1 / 71

INTEGRAL TAK TENTU

HITUNG INTEGRAL. INTEGRAL TAK TENTU. INTEGRAL TAK TENTU. Pengertian Hitung Integral Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung deferensial Misal : y = F(x) = x 2. 3x 2. f(x). =. dF(x)=. f(x) dx. Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang. Sehingga. dF(x)=f(x)dx.

osma
Download Presentation

INTEGRAL TAK TENTU

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. HITUNG INTEGRAL INTEGRAL TAK TENTU

  2. INTEGRAL TAK TENTU • Pengertian Hitung Integral • Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung deferensial • Misal : y = F(x) = x2 3x2 f(x) = dF(x)= f(x) dx Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang Sehingga dF(x)=f(x)dx F(x)= Integral

  3. INTRGRAL TAK TENTU Misal : f(x) = 4x3 maka kemungkinan untuk F(x) adalah X4 karena turunannya 4x3 = F’(x) X4 + 1 karena turunannya 4x3 = F(‘x) X4 + 5 karena turunannya 4x3 = F’(x) X4 + 50 karena turunannya 4x3 = F’(x) X4 + c karena turunannya 4x3 = F’(x) Jadi anti turunan dari 4x3 adalah x4 di tambah bilangan c ( c = Konstanta) Dengan lambang integral di tulis : Secara um8um di tulis : Integral

  4. INTEGRAL TAK TENTU Rumus – rumus Pengintegralan a. b. c. d. e. Integral

  5. Integral Tak Tentu Contoh: • Tentukan dari Penyelesaian 2. Integralkanlah (5x – 1)2 Penyelesaian = = = = = 12x3 – 6x2 + x + c = Integral

  6. Integral Tak Tentu 3. Tentukan Penyelesaian = 4x3 + 2x2 + 10x – 5lnx + c = 4. Tentukan Penyelesaian = = = Integral

  7. INTEGRAL TERTENTU Bentuk umum intergral tertentu a disebut batas bawah b disebut batas bawah F(x): fungsi hasil integral dari f(x) F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a Integral

  8. INTEGRAL TERTENTU • Sifat-sifat intergral tertentu 1. 2. 3. 4. Integral

  9. INTEGRAL TERTENTU Contoh : 1.Tentukan nilai dari 2.Tentukan nilai dari Penyelesaian Penyelesaian = = = = = 4 - = = 2 = Integral

  10. Penggunaan Integral LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR

  11. 9 Penggunaan Integral Integral

  12. Kompetensi Dasar Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Indikator Hasil Belajar • Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat : • menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva. • menentukan luas daerah dengan menggunakan limit jumlah. • merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya. • merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya. Penggunaan Integral Integral

  13. Next Back Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam. Integral

  14. Back Next Penggunaan Integral Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral. Integral

  15. Penggunaan Integral Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar. Integral

  16. Y X Next Home Back Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah Menentukan luas daerah dengan limit jumlah dapat diilustrasikan oleh gambar di samping. Langkah utama yang dilakukan adalah memartisi, mengaproksimasi, menjumlahkan, danmenghitung limitnya. Integral

  17. y Li x 0 a x Back Next Home Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah • Langkah menghitung luas daerah dengan limit jumlah adalah: • Bagilah interval menjadi selang yang sama panjang. • Partisilah daerah tersebut. • Masing-masing partisi buatlah persegi panjang. • Perhatikan persegi panjang pada interval [xi-1 , xi]. xi Integral

  18. y Li x xi 0 a x Back Next Home Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah • Langkah menghitung luas daerah ( lanjutan ) : • Tentukan luas persegi panjang ke-i(Li) • Jumlahkah luas semua persegi panjang • Hitung nilai limit jumlahnya Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x Jumlah luas persegi panjang :Lf(xi) x Limit jumlah : L = limf(xi) x(n  ∞ ) Integral

  19. Jawab y Li x xi xi+1 x3 x1 x2 0 3 3/n Back Next Home Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah Contoh 1. Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3 dengan menggunakan cara limit jumlah. • Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n. • Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar. • Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya. • x0 = 0 • x1 = 3/n • x2 = (3/n) × 2 = 6/n • Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n Integral

  20. y Li x xi xi+1 x3 x1 x2 0 3 3/n Back Next Home Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah • Jumlahkan luas semua partisi • Tentukan limitnya Jadi luas daerah = 9 satuan Integral

  21. Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian (lebar tidak harus sama) dengan lebar selang ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada selang [xi-1, xi] diambil titik sampel xk maka jumlah Riemann dituliskan sebagai: y x a 0 xk b xi xi-1  xi Selanjutnya didefinisikan bahwa: Bentuk disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann) Back Next Home Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah Perhatikan gambar di bawah ini! Integral

  22. Teorema Dasar Kalkulus Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai Contoh 2. Hitunglah nilai dari = = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2] = 16 – 8 + 2 - 2 = 8 Jawab Back Next Home Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah Integral

  23. Berubah Menjadi Integral y y Tentukan limitnya n   x x a 0 b a 0 x b Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x)pada interval[a, b]. Jumlah Luas Partisi Integral

  24. xi y x 0 Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral • Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: • Gambar daerahnya. • Partisi daerahnya • Aproksimasi luas sebuah partisi Li  f(xi) xi • Jumlahkan luas partisi • L  f(xi) xi • 5. Ambil limitnya L =lim f(xi) xi • 6. Nyatakan dalam integral Li xi a Integral

