) adını alır. Böylece (5.8) ve olur.

22. Bu açıklamalara göre bir EULER üçgeninde: • Üçgen açıları, , ,  180 ve 3x180 = 540 ile • ++ 540 olur. • O halde (8) den 0  < 540- 180 • 0  < 360 olacaktır. •  = 0 olursa, açıların toplamı ++ = 180 olur. Böylece • 180< ++ 540 olur. (5.10) •  = 360 için yarım küre alanıdır. O halde küresel üçgen alanı en çok yarım küre alanı, bu halde kenarların toplamı da en çok 360 olur. • Yani a, b, c  180 (e maddesine bakınız) • ve 0 < a+b+c  360 dir. (5.11)

23. Bir küresel üçgenin A, B ve C köşeleri ile M küre merkezinin oluşturduğu şekle “üç yüzlü” denir.

24. Bir üç yüzlünün iç yüzlerine M merkezinde dik olan küre yarıçaplarının küre yüzündeki uçları küresel üçgeni oluştururlar. Bu üçgene A,B,C üçgeninin “kutupsal” ya da “bütünler” üçgeni denir. • ABC küresel üçgeni ile bunun bütünleri olan (ABC) küresel üçgeni elemanları arasında şu bağıntılar vardır:

25. 5.2.2- Küresel Üçgen Teoremleri • Bir küresel üçgenin üçü kenar ve üçü de açı olmak üzere altı elemanı vardır. Küresel trigonometri bu elemanlar arasındaki bağıntıları inceler. Küresel trigonometride dört temel teorem vardır. Küresel üçgenlerin çözümü için gerekli eşitlikler bu dört temel teoremden yaralanılarak çıkarılırlar. Bu teoremler ispatsız olarak aşağıda kısaca verilecektir. Bunlara ilişkin ayrıntılı bilgiler Küresel Trigonometri kitaplarında mevcuttur.

26. 1- Sinüs Teoremi: • Küresel üçgenin kenarları büyük daire yaylarından oluşmaktadır ve değerleri bu yayı gören merkez açı ile ifade edilir. Buna göre kenarları sırası ile a, b, c ve açıları , ,  olan bir küresel üçgende bu elemanlar arasında bağıntısı vardır. Bu bağıntı küresel üçgende sinüs teoremi olarak adlandırılır. M sabit değeri küresel üçgenin modülü olarak adlandırılır.

27. 2- Kosinüs Teoremi: • a) Kenar Kosinüs Teoremi • b) Açı Kosinüs Teoremi

28. 3- Sinüs-Kosinüs Teoremi: • Kenarlarından başlanarak küresel üçgenin elemanları saat ibresi yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlik uygulanarak gibi üç eşitlik elde edilir. • Yine kenarlardan başlanarak bu defa saat ibresinin ters yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlik uygulanarak gibi üç eşitlik daha elde edilir.

29. Küresel üçgen elemanları bu defa açılardan başlanarak önce saat ibresi yönünde, sonra da saat ibresinin ters yönünde numaralanacak olursa yine yukarıdaki eşitlik uygulanarak gibi 6 eşitlik daha elde edilir.

30. 4- Dört Parça (ya da Kotanjant) Teoremi: • Bir küresel üçgenin elemanları kenardan başlanarak saat ibresi yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlikle 3 eşitlik ve saat ibresinin ters yönünde numaralanırsa 3 eşitlik daha olmak üzere gibi toplam 6 eşitlik elde edilir. • Bu dört temel teoremden yararlanılarak birçok bilim adamı tarafından küresel üçgenlerin çözümünü kolaylaştıran daha değişik eşitlikler türetilmiştir. Bu eşitlikler genellikle eşitliği türeten bilim adamının ismi ile adlandırılırlar. Örneğin Neper eşitlikleri, Delambre-Mollweide formülleri gibi. Bu eşitliklerle ilgili ayrıntılı bilgi küresel trigonometri kitaplarında bulunabilir.

31. 5.2.3- Küresel üçgenin özellikleri • Bir küresel üçgenin açı ve kenarlarının 180 den büyük olamayacağı gibi bazı özellikleri daha önce söylendi. Elemanlar arasında bunlara benzer daha bazı özellikler vardır ki, üçgen çözümlerinde büyük önem taşırlar. Bunlar sıra ile : a) Bir küresel üçgende iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyüktür. Yani, b + c > a, a + c > b, a + b > c b) Bir küresel üçgende üç kenarın toplamı 360 den küçüktür. Yani, a + b + c < 360 c) Bir küresel üçgenin iki açısının toplamı üçüncü açının 180 ile toplamından küçük, 180 den farkından büyüktür. Yani, 180-  <  +  < 180+ 

32. d) Bir küresel üçgende eşit kenar karşısında eşit açı, eşit açı karşısında eşit kenar bulunur. Yani, a = b ise  =   =  ise a = b e) Bir küresel üçgende büyük kenar karşısında büyük açı bulunur. Yani, a > b ise  >  f) Bir küresel üçgende iki kenarın toplamı 180 den büyük ya da küçükse, bu kenarlar karşısındaki kenarlar da aynı özelliği taşırlar. Yani, a + b  180 ise  +  180 a + b  180 ise  +  180 g) denirse, açıların  dan farkları -90 ile +90 arasındadır. Yani,  =  -  ,  =  -  ,  =  -  olmak üzere -90 <  < +90 , -90 <  < +90 , -90 <  < +90 dır.

