Základy výrokovej logiky – úvod – negácia výrokov

1. Základy výrokovej logiky – úvod– negácia výrokov Prezentácia je určená žiakom 1. ročníka štvorročného gymnázia. Jej časti je možné použiť aj v príme osemročného gymnázia a v triedach ZŠ s rozšíreným vyučovaním matematiky.

2. Výroky • V matematike je potrebné vyjadrovať sa presne, jednoznačne, logicky – tak aby to, čo povieme malo zmysel. Nasledujúcich niekoľko hodín by vám malo pomôcť naučiť sa takto vyjadrovať. • Za výrok ( tvrdenie ) považujeme každú oznamovaciu vetu, o ktorej má zmysel hovoriť, že je pravdivá alebo nepravdivá. O výroku, ktorý je pravdivý, hovoríme že platí. • O výroku, ktorý je nepravdivý, hovoríme že neplatí. Z dvoch pravdivostných hodnôt – pravda alebo nepravda – môže mať výrok iba jednu ! Žiadny výrok nemôže byť súčasne pravdivý aj nepravdivý. Existujú však výroky, ktorých pravdivostnú hodnotu nepoznáme. Taký výrok sa nazýva hypotéza. • Výroky budeme symbolicky označovať veľkými písmenami.

3. A: Číslo 12 je násobkom čísla 4. B: Aspoň jeden trojuholník má všetky strany rovnako dlhé. C: Čo je riešením rovnice x+3=16 ? D: Každý násobok čísla 5 je nepárny. E: Vyrieš rovnicu x+3=16 ! F: Rozdiel množín A – B je tá istá množina ako rozdiel B – A. G: Nulou sa deliť nedá. H: x+3=16 Koniec úlohy Riešenie : Výrokmi sú vety označené písmenamiA, B, D, F a G. Pravdivé sú výroky A, B a G, výroky D a F sú nepravdivé. 1. úloha :Ktoré z nasledujúcich viet sú výroky ? Sú pravdivé ?

4. Negácia výrokov • Každý výrok môžeme poprieť tak, že vytvoríme nový výrok začínajúci slovami ,, Nie je pravda, že ...” a za tým doplníme pôvodný výrok. Takto vytvorený výrok nazývame negácia ( daného ) výroku. Negáciu výroku V označujeme V'. 2. úloha : Povedz negácie výrokov z 1. úlohy a porovnaj prav- divostnú hodnotu každého výroku s pravdivostnou hodnotou jeho negácie ! Skús povedať negácie týchto výrokov bez použitia slov „ Nie je pravda, že ...”.

5. Riešenie 2. úlohy : • A‘: Číslo 12 nie je násobkom čísla 4. • B‘: Žiadny trojuholník nemá všetky strany rovnako dlhé. • D‘: Aspoň jeden násobok čísla 5 je párny. • F‘: Rozdiel množín A – B je iná množina ako rozdiel B – A. • G‘: Nulou sa dá deliť. • Výrok a jeho negácia majú vždy opačné pravdivostné hodnoty ! • Negácia pravdivého výroku je nepravdivá. Negácia nepravdivého výroku je pravdivá. • Akú pravdivostnú hodnotu má negácia hypotézy ?

6. Ak vo výroku hovoríme o počte ( osôb, vecí, prvkov množiny ), tak pred číslom môžeme použiť iba slová aspoň alebo najviac. 1. riešený príklad : Povedz negáciu výroku A: Dnes chýba aspoň 5 žiakov. Riešenie : Počet, o ktorom sa hovorí vo výroku, znázorníme na číselnej osi : počet  5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Negácia musí zahrnúť všetky zvyšné možnosti počtu : 0 počet  4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A': Dnes chýbajú najviac 4 žiaci.

7. 2. riešený príklad : Povedz negáciu výroku B: Jednotku z písomky dostali najviac 3 žiaci. Riešenie : Počet, o ktorom sa hovorí vo výroku, znázorníme na číselnej osi : počet  3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Negácia musí zahrnúť všetky zvyšné možnosti počtu : počet 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 B': Jednotku z písomky dostali aspoň 4 žiaci.

8. 3. riešený príklad : Povedz negáciu výroku C: Iba 2 žiaci z našej triedy nosia okuliare. Riešenie : Počet, o ktorom sa hovorí vo výroku, znázorníme na číselnej osi : počet =2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Negácia musí zahrnúť všetky zvyšné možnosti počtu : počet =2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 C': Okuliare nosí najviac 1 žiak alebo aspoň 3 žiaci.

9. 3. úloha :Napíš negácie výrokov o počte. Počet znázorni na číselnej osi. Zisti pravdivostnú hodnotu každéhovýroku. Predpokladaj, že výroky hovoria o triede, do ktorej chodíš. • A: V triede je aspoň 25 žiakov. • B: Dievčat je najviac 6. • C: Dnes chýba najviac 5 žiakov. • D: Aspoň 8 žiakov nosí okuliare. • E: Aspoň 15 žiakov sa učí nemčinu. • F: Dnes máme práve 5 vyučovacích hodín. • G: Autobusom dochádza najviac 10 žiakov. • H: Na obed si môžeme vybrať najviac z 2 alebo aspoň zo 4 jedál. • I: Aspoň 1 žiak fajčí. • J: Všetci pravidelne športujú. Koniec úlohy

10. Riešenie 3. úlohy : • A: V triede je najviac 24 žiakov. • B: Dievčat je aspoň 7. • C: Dnes chýba aspoň 6 žiakov. • D: Najviac 7 žiakov nosí okuliare. • E: Najviac 14 žiakov sa učí nemčinu. • F: Dnes máme najviac 4 alebo aspoň 6 vyučovacích hodín. • G: Autobusom dochádza aspoň 11 žiakov. • H: Na obed si môžeme vybrať práve z 3 jedál. • I: Nikto nefajčí. • J: Aspoň 1 žiak nešportuje.

11. Autor prezentácie : Beata Hegerová Gymnázium Nováky Koniec prezentácie