Jana Pařílková

1. Fyzikální vlastnosti kapalin, hydrostatika, tlakové síly na rovinné a zakřivené plochy, plování těles Jana Pařílková

2. Fyzikální vlastnosti kapalin • Hustota kapaliny r (měrná hmotnost) je hmotnost kapaliny m [kg] vztažená na jednotku objemu V [m3]. Hustota kapalin se zmenšuje se vzrůstající teplotou. Vyjímkou je voda při teplotách 0°C až 4°C, kdy se ↑ teplotou ↑r a ↓V. Teprve při dalším zahřívání se r ↓ a V ↑. • Měrná tíha kapaliny  je tíha kapaliny vztažená na jednotku objemu. Pozn.: V běžných hydrotechnických výpočtech se uvažuje: rvody = 1000 kg/m3 a mořské vody r = 1030 kg/m3 při tlaku 105 Pa; g vody teplé 4°C při normálním atmosférickém tlaku 9 810 N/m3.

3. Fyzikální vlastnosti kapalin • Viskozita (vazkost) kapaliny je vnitřní odpor (tření) kapaliny proti smykové deformaci. Dynamická viskozitam[Pa s] je dána podílem tečného napětí t[Pa] a gradientu rychlosti resp. rychlostního spádu mezi dvěma vrstvami [s-1]. Tekutost (fluidita)j [Pa-1 s-1] je reciproká hodnota dynamické viskozity.Kinematická viskozitan[m2/ s] je dána podílem dynamické viskozity a hustoty. Je závislá na teplotě. Pozn.: pro vodu možno použít empirický vztah

4. Fyzikální vlastnosti kapalin • Měrný objem kapaliny je objem připadající na jednotku hmotnosti. • Roztažnost kapaliny je schopnost zvětšení objemu za stálého tlaku a zvýšené teploty. Vyjadřuje se součinitelem b[K-1]. V0 [m3] počáteční objem,ΔT [°C] rozdíl teplot. • Stlačitelnost kapaliny je zmenšení objemu za zvýšeného vnějšího tlaku při konstantní teplotě. Vyjadřuje se součinitelem c[Pa-1]. • Jeho převrácená hodnota jemodul objemové pružnosti K [Pa]. Objem kapaliny po stlačení přírůstkem tlaku Δp Stlačení vyvolá ↑ρ kapaliny na hodnotu:

5. Fyzikální vlastnosti kapalin • Povrchové napětí s[N/m]kapaliny představuje povrchový účinek kohezních sil mezi molekulami kapaliny vztažený na jednotku délky uzavřené hranice (styk volná hladina vzduch nebo dělící plocha mezi dvěma nemísícími se kapalinami). • Kapilární výškaje hodnota, o kterou hladina v kapalině stoupne (kapilární elevace) resp. klesne (kap. deprese) oproti normální hladině. Pro kruhovou trubici lze kapilární výšku určit ze vztahu: kde s je povrchové napětí, j úhel smáčení, r hustota kapaliny, D průměr kapiláry.

6. Fyzikální vlastnosti kapalin Kapilární elevace Kapilární deprese • Tepelná vodivostlTkapalinyje její schopnost vést teplo. Udává množství tepla, které projde za jednotku času krychlí o jednotkové hraně mezi dvěma protilehlými stěnami, mezi nimiž je teplotní rozdíl 1°K, jsou-li ostatní stěny tepelně izolovány. Pro vodu 20°C teplou je lT = 0,598 W/m/K.

7. Fyzikální vlastnosti kapalin • Ideální kapalina je nestlačitelná r = 1000 kg/m3, objemově stálá při změnách teploty, neviskozní tj. nepůsobí v ní síly vnitřního tření (smyková napětí). • Skutečná kapalina je vazká tj. existuje v ní vnitřní tření a může být stlačitelná. • Newtonovská kapalina je taková, u níž platí přímá úměrnost mezi smykovým napětím a gradientem rychlosti tj. platí jednoduchý Newtonův zákon viskozity. t [Pa] je tečné napětí; m [Pa s] je dynamická viskozita; du/dy [s-1] je gradient rychlosti při proměnné vzdálenosti od stěny y.

