บทที่ 6 รี มันน์อินทิกรัล (The Riemann Integral)

บทที่ 6 รีมันน์อินทิกรัล (The Riemann Integral)

6.1 การอินทิเกรตได้ของรีมันน์ (Riemann Integrability) บทนิยาม 6.1.1ให้ [ a, b ] เป็นช่วงปิดใดๆ และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็นเซตของจุดบน [ a, b ] โดยที่ a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b จะเรียก P ว่าเป็น ผลแบ่งกั้น (partition) ของ [ a, b ]

จุดในผลแบ่งกั้น P แบ่งช่วง [ a, b ] ออกเป็นช่วงย่อย n ช่วง คือ [x0, x1], [x1, x2], …, [xn–1, xn] โดยที่ = [ a, b ] และ [xi–1, xi]  [xj–1, xj] =  , i  jดังรูป 6.1.1 a = x0 x1 x2 xk–1 xk xn–1 xn= b ผลแบ่งกั้นอันหนึ่งของ [a, b]

บทนิยาม 6.1.2ให้ f : [a, b]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน [ a, b ] และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็นผลแบ่งกั้นบนของ [ a, b ] สำหรับ k = 1, 2, 3, …, n ให้ mk = g.l.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] } Mk = l.u.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] }

บทนิยาม 6.1.3ให้ f : [a, b]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน [a, b] และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็นผลแบ่งกั้นบนของ [ a, b ] ผลบวกล่าง(lower sum)ของ f ที่มี P เป็นผลแบ่งกั้นแทนด้วย L( P; f ) เมื่อ L( P; f ) = (xk – xk–1)

ผลบวกบน (upper sum) ของ f ที่มี P เป็นผลแบ่งกั้นแทนด้วย U( P; f ) เมื่อ (xk – xk–1) U( P; f ) = ผลบวกล่าง L( P; f ) ผลบวกบน U( P; f )

บทตั้ง 6.1.4ถ้า f : [a, b]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน [ a, b ] และ P เป็นผลแบ่งกั้นใดๆของ [ a, b ] แล้ว L( P; f )  U( P; f ) การพิสูจน์ให้ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็นผลแบ่งกั้นของ [ a, b ] mk = g.l.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] สำหรับ k = 1, 2, 3, …, n }  l.u.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] สำหรับ k = 1, 2, 3, …, n } = Mk ดังนั้น mk  Mkสำหรับ k = 1, 2, 3, …, n

L( P; f ) = (xk – xk–1) (xk – xk–1)  = U( P; f ) 

บทนิยาม 6.1.5ให้ P, Q เป็นผลแบ่งกั้นของ [ a, b ] ที่ P  Qแล้วจะเรียก Q ว่า ผลแบ่งกั้นที่ละเอียด(refinement)ของ P บทตั้ง 6.1.6ให้ f : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบนช่วงปิด [ a, b ] P เป็นผลแบ่งกั้นของ [ a, b ] และ Q เป็นผลแบ่งกั้นที่ละเอียดของ P แล้ว (1) L( P; f )  L( Q; f ) (2) U( Q; f )  U( P; f )

การพิสูจน์ให้ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็นผลแบ่งกั้นของ [ a, b ] P = P{ z }โดยที่ xk–1 < z < xk ดังนั้น P = { x0, x1, x2, …, xk–1, z, xk, …, xn } Pเป็นผลแบ่งกั้นที่ละเอียดของ P (1) ให้ mk = g.l.b.{ f(x) | x[xk–1, z] } mk = g.l.b.{ f(x) | x[z, x k] } ดังนั้น mk  mkและ mk  mk

L( P; f ) = m1(x1–x0)+m2(x2–x1)+ …+mk(xk–xk–1)+ …+mn(xn–xn–1) = m1(x1–x0)+m2(x2–x1)+ …+mk(z–xk–1)+mk(xk–z)+ …+mn(xn–xn–1)  m1(x1–x0)+m2(x2–x1)+ …+mk(z–xk–1)+mk(xk–z)+ …+mn(xn–xn–1) = L( P; f ) L( P; f )  L( P; f )เมื่อ Pมีสมาชิกเพิ่ม 1 ตัว จาก P ในช่วงที่ k ถ้า Q เป็นผลแบ่งกั้นที่ละเอียดใดๆของ P ดังนั้น Q = P{ z1, z2, z3, ..., zi } ซึ่ง xj–1 < zi < xj , ij = 1, 2, 3, ..., n สามารถแสดงการแบ่งช่วงที่ ziเป็นสมาชิกได้ในทำนองเดียวกันดังข้างต้นและย่อมได้ว่า L( P; f )  L( Q; f ) (2) ให้ผู้อ่านพิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด 

