RNDr. Jiří Kocourek

1. Výroky, negace, logické spojky RNDr. Jiří Kocourek

2. Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé.

3. Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé. Pravdivostní hodnota výroku: Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE) Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE)

4. Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé. Pravdivostní hodnota výroku: Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE) Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE) Příklady výroků: „Dnes je 3. září.“ „Číslo 2 je sudé.“ „Úhlopříčky libovolného čtverce jsou navzájem kolmé.“ „Praha je hlavní město Afghanistánu.“ „Na Marsu je život.“ „Pro každé reálné číslo x platí: x2 >0.“

5. Výrok: sdělení, (tvrzení, oznamovací věta) u něhož má smysl rozhodovat, zda je, či není pravdivé. Pravdivostní hodnota výroku: Pravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „pravda“ (p, 1, TRUE) Nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu „nepravda“ (n, 0, FALSE) Příklady výroků: „Dnes je 3. září.“ „Číslo 2 je sudé.“ „Úhlopříčky libovolného čtverce jsou navzájem kolmé.“ „Praha je hlavní město Afghanistánu.“ „Na Marsu je život.“ „Pro každé reálné číslo x platí: x2 >0.“ Příklady vět, které nejsou výroky: „Běž domů !“ „Bude zítra pršet?“ „Úsečka je dlouhá.“ „a2 + b2 = c2“

6. Negace výroku: Výrok,jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.

7. Negace výroku: Výrok,jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku. Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok. Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬v

8. Negace výroku: Výrok,jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku. Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok. Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬v Vyjádření: Negaci můžeme vždy vyjádřit uvedením formulace „Není pravda, že ..“ před původní výrok. Zpravidla se však snažíme o srozumitelnější vyjádření (tedy – co je pravda, když původní výrok neplatí)

9. Negace výroku: Výrok,jehož pravdivostní hodnota je vždy opačná než pravdivostní hodnota původního výroku. Označení: Výroky označujeme písmeny, negaci pak symbolem „¬“ před písmenem označujícím původní výrok. Příklad: Výrok ..... v Jeho negace .....¬v Vyjádření: Negaci můžeme vždy vyjádřit uvedením formulace „Není pravda, že ..“ před původní výrok. Zpravidla se však snažíme o srozumitelnější vyjádření (tedy – co je pravda, když původní výrok neplatí) Příklad: Výrok v: „Daný trojúhelník je ostroúhlý“ ¬ v: „Není pravda, že daný trojúhelník je ostroúhlý“ ¬ v: „Daný trojúhelník je tupoúhlý nebo pravoúhlý

10. Výroky o počtu: a: „Ve třídě je aspoň 30 žáků“ ... 30 nebo více, b: „Ve třídě je nejvýše 30 žáků“ ... 30 nebo méně, c: „Ve třídě je právě 30 žáků“ ... přesně 30

11. Výroky o počtu: a: „Ve třídě je aspoň 30 žáků“ ... 30 nebo více, b: „Ve třídě je nejvýše 30 žáků“ ... 30 nebo méně, c: „Ve třídě je právě 30 žáků“ ... přesně 30 Jejich negace: ¬a: „Ve třídě je méně než 30 žáků“ ... 29 nebo méně, ¬b: „Ve třídě je více než 30 žáků“ ... 31 nebo více, ¬c: „Ve třídě je méně než 30 žáků nebo více než 30 žáků“ ... nejvýše 29 nebo alespoň 31

12. Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané množiny ..... označení "

13. Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané množiny ..... označení " Existenční (malý) kvantifikátor: výrok platí aspoň pro jeden prvek dané množiny ..... označení $

14. Výroky s kvantifikátory: týkají se vždy prvků nějaké množiny Obecný (velký) kvantifikátor: výrok platí pro všechny prvky dané množiny ..... označení " Existenční (malý) kvantifikátor: výrok platí aspoň pro jeden prvek dané množiny ..... označení $ Příklady: "xÎR: x2 > x „Pro každé x z množiny R platí ...“ $xÎR: x2 > x „Existuje alespoň jedno x z množiny R, pro které platí ...“

15. Příklad: Vyslovte negace výroků v:"xÎR: x2 > 0 w:$ nÎN: n £ 0

16. Příklad: Vyslovte negace výroků v:" xÎR: x2 > 0 w:$nÎN: n £ 0 ¬ v:$xÎR: x2 £ 0

17. Příklad: Vyslovte negace výroků v:"xÎR: x2 > 0 w:$nÎN: n £ 0 ¬ v:$xÎR: x2 £ 0 ¬ w:"nÎN: n > 0

18. Příklad: Vyslovte negace výroků v:" xÎR: x2 > 0 w:$ nÎN: n £ 0 ¬ v: $ xÎR: x2 £ 0 ¬ w:" nÎN: n > 0 Negace výroků s kvantifikátory: Kvantifikátor změníme na opačný a příslušný výrok nahradíme jeho negací.

19. Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami.

20. Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami. Logické spojky: „a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň

21. Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami. Logické spojky: „a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň „nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků

22. Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami. Logické spojky: „a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň „nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků „jestliže ... pak“ (implikace) .... z platnosti jednoho výroku vyplývá i platnost druhého

23. Složené výroky: „souvětí“ skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami. Logické spojky: „a“ (konjunkce) .... platí oba výroky zároveň „nebo“ (disjunkce) .... platí alespoň jeden z výroků „jestliže ... pak“ (implikace) .... z platnosti jednoho výroku vyplývá i platnost druhého „právě tehdy, když“ (ekvivalence) .... oba výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu

24. Konjunkce Označení: aÙ b Čteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ aÙb : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“

25. Konjunkce Označení: aÙ b Čteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ aÙb : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot:

26. Konjunkce Označení: aÙ b Čteme: „Platí výrok a a (zároveň) výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ aÙb : „Do kina půjde Adam a Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: Konjunkce je pravdivá pouze tehdy, pokud jsou pravdivé oba výroky zároveň.

27. Disjunkce Označení: aÚ b Čteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Úb : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“

28. Disjunkce Označení: aÚ b Čteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Úb : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot:

29. Disjunkce Označení: aÚ b Čteme: „Platí výrok a nebo výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Úb : „Do kina půjde Adam nebo Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: Disjunkce je pravdivá, platí-li alespoň jeden z výroků (tedy i v případě, že platí oba).

30. Implikace Označení: aÞ b Čteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Þb : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“

31. Implikace Označení: aÞ b Čteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Þb : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot:

32. Implikace Označení: aÞ b Čteme: „Jestliže (pokud) platí výrok a, pak platí i výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Þb : „Pokud půjde do kina Adam, pak půjde i Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: Implikace je nepravdivá, pouze v případě, že první výrok platí a druhý neplatí.

33. Ekvivalence Označení: aÛ b Čteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Û b : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“

34. Ekvivalence Označení: aÛ b Čteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Û b : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot:

35. Ekvivalence Označení: aÛ b Čteme: „Výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b.“ Příklad: a: „Do kina půjde Adam“ b: „Do kina půjde Bedřich“ a Û b : „Adam půjde do kina právě tehdy, když půjde Bedřich.“ Tabulka pravdivostních hodnot: Ekvivalence je pravdivá, pokud oba výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu.

36. Negace složených výroků: Konjunkce ¬(aÙ b) „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“

37. Negace složených výroků: Konjunkce ¬(aÙ b) „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“ „Neplatí výrok a nebo výrok b.“

38. Negace složených výroků: Konjunkce ¬(aÙ b) „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“ „Neplatí výrok a nebo výrok b.“

39. Negace složených výroků: Konjunkce ¬(aÙ b) „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“ „Neplatí výrok a nebo výrok b.“

40. Negace složených výroků: Konjunkce ¬(aÙ b) „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“ „Neplatí výrok a nebo výrok b.“

41. Negace složených výroků: Konjunkce ¬(aÙ b) „Není pravda, že platí zároveň výroky a a b.“ „Neplatí výrok a nebo výrok b.“ Výrok ¬(a Ù b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ¬a Ú¬b.

42. Negace složených výroků: Disjunkce ¬(aÚb) „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“

43. Negace složených výroků: Disjunkce ¬(aÚb) „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“ „Neplatí výrok a ani výrok b.“

44. Negace složených výroků: Disjunkce ¬(aÚb) „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“ „Neplatí výrok a ani výrok b.“

45. Negace složených výroků: Disjunkce ¬(aÚb) „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“ „Neplatí výrok a ani výrok b.“

46. Negace složených výroků: Disjunkce ¬(aÚb) „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“ „Neplatí výrok a ani výrok b.“

47. Negace složených výroků: Disjunkce ¬(aÚb) „Není pravda, že platí výrok a nebo b.“ „Neplatí výrok a ani výrok b.“ Výrok ¬(a Úb) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ¬a Ù¬b.

48. Negace složených výroků: Implikace ¬(aÞb) „Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“

49. Negace složených výroků: Implikace ¬(aÞb) „Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“ „Výrok a platí a výrok b neplatí.“

50. Negace složených výroků: Implikace ¬(aÞb) „Není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b.“ „Výrok a platí a výrok b neplatí.“