Optica Geométrica

1. Optica Geométrica Reflexión y refracción de la luz

2. Introducción La luz es algo que sale del Sol, inunda nuestro medio y, con la ayuda de nues-tros ojos, nos permite ver. Estudiar esta "cosa" intangible fue un reto para los que se acercaban al cono-cimiento de la naturaleza. ¿Cómo hacerlo?... ¿Analizando el ojo?... ¿Tratando de separar la luz en partes y manipulándola ?..... ¿Haciéndola chocar con los objetos? ¿Mirando qué le pasa cuando atraviesa algunos cuerpos que no la hacen desaparecer?. Este fue el camino que dio lugar al nacimiento de la Óptica Geométrica. Está claro que la luz viene del Sol y también de una llama, pero ¿qué le ocu-rre a la materia ardiente para que emita luz?

3. Hoy sabemos que la luz se origina en los átomos debido a la caída de los electrones a órbitas in-feriores. El estudio de la luz empezó aislando una parte de ella en haces más o menos finos y de esta mane-ra se llegó al concepto de rayo. Desmenuzar la luz en partes, estudiar su marcha y el proceso de formación de imágenes, fue un gran logro y en el participaron grandes científicos como Newton, Descartes, Young.... Los científicos empezaron por observar la acción de los espejos sobre la luz y estudiando cómo y dónde se formaban las imágenes dadas por ellos. Estudiaron también lentes y dedujeron las leyes que rigen la formación de sus imágenes.

4. Todo esto es lo que estudia la Óptica Geométrica Al aumentar el conocimiento de la naturaleza de la materia se descubrieron otras partes conceptuales más profundas de la naturaleza de la luz y surgie-ron otras partes de la óptica como la Óptica Física que trata de la naturale-za de la luz y de sus características ondulatorias La Óptica Cuántica que estudia la acción de las partículas que lleva la luz (fotones) con la materia y todas las implicaciones cuánticas Cuando se mira un rayo de luz se debe pensar que su naturaleza es igual a la de la electricidad ya que es una radiación electromagnética.

5. REFLEXIÓN Es el cambio de dirección que experimenta un rayo luminoso al chocar con la superficie de un objeto. El fenómeno más evidente de la reflexión en el que se refleja la mayor parte del ra-yo incidente sucede cuando la superficie es plana y pulimentada (espejo). ÁNGULO DE INCIDENCIA y ÁNGULO DE REFLEXIÓN Se llama ángulo de incidencia “i” el for-mado por el rayo incidente y la normal. La normal es una recta imaginaria perpendicular a la superficie de separa-ción de los dos medios en el punto de contacto del rayo. El ángulo de reflexión “r” es el formado por el rayo reflejado y la normal.

6. REFLEXIÓN: LEYES El rayo marcha perpendicular al frente de las ondas Cuando un rayo incide sobre una superficie plana, pulida y lisa y rebota ha-cia el mismo medio decimos que se refleja y cumple las llamadas : "leyes de la reflexión“.

7. REFLEXIÓN: LEYES 1.- El rayo incidente forma con la normal un ángulo de incidencia que es igual al ángulo que forma el rayo reflejado con la normal, que se llama ángulo reflejado. 2.- El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal están en un mismo plano. El rayo incidente define con la normal en el punto de contacto, un plano. El rayo reflejado estará en ese plano y no se irá ni hacia delante ni hacia atrás.

8. REFRACCIÓN DEFINICIÓN Es el cambio de dirección que experimenta un rayo de luz cuando pasa de un medio transparente a otro también transparente. Este cambio de dirección es-tá originado por la distinta velocidad de la luz en cada medio.

9. ANGULO DE INCIDENCIA Y ANGULO DE REFRACCIÓN • Se llama ángulo de incidencia“ i “  el formado por el rayo incidente y la • normal. • La normal es una recta imaginaria perpendicular a la superficie de se- • paración de los dos medios en el punto de contacto del rayo. • El ángulo de refracción “ r‘ “ es el formado por el rayo refractado y la • normal. INDICE DE REFRACCIÓN Se llama índice de refracción absoluto "n" de un medio transparente al co-ciente entre la velocidad de la luz en el vacío ,"c",  y la velocidad que tie- ne la luz en ese medio, "v". El valor de "n“ es siempre adimensional y mayor que la unidad, es una constante característica de cada medio: n = c / v

10. ÍNDICE DE REFRACCIÓN Se puede establecer una relación entre los índices de los dos me-dios n2 y n1 _________________________________________________________ Sustancias Aire Agua Plexiglas Diamante _________________________________________________________ Indices de refracción1.00029 1.333 1.51 2.417 _________________________________________________________

11. REFRACCIÓN: LEYES Un rayo se refracta (cambia de dirección) cuando pasa de un medio a otro en el que viaja con distinta velocidad. En la refracción se cumplen las si-guientes leyes: 1.- El rayo incidente, el rayo refractado y la normal están en un mismo plano. 2.- Se cumple la ley de Snell: Por lo tanto, tendremos: n1sen i = n2 sen r

12. REFRACCIÓN: LEYES Cuando la luz se refracta cambia de dirección porque se propaga con distinta velocidad en el nuevo medio. Como la frecuencia dela vibración no varía al pasar de un medio a otro, lo que cambia es la longitud de onda de la luz como consecuencia del cambio de velocidad. Por tanto, la onda al refractarse cambia su longitud de onda: l = v T = v / n Un rayo incidente cambia más o menos de dirección según el ángulo con que incide y según la relación de los índices de refracción de los medios por los que se mueve.