  25. Contoh 3. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3 xi Jawab y Li x 0 3 Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral • Langkah penyelesaian : • Gambarlah daerahnya • Partisi daerahnya • Aproksimasi luasnya Li xi2 xi • 4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi • Ambil limit jumlah luasnya • L=lim xi2 xi • Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya xi Integral

  26. y Contoh 4. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5 xi xj Jawab 4 5 x 0 Li Aj Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral • Langkah penyelesaian: • Gambar dan Partisi daerahnya • Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan Aj  -(4xj - xj2)xj • 4. Jumlahkan : L  (4xi - xi2)xi dan A   -(4xj - xj2)xj • 5.Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xidanA = lim  -(4xj - xj2)xj • Nyatakan dalam integral xj xi Integral

  27. y xi xj 4 5 x 0 xj xi Li Aj Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral Integral

  28. y x Li x a b 0 x Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. • Langkah penyelesaian: • Partisi daerahnya • Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x • 4. Jumlahkan : L  [ f(x) – g(x) ] x • 5.Ambil limitnya : • L = lim [ f(x) – g(x) ] x • 6. Nyatakan dalam integral tertentu Integral

  29. Contoh 5. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2dan garis y = 2 - x Jawab y 5 x 4 3 Li 2 1 x x 0 -3 -2 -1 1 2 Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah • Langkah penyelesaian: • Gambar daerahnya • Tentukan titik potong kedua kurva • x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0 • diperoleh x = -2 dan x = 1 • Partisi daerahnya • Aproksimasi luasnya • Li (2 - x- x2)x • 4. Jumlahkan luasnya • L  (2 - x - x2)x • 5.Tentukan limit jumlah luasnya • L = lim (2 - x - x2)x • 6. Nyatakan dalam integral tertentu Integral

  30. y 5 x 4 3 Li 2 1 x x 0 -3 -2 -1 1 2 Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral Integral

  31. y a Li b x x Ai x 0 Luas daerah = Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. Integral

  32. y d y x 0 c Li Luas daerah = Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. Integral

  33. Contoh 6. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Jawab y 6 Li 2 x y y 0 6 Luas daerah = Back Next Home Menghitung Luas dengan Integral • Langkah penyelesaian: • Gambar daerahnya • Tentukan titik potong kedua kurva • y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0 • diperoleh y = - 3 dan y = 2 • Partisi daerahnya • Aproksimasi luasnya • Li (6 - y- y2)y • 4. Jumlahkan luasnya • L  (6 - y - y2)y • 5.Tentukan limitnya • L = lim (6 - y - y2)y • 6. Nyatakan dalam integral tertentu Integral

  34. Luas daerah = Luas daerah = y 6 Luas daerah = Luas daerah = 2 x y Li y 0 Luas daerah = 6 Back Home Next Menghitung Luas dengan Integral Integral

  35. Gb. 4 Next Home Back Volume Benda Putar Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu. Integral

  36. y y x y x 4 3 2 0 1 x 0 1 2 -2 -1 Back Next Home Volume Benda Putar Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi :1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung Integral

  37. Back Next Home Volume Benda Putar Metode Cakram Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram. Integral

  38. y x x a x x y x h=x 0 Back Next Home Volume Benda Putar Metode Cakram Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jarir = f(x), tinggi h =x.Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V  r2hatauV f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V    f(x)2 x V = lim   f(x)2 x Integral

  39. Contoh 7. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. x Jawab y y x x 1 h=x x x 2 Back Next Home Volume Benda Putar Metode Cakram • Langkah penyelesaian: • Gambarlah daerahnya • Buat sebuah partisi • Tentukan ukuran dan bentuk partisi • Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Integral

  40. y x h=x x Back Next Home Volume Benda Putar Metode Cakram V  r2h V  (x2 + 1)2 x V   (x2 + 1)2 x V = lim  (x2 + 1)2 x Integral

  41. Contoh 8. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. y y Jawab 2 y x y y h=y x Back Next Home Volume Benda Putar Metode Cakram • Langkah penyelesaian: • Gambarlah daerahnya • Buatlah sebuah partisi • Tentukan ukuran dan bentuk partisi • Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Integral

  42. y 2 y h=y x Back Next Home Volume Benda Putar Metode Cakram V  r2h V  (y)2 y V   y y V = lim  y y Integral

  43. Back Next Home Volume Benda Putar Metode Cincin Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin. Integral

  44. Gb. 5 R r h Back Next Home Volume Benda Putar Metode Cincin Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 – r2)h Integral

  45. Contoh 9. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. y Jawab y =2x y 4 x x x 2x x2 2 x Back Next Home Volume Benda Putar Metode Cincin • Langkah penyelesaian: • Gambarlah daerahnya • Buat sebuah partisi • Tentukan ukuran dan bentuk partisi • Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Integral

  46. y y =2x R=2x r=x2 4 x y x x 2 x Back Next Home Volume Benda Putar Metode Cincin V  (R2 – r2) h V   [ (2x)2 –(x2)2 ] x V   (4x2 – x4) x V    (4x2 – x4) x V = lim   (4x2 – x4) x Integral

  47. Back Next Home Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping. Integral

  48. r r h h 2r Δr Back Next Home Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung V = 2rhΔr Integral

  49. Contoh 10. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab y 4 3 x 2 x2 1 x x 0 1 2 Back Next Home Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung • Langkah penyelesaian: • Gambarlah daerahnya • Buatlah sebuah partisi • Tentukan ukuran dan bentuk partisi. • Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Integral

  50. x r = x y y x 0 2 1 2 1 4 4 3 3 x 2 2 h = x2 x2 1 1 x x 0 1 2 Back Next Home Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung V  2rhx V  2(x)(x2)x V   2x3x V = lim  2x3x Integral

More Related