8. Fyzikální vlastnosti kapalin • Nenewtonovská kapalina je taková, u níž neplatí Newtonův zákon viskozity. Vztah mezi tečným napětím t a gradientem rychlosti du/dy při proměnné vzdálenosti od stěny y je složitější a je dán tzv. reologickými modely kapalin. t du/dy

9. Vypočtěte měrnou hmotnost lihu, použitého jako náplň teploměru pro teplotu t = 18°C, jestliže při teplotě t0 = 0°C je r0 = 806 kg/m3 a součinitel objemové roztažnosti b = 1,1 . 10-3 °C-1.

10. Do nádrže byla nalita kapalina o měrné hmotnosti r1 = 997 kg/m3 a objem V2 = (16,25 + 0,25 P) m3 kapaliny o měrné hmotnosti r2 = 1001,5 kg/m3. Kolik bylo původní kapaliny v nádrži, jestliže měrná hmotnost směsi činila r3 = 999 kg/m3. Jaký byl objem směsi kapalin. Počítejte pro P = 1.

11. Expanzní nádrž ústředního topení má pojmout přebytečný objem vody, který vznikne jejím zahřátím z 10°C na 70°C. Systém je naplněný vodou objemu V0 = 2,0 m3. Vypočtěte nutný objem expanzní nádrže. Teplotní součinitel objemové roztažnosti b·104 K-1 vody v závislosti na teplotě a tlaku Počítejte pro tlak 105 Pa, porovnejte přibližný výpočet pro průměrnou hodnotu b = 4,22·10-4°C-1 s výpočtem změn objemu po intervalech změn teploty DT = 20°C. a) b)

12. Kovová objímka s vnitřním průměrem D1 = 82 mm a výškou h = 200 mm se pohybuje účinkem vlastní tíhy G = 10 N po dlouhé trubici průměru D = 80 mm. Kapalinové tření zajišťuje olej s dynamickou viskozitou m = 0,98 Pa s. Určete rychlost rovnoměrného pohybu. Rovnoměrný pohyb nastane, když tíha objímky bude stejná jako třecí síla FT=G. Pro malé rychlosti je možno diferenciály nahradit diferencemi: Tečné napětí na povrchu trubice: Porovnáním: Plocha, na které nastává tření:

13. Hydrostatika se zabývá mechanickými vlastnostmi tekutin, které jsou v relativním klidu. Není pohyb nevzniká tření a nestlačitelná kapalina se chová jako ideální. Statický tlak kapaliny p [Pa] je v určitém bodě kapaliny ve všech směrech stejný: p = px = py = pz ,jedná se tedy o skalární veličinu. Síly, které působí na libovolnou rovinnou plochu v kapalině za klidu, musí být na tuto plochu kolmé: Je-li tlak na celou plochu konstantní, je vyjádřen: F je normálová síla, A plocha.

14. Statický tlak kapaliny za působení tíhového zrychlení a vnějšího tlaku Celkový statický tlak v kapalině p je dán součtem hydrostatického tlaku ph a celkového vnějšího tlaku pv – obvykle tlaku atmosférického pa = 101325 Pa. hydrostatický tlak kde, h je hloubka vody pod hladinou, g = 9,81 m/s2 je tíhové zrychlení. Je zřejmé, že závislost na hloubce je lineární a na volné hladině je hydrostatický tlak ph = 0 Pa. V různých jednotkách: 10 m v.s. = 1 atm = 98100 Pa (N/m2) = 0,981 bar

15. Vypočítejte celkový statický tlak kapaliny na dně sklenice míchaného nápoje s následujícími nepromíchanými kapalinami od volné hladiny: líh o výšce h1 = 0,020 m, r1 = 789 kg/m3, voda o výšce h2 = 0,010 m, r2 = 1000 kg/m3,glyceríno výšce h3 = 0,005 m, r3 = 1260 kg/m3. Atmosférický tlak je pa = 101325 Pa, tíhové zrychlení g = 9,81 m/ s2.

16. Rovňové a hladinové plochy Rovňová (hladinová) plocha: • ve všech bodech této plochy je celkový statický tlak konstantní (ps= konst); • tato plocha je kolmá k vektoru výsledného zrychlení působícího na kapalinu; • nemísící se kapaliny o různých hustotách se stýkají v rovňové ploše. Na rovňové ploše je shodná potenciální energie, při posunu po takové rovňové ploše je tlakový přírůstek dproven nule (dp = 0 Pa). Hladinová plochaje rovňová plocha tvořící povrch kapaliny.