บทตั้ง 6.1.7ให้ f : [a, b]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน [ a, b ] ถ้า P1, P2เป็นผลแบ่งกั้นใดๆของ [ a, b ] แล้ว L( P1; f )  U( P2; f ) การพิสูจน์ให้ Q = P1P2 ดังนั้น Q เป็นผลแบ่งกั้นของ [ a, b ] ซึ่งเป็นผลแบ่งกั้นที่ละเอียดของ P1, P2 จากบทตั้ง 6.1.4 และบทตั้ง 6.1.6 จึงได้ว่า L( P1; f )  L( Q; f )  U( Q; f )  U( P2; f ) 

อินทิกรัลบน และอินทิกรัลล่าง (Upper and Lower Integrals) ให้ f : [a, b]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน [ a, b ] ถ้า P เป็นผลแบ่งกั้นใดๆของ [ a, b ] สามารถคำนวณหาค่า U( P; f ) และ L( P; f )หรืออาจกล่าวได้ว่า แต่ละผลแบ่งกั้น P ให้ค่าจำนวนจริง 2 จำนวนให้ [a, b]เป็นหมู่ (collection) ของผลแบ่งกั้นทั้งหมดบน [ a, b ] [a, b]จึงกำหนดเซตได้ 2 เซต คือ เซตของผลบวกบน { U( P; f ) | P [a, b] }และ เซตของผลบวกล่าง { L( P; f ) | P [a, b] }

บทนิยาม 6.1.8ให้ f : [a, b]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขต 1) อินทิกรัลล่าง (lower integral)ของ f บน [ a, b ] แทนด้วย f(x)dx = l.u.b.{ L( P; f ) | P [a, b] } 2) อินทิกรัลบน (upper integral)ของ f บน [ a, b ] แทนด้วย f(x)dx หมายถึง จำนวนจริงซึ่ง f(x)dx หมายถึง จำนวนจริงซึ่ง f(x)dx = g.l.b.{ U( P; f ) | P[a, b] }

ทฤษฎีบท 6.1.9ให้ f : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขต แล้ว f(x) dx  f(x) dx การพิสูจน์ให้ P1, P2เป็นผลแบ่งกั้นใดๆของ [ a, b ] โดยบทตั้ง 6.1.7 ได้ว่า L( P1; f )  U( P2; f )

U( P2; f ) ย่อมเป็นขอบเขตบนตัวหนึ่งของ { L( P; f ) | P[a, b] } และ f(x) dx = l.u.b{ L( P; f ) | P[a, b] }  U( P2; f ) เนื่องจาก P2เป็นผลแบ่งกั้นใดๆของ [ a, b ] ดังนั้น f(x) dx เป็นขอบเขตล่างตัวหนึ่งของ { U( P; f ) | P [a, b] }และ f(x) dx g.l.b.{ U( P; f ) | P[a, b] } f(x) dx  นั่นคือ f(x) dx

รีมันน์อินทิกรัล

บทนิยาม 6.1.10ให้ f : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน [ a, b ] แล้วจะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชันที่มีรีมันน์อินทิกรัล(Riemann–integrable)บน [ a, b ] ถ้า f(x)dx = f(x)dx และเขียนแทนด้วย

ตัวอย่าง 1ให้ f(x) = x , x[ 0, 1 ] ให้ Pnเป็นผลแบ่งกั้นของ [ 0, 1 ] โดยแบ่ง [ 0, 1 ] ออกเป็น n ช่วงดังนี้ Pn = { 0, , , , . . . , = 1 } เนื่องจาก f(x) = x เป็นฟังก์ชันเพิ่มที่มีขอบเขตมีค่าสูงสุด และ ค่าต่ำสุดในแต่ละช่วง พิจารณาช่วงที่ k [ , ] จะได้ว่า Mk = และ mk = และความกว้างของช่วง k คือ xk – xk–1 = - = ทุก k = 1, 2, 3, ..., n

ดังนั้น U( Pn; f ) = = + + + . . . + = ( 1+2+3+…+n ) =  = ( 1+ )

และ L( Pn; f ) = + + + . . . + = 0 + = ( 0+1+2+3+…+n–1 ) =  = ( 1 - )