33. 5.2.4- Küresel üçgen halleri • Bir küresel üçgenin a, b, c kenarları ve , ,  açıları olmak üzere altı elemanı vardır. Bu elemanlardan herhangi üçü biliniyorsa, diğer üç elemanı bunlara bağlı olarak bulunabilir. Verilen elemanlara göre altı durum vardır. Bunlar aşağıdaki gibi sıralanabilir. Verilen elemanlar: 1) Üç kenar a, b, c (K.K.K) (Kenar, Kenar, Kenar) 2) Üç açı , ,  (A.A.A) (Açı, Açı, Açı) Bu üçgenin kutupsalının üç kenarı biliniyor demektir. Yeni bir durum sayılmaz. 3) Iki kenar ve aralarındaki açı, örneğin a, , b (K.A.K) (Kenar; Açı, Kenar) 4) Bir kenar ve bu kenara komşu açılar, örneğin , c,  (A.K.A) (Açı, Kenar, Açı) Bu üçgenin kutupsalının üç kenarı biliniyor demektir. Yeni bir durum sayılmaz. 5) Iki kenar ve bu kenarlardan birisi karşısındaki açı, örneğin a, b,  veya , a, b (K.K.A)=(A.K.K) 6) Iki açı ve bu açılardan birisi karşısındaki kenar. Örneğin , , a veya b, , , (A.A.K)=(K.A.A)

34. Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi KGK KGK 90- 90- t t a a Z Z 90- 90- Gök meridyeni Gök meridyeni a a z z q q   S S Düşey daire Düşey daire h h     Gök Ekvatoru Gök Ekvatoru Gök Ufku Gök Ufku N N GGK GGK 5.3 - ASTRONOMİK ÜÇGEN ÇÖZÜMLERİ Gök cismi (güneş) meridyenin batısında iken oluşan astronomik üçgen Şekil 5.10 a’ da, ve güneş meridyenin doğusunda iken oluşan astronomik üçgen Şekil 5.10 b’ de görülmektedir. • Yıldız (Güneş) batıda Yıldız (Güneş) doğuda

35. Şekil : 5.10 - Yıldız meridyenin batısında ve doğusunda iken oluşan astronomik üçgenler • Güneşin meridyenin doğusunda ve batısında olduğu zamanlarda oluşan ve yukarıda gök küre üzerinde gösterilen astronomik üçgenler basit olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir (Şekil 5.11 a-b).

36. KGK KGK t t t 90- 90- 90- 90- q q S S a Düşey Daire Düşey Daire a z = 90-h z = 90-h Z Z a Saat Dairesi Saat Dairesi Meridyen Meridyen a) Yıldız (Güneş) batıda b) Yıldız (Güneş) doğuda Şekil : 5.11 - Yıldız meridyenin batısında ve doğusunda iken oluşan astronomik üçgenler

37. Elemanları yukarda tanımlanan ve Şekil 5.10 ve 5.11’de gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir. • Astronomik üçgen için de altı üçgen hali vardır. Astronomik üçgenin verilen veya ölçülen elemanları yukarıda ayrıntılı olarak açıklanan hallerden hangisine uyuyorsa verilen eşitlikler kullanılarak çözüm yapılır. Astronomik üçgenin verilen elemanlarına göre bu altı hal ve çözümleri özet olarak aşağıda gösterilmiştir.

38. 1.Hal : Verilenler: , t,  Arananlar: z, a • Çözüm: eşitliğinden z zenit uzaklığı, veya eşitliğinden a azimutu hesaplanır.

39. 2.Hal : Verilenler: z, t,  Arananlar: , a • Çözüm: eşitliğinden M hesaplanır, eşitliğinden (1-M) ve 1 = (1-M) + M) ile 1 bulunur. eşitliğinden (M - 2) ve 2 = M - (M - 2) ile 2 bulunur. eşitliğinden a azimutu hesaplanır.

40. 3.Hal : Verilenler: , , z Arananlar: a, t • Çözüm: eşitliğinden t saat açısı, eşitliğinden a azimutu hesaplanır.

41. 4.Hal : Verilenler: , z, a Arananlar: t • Çözüm: eşitliğinden t saat açısı hesaplanır.