17. Spojité nádoby, Pascalův teorém Spojité nádoby za malých tlaků – na rovňových plochách je stejný tlak, tj. řeší se sestavením rovnice tlakové rovnováhy ke zvolené rovňové ploše, která prochází rozhraním dvou kapalin. Spojité nádoby za velkých tlaků – Pascalův teorém tlak kapaliny uzavřené v malé nádobě a vystavené velkému vnějšímu tlaku je stálý v celém rozsahu kapaliny. Zanedbává se složka tlaku způsobená vlastní tíhou kapaliny. V případě dvou ploch platí: (hydraulické lisy) resp. resp. Kde h je účinnost a její hodnota je 0,75 až 0,85.

18. rHg = 13 600 kg/m3

19. Řešení

20. Výslednice působícího tlaku - tlaková síla kapalin Síla je určena velikostí, směrem a působištěm. Obecně je výslednice hydrostatického tlaku dána: Lze rozlišit hydrostatickou tlakovou sílu -na rovinnou plochu; §plocha rovnoběžná s hladinou; §plocha je šikmá; -na zakřivenou plochu.

21. Tlaková síla na vodorovné plochy - rovinné plochy rovnoběžné s hladinou Kapalina je v klidu a působí na ni jen síly tíže, potom statický tlak kapaliny ve všech bodech libovolné vodorovné roviny je konstantní. Hydrostatická tlaková síla na vodorovnou rovinnou plochu, působená pouze tíhou kapaliny, se rovná tíze sloupce kapaliny, jehož základnou je tlaková plocha a výškou je jeho hloubka pod hladinou. Hydrostatické paradoxon

22. Vypočítejte sílu, kterou potřebujete na vytažení špuntu z vany naplněné vodou do výšky h = 0,5 m, má-li špunt poloměr r = 3 cm a je umístěn ve dně vany.

23. Vypočítejte velikost tlaku v lisu a velikost lisovací síly F2, když na páku malého pístu působí síla F = 238 N. Dáno: a = 0,15 m; b = 1 m; D1 = 0,1 m; D2 = 0,5 m; h = 0,8. Reakce F1 od síly F se určí z rovnováhy momentů: Tlak v kapalině způsobený silou F: Skutečná síla F2s snížená vlivem účinnosti soustavy:

24. Tlaková síla na šikmé rovinné plochy Hydrostatická tlaková síla, která působí na rovinnou plochu, je k ploše kolmá a prochází těžištěm zatěžovacího obrazce. Rovná se součinu této plochy a hydrostatického tlaku v jejím těžišti. Působiště síly – hloubku hcvypočteme z rovnice JT je moment setrvačnosti k těžišťové ose – matematické tabulky

25. Tlaková síla na šikmé rovinné plochy – výpočet pomocí zatěžovacího obrazce Horizontální složka hydrostatické tlakové síly se rovná hydrostatické tlakové síle průmětu tlačené plochy do svislé roviny. Vertikální složka hydrostatické tlakové síly se rovná tíze svislého sloupce kapaliny nad tlačenou plochou až po hladinu. b je šířka zatěžované plochy, zpravidla se počítá na 1 běžný metr Celková síla působící na plochu

26. Tlaková síla na zakřivené plochy Velikost hydrostatické síly F je určena složkami Fx, Fya Fz ve směru jednotlivých souřadných os (osa z směřuje svisle vzhůru): • Vodorovné složky Fx a Fy mají velikost: • kde hTx je hloubka těžiště průmětu Ayz zatěžované plochy do roviny yza hTy hloubka těžiště průmětu Axz zatěžované plochy do roviny xz, r hustota tekutiny a g tíhové zrychlení. Svislá složka je dána: • kde V je objem hranolu se svislými stěnami, který je dole ohraničený zakřivenou plochou a nahoře průmětem zakřivené plochy do hladiny a G je tíha tohoto hranolu.

27. Horizontální složky hydrostatické tlakové síly kapaliny působící na zakřivenou plochu se rovnají hydrostatické síle na průmět plochy do svislé roviny kolmé na uvažovaný směr. Vertikální složka hydrostatické tlakové síly je určena tíhou sloupce kapaliny, omezeného dole plochou a nahoře svislou projekcí této plochy do volné hladiny. Směr výsledné síly se vypočítá z odchylek:

28. Znázorněte horizontální a vertikální složku hydrostatického tlaku s příslušnými silami

29. Řešení

34. Vypočítejte velikost tlakové síly působící na jeden běžný metr šikmé obdélníkové stěny odkloněné od vodorovné roviny o úhel a = 60°. Hloubka vody h = 3,0 m. Zdrže rozděluje pevná svislá stěna o šířce b = 3,5 m. Hloubka vody v první zdrži je h1 = 3,0 m, ve druhé h2 = 1,5 m. Vypočítejte velikost výsledné hydrostatické síly, polohu a moment, kterým je stěna překlápěna kolem osa A.