เนื่องจาก { Pn | n } เป็นเซตย่อยของ { P | P[0, 1] } ดังนั้น • = l.u.b.{ L( Pn; f ) | n } • l.u.b.{ L( P; f ) | P[0, 1] } = f(x)dx f(x)dx = g.l.b.{ U( P; f ) | P[0, 1] } g.l.b.{ U( Pn; f ) | n } = และ

f(x)dx  ทำให้ f(x)dx  f(x)dx = f(x)dx = นั่นคือ f(x) = x เป็นฟังก์ชันที่มีรีมันน์อินทิกรัลบน [ 0, 1 

ทฤษฎีบท 6.1.11 เงื่อนไขรีมันน์(Riemann’s Criterion for Integrability) ให้ f : [a, b]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน [ a, b ] แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอินทิกรัลได้บน [ a, b ] ก็ต่อเมื่อแต่ละ  > 0 จะมีผลแบ่งกั้น Pของ [ a, b ]ซึ่ง U( P; f ) – L( P; f ) < 

การพิสูจน์ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอินทิกรัลได้บน [ a, b ] ดังนั้น f(x)dx f(x)dx = ให้ > 0 , เนื่องจาก f(x)dx = l.u.b.{ L( P; f ) | P[a, b] } จะมี P1เป็นผลแบ่งกั้นบน [ a, b ] ที่ f(x)dx – < L( P1; f ) เนื่องจาก f(x)dx = g.l.b.{ U( P; f ) | P[a, b] }

จะมี P2เป็นผลแบ่งกั้นบน [ a, b ] ที่ U( P2; f ) < f(x)dx + ให้ P= P1P2ดังนั้น Pเป็นผลแบ่งกั้นที่ละเอียดของ P1, P2 ผลที่ตามมา จากบทตั้ง 6.1.6 และบทตั้ง 6.1.4 จึงได้ f(x)dx – < L( P1; f )  L( P; f ) และ U( P; f )  U( P2; f ) < f(x)dx + ดังนั้น U( P; f ) – L( P; f ) < ( f(x)dx + ) –( ) f(x)dx –

นั่นคือ U( P; f ) – L( P; f )<  ในทางกลับกันให้ P เป็นผลแบ่งกั้นใดๆบน [ a, b ] f(x)dx ( หรือ – L( P; f )  f(x)dx  – L( P; f ) ) และ f(x)dx U( P; f ) f(x)dx – ดังนั้น f(x)dx < U( P; f ) – L( P; f ) เนื่องจากกำหนดให้แต่ละ > 0จะมีผลแบ่งกั้น Pของ [ a, b ] ที่ U( P; f ) – L( P; f ) < 

ดังนั้น f(x)dx U( P; f ) – L( P; f ) <  f(x)dx – โดยทฤษฎีบท 6.1.9 f(x)dx  f(x)dx  f(x)dx - 0  f(x)dx เนื่องจากเป็นจำนวนบวกใดๆจะได้ f(x)dx - f(x)dx = 0 f(x)dx = f(x)dx นั่นคือ f  R(x)บน [ a, b ] 

ตัวอย่าง 3กำหนด f : [ 0, 1 ]โดยที่ f(x) = x2 , x[ 0, 1 ] ให้  > 0 และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็นผลแบ่งกั้นใดๆบน [ 0, 1 ] ซึ่ง max { xk – xk–1 | k = 1, 2, 3, …, n } < เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และต่อเนื่องดังนั้น Mk = f(xk) = xk2จึงได้ U( P; f ) = ( xk – xk–1) และ mk = f(xk–1) = x2k–1 จึงได้ L( P; f ) = ( xk – xk–1)

U( P; f ) – L( P; f ) = [ ( xk – xk–1)] – [ ( xk – xk–1)] = ( xk – xk–1)( xk – xk–1) = ( xk – xk–1) <  =  = นั่นคือ f  R(x) บน [ 0, 1 ] 

6.2 สมบัติของรีมันน์อินทิกรัล ทฤษฎีบท 6.2.1ให้ f, g : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอินทิกรัลได้บน [ a, b ] ถ้า kแล้วฟังก์ชัน kf และ f + g เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอินทิกรัลได้บน [ a, b ] และ (1) (x)dx = k (x)dx (2) = (x)dx + (x)dx