42. 5.Hal : Verilenler: , z, a Arananlar: , t • Çözüm: eşitliğinden N, eşitliğinden M hesaplanır, eşitliğinden ( -M) ve  = ( -M) + M) ile  bulunur. eşitliğinden t saat açısı hesaplanır.

43. 6.Hal : Verilenler: a, ,  Arananlar: t, z • Çözüm: eşitliğinden M hesaplanır, eşitliğinden (z -M) ve z = (z -M) + M) ile z bulunur. eşitliğinden t saat açısı hesaplanır (güney yıldızları için).

44. GÜNEŞİN DOĞUŞ VE BATIŞI • Güneşin doğuşu ve batışında zenit uzaklığının 90, birinci düşey daireden geçişinde azimutunun 90 veya 270, yıldızların elongasyonda oldukları anda paralaktik açılarının 90 veya 270 olması nedeniyle oluşan astronomik üçgenler küresel dik üçgendir. Bu durumlarda oluşan astronomik üçgenlerin çözümü için gerekli eşitlikler Neper kuralı ile kolaylıkla çıkarılabilir. Bölüm (4.6- Görünebilirlik, Doğuş ve Batış) da, güneşin (yıldızın) doğuş-batıştaki azimutunu hesaplamak için veya ve saat açısı için ise eşitlikleri verilmiştir.

45. Güneşin deklinasyonundaki günlük değişim ihmal edilecek olursa güneşin doğuş ve batışında oluşan astronomik üçgenlerin meridyene göre simetrik oldukları varsayılabilir. Buna göre güneşin doğuş ve batışındaki azimutları ve saat açıları aşağıdaki gibi hesaplanır. • Doğuştaki azimut yukarıdaki eşitlikle bulunun değere eşittir. Yani aDoğuş = aD,Bdir. • Batıştaki azimut ise eşitlikle bulunan aD,B değerinin 360 dereceden farkına eşittir, yani aBatış = 360- aD,Bdir. • Doğuştaki saat açısı yukarıdaki eşitlikle bulunun tD,B değerinin 360 dereceden farkına eşittir, yani tDoğuş = 360- tD,Bdir. • Batıştaki saat açısı ise yukarıdaki eşitlikle bulunan tD,B değerine eşittir, yani tBatış = tD,Bdir.

46. Yeryüzü üzerindeki bir gözlem yerinde gündüz ve gece sürelerini hesaplamak için yukarıda verilen saat açısı eşitliği kullanılır. Hesaplan saat açısı tD,B açı birimindedir. Hesaplar derece biriminde yapılmış ise bu değer 15’e bölünerek zamana dönüştürülür ve iki katı alınırsa gözlem yeri için gündüz süresi bulunur. Bunun 24 saaten farkı alınarak gece süresi hesaplanır. Gündüz süresi = 2 tD,B /15 saat ve Gece süresi = 24 - Gündüz süresi dir.

47. Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi KGK 90- t a Z 90- Gök meridyeni Z=90 q  Düşey daire  S  Gök Ekvatoru Gök Ufku N GGK Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi KGK 90- t' a Z 90- Gök meridyeni Z=90 q  Düşey daire  S  Gök Ekvatoru Gök Ufku N GGK Şekil 5.12 - Güneşin doğuşu Şekil 5.13 - Güneşin batışı

48. Şekil 5.14 - Güneşin doğuşu ve batışı (Gök kürenin zenitten görünüşü) Saat dairesi = Deklinasyon Dairesi Gök Ufku Gök meridyeni KGK t t' 90- 90- 90- Düsey daire a a Z=90 Z=90 Z S Dogus S Batis Günesin günlük yörüngesi Gök Ekvatoru

49. UYGULAMA

50. exampleproblems1.Thelatitudeandlongitude of Sheffieldare 53°23´12´´ N and 1°28´07´´ W, respectively. Thelatitudeandlongitude of Sydney are 33°55´24´´ S and 151°17´03´´ E, respectively.What is thedifference in thelatitude of thetwocities in decimaldegrees?Difference in latitude = 53°23´12´´ - ( - 33°55´24´´) = 87°18´36´´Difference in latitude = 87° + (18/60)° + (36/3600)° = 87.3100°What is thedifference in thelongitude of thetwocities in decimaldegrees?Difference in longitude = 1°28´07´´ - ( - 151°17´03´´) = 152°45´10´´Difference in longitude = 152° + (45/60)° + (10/3600)° = 152.7528°What is thedifference in longitude in hours, minutesandseconds of time?Difference in longitude = 24 x 152.7528 / 360 = 10.18352hDifference in longitude = 10h (0.18352 x 60)m = 10h11.0112mDifference in longitude = 10h11m (0.0112 x 60)s = 10h11m00.67s