37. Vypočítejte velikost hydrostatické síly F, působící na 1 m´ (běžný metr) tížné betonové hráze a navrhněte sklon vzdušného líce hráze tak, aby hráz byla stabilní proti posunu v základové spáře se součinitelem bezpečnosti m = 1,25. Uvažujte součinitele tření j = 0,7; měrnou hmotnost betonu rb = 2400 kg/m3.

38. Horizontální a vertikální složky: Tíha hráze G: Síla působící na plochu řezu AV při zohlednění tíhy a tření: Vliv součinitele bezpečnosti

39. Plování těles Na těleso ponořené do kapaliny působí podle Archimedova teorému (těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno svislou silou -vztlakovou silou rovnou tíze kapaliny tělesem vytlačené a procházející těžištěm objemu kapaliny) vztlaková síla: kde g tíhové zrychlení a W výtlak (hmotnost kapaliny vytlačená plovoucím tělesem). Vztlaková síla FVZpůsobí svisle vzhůru v těžišti ponořené části tělesa (bod „C“). Hloubka nejnižšího bodu plovoucího tělesa tn (ponor) se vypočte z podmínky: Tíha tělesa

40. Obecně je tedy ponor vyjádřen z podmínky, že tíha vytlačené kapaliny (vody) tj. výtlaku W se rovná tíze tělesa objemu Vt, při měrné hmotnosti kapaliny r a tělesa rt . Kužel plovoucí vrcholem dolů resp. nahoru Hranol, deska o základně A a) b) c)

41. Ponor válce pro délku 1 běžný metr d) e) Ponor koule Poloměr ponorové čáry

42. Stabilita lodí - plování částečně ponořeného tělesa je stabilní, je-li působiště vztlakové síly C je nad těžištěm tělesa T. Obvykle však bývá C pod těžištěm T (vychýlení v podélném nebo bočním směru). Potom metacentrum M se nachází nad těžištěm tělesa, působiště vztlakové síly C je pod těžištěm T a platí: kde hVZje vztlaková výškaa Jo je moment setrvačnosti plavební plochy vzhledem k podélné plavební ose. Vzdálenost TM se nazývá metacentrická výška hM.

43. Síly při bočním vychýlení lodi Stabilitní moment Je-li M na ose plavání pod T, dvojice sil výchylku zvětšuje – stabilita je vratká. Stabilita plavidla se dá zlepšit zvětšením metacentrické výšky hM (snížení těžiště lodi, proto náklad do podpalubí, ale zvětšuje se houpání plavidla) nebo zvětšením momentu setrvačnosti J0 plavební plochy (plocha uzavřená ponorovou čárou tj. průsečnicí povrchu tělesa s hladinou). Druhého přístupu se využívá pro umístění zařízení pro práci pod vodou.

44. Plování plovoucího tělesa pak může být: • stabilní (plovoucí těleso vychýlené vnější silou z rovnovážné polohy se do této polohy samo vrátí); • indiferentní (např. plovoucí koule); • labilní (poměrně malé vychýlení se působením vlastní tíhy tělesa stále zvětšuje a končí jeho převržením). Těleso plove vznáší se klesá ke dnu

45. Jaká je hloubka ledu pod hladinou tn, když celková výška ledu je aL= 1,9 m. Led má měrnou hmotnost rL = 900 kg/m3, voda má měrnou hmotnost rv = 1000 kg/m3. Posuzujeme na 1m2

46. Led má měrnou hmotnost rL = 900 kg/m3. Určete ponor tn ledového kvádru o rozměrech 50x50x4 m ve vodě o měrné hmotnosti rv = 1030 kg/m3 při horizontální orientaci. Plocha, na níž tlačí je stejná.

47. Jaký čtvercový půdorysný rozměr musí mít kvádr ledu o výšce c = 0,2 m, aby unesl člověka o hmotnosti m = 70 kg. Hustota ledu je rL = 900 kg/m3. tíha ledu + tíha člověka = vztlak vody Objem vody a ledu je stejný: VL = VV, tedy V = ca2