1. Joukko-oppi

1. 1. Joukko-oppi Merkinnät x kuuluu joukkoon A eli on joukon A alkio: x  A x ei kuulu joukkoon A eli ei ole joukon A alkio: x  A Kaksi joukkoa A ja B ovat samat eli identtiset, jos niissä täsmälleen samat alkiot: A = B Tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota

2. E.1. a) 3  N b) ½  Q, ½  N E.2. a) {x  Z | -2 < x < 3} = {-1, 0, 1, 2} b) {x  Z | 2 < x < 3} =  ”tyhjä joukko” 1.1.2 Osajoukko ja Venn-diagrammi Joukko A on joukon B osajoukko, jos jokainen joukon A alkio kuuluu myös joukkoon B A  B E.3. a) N  Z b) {1, 2 , 3}  {1, 2, 3, 4 ,5 ,6} Venn-diagrammi A = {1, 2 , 3} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B  A E 1, 2, 3 E A A B 4, 5, 6

3. 1.1.3 Joukko-opin laskutoimitukset YHDISTE eli UNIONI, A  B =niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B A  B = { x  E | x  A tai x  B} E B A E.4. A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8} A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} Venn-diagrammina: ks. muistiinpanot

4. LEIKKAUS A  B=niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A ja joukkoon B A  B = { x  E | x  A ja x  B} Jos leikkauksena tyhjä joukko, niin joukot erillisiä E B A E.5. A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8} A  B = {2, 4} Venn-diagrammina: ks. muistiinpanot

5. A = E \ A JOUKKO-OPILLINEN EROTUS KOMPLEMENTTI E A E \ A

6. E.6. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5, 6} a) A \ B = {1, 2 } B \ A = {4, 5, 6} b) A = E \ A = {4, 5, 6}

7. 1.1.4. Summaperiaate Jos A ja B ovat äärellisiä joukkoja, niin N(A  B ) = N(A) + N(B) – N(A  B) “lukumäärä” Erillisille joukoille: N(A  B ) = N(A) + N(B) E.7. Korttipakasta otetaan hertat ja kympit. Kuinka monta korttia saadaan? A = {hertat} B = {kympit} A  B = {herttakymppi} N(A) = 13 N(B) = 4 N(A  B) = 1 N(A  B ) = N(A) + N(B) – N(A  B) = 13 + 4 – 1 = 16