Ruutfunktsioon

1. Ruutfunktsioon

2. Sisejuhatus Me juba teame lineaarfunktsioone: y = 4x + 1 y = -6x -2 y = (-2/3)x + 2 Nende funktsioonide graafikuteks on sirged : y = 4x + 1 Tõus on 4 y-lõikepunkton 1

3. Küsimus: Mis on ühist funktsioonidel y = 2x2 + 4x – 3 y = x2 – 4x y = -x2 – 5x + 6? Vastus: Need kõik onRUUTFUNKTSIOONID, mille üldkuju on: y = ax2 +bx + c kus a ≠ 0 Need kordajad a, b ja c aitavad sul ette näha kuidas näeb välja parabool…

4. Seos eluga Ruutfunktsioonid kujutavad järgmisi situatsioone: … palli kõrgus, jalalöögist y = -1/2(-9,8)t2 + 20t …kukkuva objekti liikumine gravitatsiooni mõjul: kõrgus = -16t2 + 100

5. Ruutfunktsiooni graafik Ruutfunktsiooni graafikutnimetatakseparabooliks Kui x2 liikme kordaja “a” on positiivne, siis parabool avaneb ülespoole Kui x2 liikme kordaja “a” on negatiivne, siis parabool avaneb allapoole Maksimumi punkt Haripunkt Miinimumi punkt y = x2 - 4 y = -x2 + 5

6. Sümmeetriatelg Iga ruutfunktsioongraafikul on sümmeetriatelg. See on vertikaalne sirge, mis läbib haripunkti ja jagab graafiku kaheks sümmeetriliseks pooleks. Jäta meelde, et ruutfunktsiooni üldkuju ony = ax2 +bx + c X = -2 Ruutfunktsioonisümmeetriatelje võrrand on x = -b/(2a) Antud näites asendame a=1 ja b=4 ja saame võrrandi: x = - 4/2 x = - 2 x2 + 4x + 4

7. Graafiku haripunkti leidmine Graafikust on näha, et haripunktasub sümmeetriateljel… …sellest järeldub, et haripunkti x-koordinaadiväärtus järjestatud paaris (x,y) on –b/(2a), mis on antud juhul-2. x = -2 Siis me asendame x selle väärtusega võrrandis ja arvutame, mis on y- koordinaadiväärtus : y = (-2)2 + 4(-2) + 4 y = 4 – 8 + 4 y = 0 (-2,0) Haripunkti koordinaadid on (-2,0) y = x2 + 4x + 4

8. Ruutfunktsiooni nullkohad Ruutfunktsiooni nullkohad on x väärtused, mille puhul funktsiooni väärtus võrdub nulliga ( y = 0 ). Kui funktsioon on joonestatud,siis nullkohad on punktid, milles graafik lõikab x -telge (y = 0 ). Ruutfunktsioonil võibollakaks, üks või null nullkohta. Nendel paraboolidel vastavaltonkaks… … üks … või null nullkohta.

9. Diskriminant Kas on võimalik saada teda,mitu nulllkohta on ruutfunktsioonil ilma graafikut joonestamata? Jah! Me võime kasutada diskriminanti.Diskriminant on avaldis: b2 – 4ac, mis ütleb meile mitu nullkohta on ruutfunktsioonil! Kui diskriminant on positiivne, siis on olemaskaks nullkohta. Kui selle väärtus on null, siis on olemasainultüksnullkoht ja kui väärtus on negatiivne, siis onnull nullkohtasellel funktsioonil.

10. Kokkuvõte: Nüüd tulebülesanne, mille lahendusel saab kasutada kõike, mida me oleme selgeks õppinud… • On antud funktsioon y = 5x – x2 + 6 • Kirjelda, kas funktsiooni graafik ehk parabool avaneb ülespoole või allapoole. • Kirjuta graafiku sümmeetriatelje võrrand. • Leia parabooli haripunkti koordinaadis. • Määra, mitu nullkohta on funktsioonil. • Joonesta funktsiooni graafik.

11. Kokkuvõte: • On antud funktsioon = 5x – x2 + 6 • Kirjelda, kas funktsiooni graafik ehk parabool avaneb ülespoole või allapoole. Kirjutame võrrandi standardkujul:. y = -x2 + 5x + 6 Selle kordajad on a = -1, b = 5 ja c = 6 Antud parabool avaneb allapoole, kuna x2 liikme kordaja a , on negatiivne.

12. Kokkuvõte: y = -x2 + 5x + 6 a = -1, b = 5 ja c = 6 On antud funktsioon y = 5x – x2 + 6 b) Kirjuta graafiku sümmeetriatelje võrrand Sümmeetriatelje võrrand on määratud valemiga x = -b/(2a) . Antud ülesandes me saame x = -5 / (2 ·(-1)) x = -5 / (-2) x = 5/2 x = 2,5 x = 2,5

13. Kokkuvõte: On antud funktsioon y = 5x – x2 + 6 c) Leia parabooli haripunkti koordinaadid y = -x2 + 5x + 6 a = -1, b = 5 ja c = 6 Haripunktiabstsisskoordinaat asub sümmeetriateljel. Jäta meelde, et selle sirge võrrand on x = 2,5 Seegaharipunkt on ( 2,5 , y ) ( 2.5 , 12.25 ) y koordinaadi võid arvutada asendates x 2,5-ga ja arvutades y…. F(x) = y = -(2,5)2 + 5(2,5) + 6 y = -6,25 + 12,5 + 6 y = 12,25 Seega haripunkt on ( 2,5 ; 12,25 )

14. Kokkuvõte: On antud funktsioon y = 5x – x2 + 6 d) Määra mitu nullkohta on funktsioonil y = -x2 + 5x + 6 a = -1, b = 5 ja c = 6 Me vastame sellele küsimusele, kui leiamediskriminandi väärtus. Diskriminant = b2 – 4ac D = (5)2 – (4)(-1)(6) D = 25 – (-24) D = 25 + 24 D = 49 Kuna diskriminandi väärtus on positiivne, peab funktsioonil olemakaks nullkohta.

15. Kokkuvõte: On antud funktsioon y = 5x – x2 + 6 e) Joonesta funktsiooni graafik y = -x2 + 5x + 6 a = -1, b = 5 ja c = 6 Me juba teame funktsioonisümmeetriatelge ja haripunkti. (2.5,12.25) (1,10) Selleks, et leida veel graafiku 4 punkti koostame tabeli, pannes haripunktikeskele. (4,10) (0,6) (5,6) Null-kohad

16. Kokkuvõte Ruutfunktsiooni kuju ony = ax2 + bx + c. Ruutfunktsiooni graafikut nimetatakseparabooliks. Kui a < 0, siis parabool avaneb allapoole. Kui a > 0, siis parabool avaneb ülespoole. Ruutfunktsiooni graafikul on sümmeetriatelg. Ruutfunktsiooni sümmeetriatelje võrrand on x = -b/(2a).Parabooliharipunktasub sümmeetriateljel. Ruutfunktsioonil võibollakaks, üks või null nullkohta. Discriminant on funktsiooniväärtus, mis avaldub avaldisena: b2 – 4ac, mis räägib meile, mitu nullkohta on funktsioonil.