บทแทรก 6.2.2ให้ f : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัล บน [ a, b ] และkiสำหรับ i = 1, 2, 3, ..., n แล้ว เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลบน [ a, b ] และ (x)dx (x)dx =

ทฤษฎีบท 6.2.3ให้ f : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลบน [ a, b ] ถ้า f(x)  0สำหรับทุก x[ a, b]แล้ว (x)dx  0 บทแทรก 6.2.4ให้ f, g : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลบน [ a, b ] ได้ ถ้า f(x)  g(x)สำหรับทุก x[ a, b ]แล้ว (x)dx  (x)dx

บทตั้ง 6.2.5ถ้า f : [ a, b]เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัล บน [ a, b ] และ a < c < b แล้ว f(x)dx f(x)dx = f(x)dx +

ทฤษฎีบท 6.2.6ให้ f : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน [ a, b ] และa < c < b จะได้ว่า f มีอินทิกรัลบน [ a, b ] ก็ต่อเมื่อ f มีอินทิกรัลบน [ a, c ] และ [ c, b ] โดยที่ (x)dx = (x)dx + (x)dx

ทฤษฎีบท 6.2.7ให้ f : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน [ a, b ] แล้ว ข้อความ (1) – (3) สมมูลกัน (1) ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลบน [ a, b ] (2) สำหรับแต่ละ  > 0จะมีผลแบ่งกั้น P = { x0, x1, x2, ..., xn } ของ [ a, b ] ซึ่ง (xk – xk–1) < 

(3) สำหรับแต่ละ  > 0จะมีผลแบ่งกั้น P = { x0, x1, x2, ..., xn } ของ [ a, b ] ซึ่ง (xk – xk–1) <  เมื่อ wk = l.u.b. { f(x) – f(y) | x, y[ xk–1, xk ] } สำหรับ k = 1, 2, 3, ..., n

ทฤษฎีบท 6.2.8ให้ f : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันทางเดียวบน [ a, b ] แล้ว f เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลบน [ a , b ] ทฤษฎีบท 6.2.9ให้ f : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [ a, b ] แล้วฟังก์ชัน fมีอินทิกรัลบน [ a, b ] ทฤษฎีบท 6.2.10ให้ I = [ a, b ] และ J = [ c, d ] ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลบน I และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน J โดยที่ f( I )  Jแล้วฟังก์ชันประกอบ gf : I เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลบน I

บทแทรก 6.2.11ให้ f : [ a, b ]เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลบน [ a, b ] แล้ว | f | เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลบน [ a, b ]

6.3 ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (The Fundamental Theorem of Calculus) บทตั้ง 6.3.1ถ้าให้ f : [ a, b ] เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลบน [ a, b ] และf(x) K สำหรับทุกๆ x[ a, b ]แล้ว  f(x)dx  K(b – a) (x)dx

ทฤษฎีบท 6.3.2ถ้า f : [ a, b ] เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลบน [ a, b ] แล้ว Fa : [ a, b ] นิยามโดย Fa(x) = (t)dt , a  x  b เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบเอกรูปบน [ a, b ]

ทฤษฎีบท 6.3.3ถ้า f : [ a, b ] เป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลบน [ a, b ] และ Fa : [ a, b ] โดยที่ Fa(x) = (t)dt สำหรับ a  x  b ถ้า f เป็น ฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว Faเป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่จุด x0และ Fa(x0) = f(x0) สำหรับ x0 [ a, b ]

ทฤษฎีบท 6.3.4 ทฤษฎีบทหลักมูลแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Integral Calculus) ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [ a, b ] แล้ว F : [ a, b ] สอดคล้องกับ F(x) – F(a) = (t)dt ก็ต่อเมื่อ F(x) = f(x)สำหรับทุก x  [ a, b ]

บทแทรก 6.3.5ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [ a, b ] และ F(x) = f(x) สำหรับ x  [ a, b ]แล้ว (x)dx = F(b) – F(a)

ทฤษฎีบท 6.3.6 การอินทิเกรตโดยวิธีแยกส่วน(Integration by Parts) ให้ f, g : [ a, b ] เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ถ้า fและ gเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว (x)dx = [ f(b)g(b) – f(a)g(a) ] – (x)dx

ทฤษฎีบท 6.3.7ให้ J = [ ,  ]และ  : J เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน J ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน I โดยที่ I = (J)แล้ว =

บทที่ 6 รี มันน์อินทิกรัล (The Riemann Integral)