13. Mientras en el medio amarillo en un tiempo"t" avanza una distancia BM, en el medio verde avanza AN. Si V1 es la velocidad en el medio amarillo y V2 la velocidad en el medio verde: n1 = C / V1 n2 = C / V2 BM = V1· t AN = V2 · t Ley deSnell El frente de ondas AB que avanza en el medio amarillo empieza a tocar el medio verde en el punto A. En el medio verde se propaga más lentamente El rayo es perpendicular al frente de las ondas y la normal es perpendicular a la superficie de separación. En la figura vemos que el ángulo "i" (ángulo de incidencia) es igual al ángulo BMA, por tener los ángulos BMA y POB los lados perpendiculares.

14. Ley deSnell El ángulo de refracción "r" es igual al ángulo AMN por tener los ángulos QOS y AMN los lados perpendiculares. Por la definición de seno: sen i = BM/MA; sen r = AN/ MA Dividiendo “sen i” entre “sen r” ob-tenemos:  Por lo tanto: lo que lleva a la Ley de Snell n1·sen i = n2 ·sen r

15. Demostración de la Ley deSnell

16. ÁNGULO LÍMITE Cuando se estudia el caso en que la luz pasa de un medio menos refringente a otro más refringente ( esto es, n2 > n1 , como por ej. aire → vidrio ó aire → agua). El ángulo de incidencia va a ser siempre mayor que el de refracción ( α > β ) Sin embargo, cuando se produce la refracción entre un medio cual-quiera y otro menos refringente que él (o sea, n1 > n2 , como p. ej. Vidrio → aire ó agua → aire). El ángulo de refracción va a ser siempre mayor que el inci-dencia ( β > α).

17. Se define el ángulo límite, αlim , como el ángulo de refracción a partir del cual desaparece el rayo refractado y toda la luz se refleja. Como el valor máximo del ángulo de refracción, a partir del cual todo se refle-ja, es βmáx= 90º, podremos conocer el ángulo límite por la ley de Snell En el caso particular de refracción vidrio → aire se tiene:

18. Para ángulos de incidencia mayores que él, el ángulo de refracción será mayor de 90º y el rayo no será refractado, ya que no pasa de un medio a otro: se produce una reflexión total interna. ÁNGULO LÍMITE Al incidir un rayo sobre una superficie transparente parte de él se refleja. SIEMPRE QUE SE PRODUCE REFRACCIÓN TAMBIÉN SE PRODUCE REFLEXIÓN Una parte del rayo incidente se refleja y la otra se refracta. Cuando un rayo se refleja sin penetrar en el otro medio, parte de él es absorbido por la interacción con los átomos. Siempre que la radiación atraviesa un me-dio, una parte de ella es absorbida por el medio (no se transmite toda).

19. Aplicación Fibra Optica

26. Principios básicos de la fibra óptica La fibra óptica se usó inicialmente en las plataformas principales de las redes de Telecomunicaciones, hoy se está instalando rápidamente en las redes de distribución y ya está llegando al abonado. Mientras la tecnología que soporta la fibra óptica es compleja, y su proceso industrial muy sofisticado, el propio producto final es sorprendentemente amistoso al usuario El hecho es que, hoy, la tecnología de fibra óptica supera de lejos a la del cobre, pero realmente es más fácil trabajar con ella.

27. Ya que el núcleo y el cladding circundante tienen composiciones diferentes, la luz es atrapada dentro del núcleo. Al extremo opuesto, un receptor cam-bia los pulsos regresándolos a señales eléctricas. El principio de operación de la fibra óptica esta basado en el principio de la reflexión interna total. En la figura, n=Indice de Refracción. Cuando n1 > n2, la fibra tiene Reflexión interna total.

28. Composición básica de una fibra óptica La fibra óptica básica esta compuesto de tres capas concéntricas que difie-ren en propiedades: Núcleo (Core): La parte interna que conduce la luz. Revestimiento (Cladding): la capa media que sirve para con-finar la luz en el centro. Buffer ó Recubrimiento: la capa exterior que sirve como un "amortiguador" para proteger al núcleo y al cladding de algún daño. Las capas concéntricas de una fibra óptica incluye al núcleo que lleva la luz, el cladding y el buffer de protección

29. ¿Como se propaga la información (luz) en la fibra óptica? La fibra óptica está compuesta por dos capas de vidrio, cada una con distinto índice de refracción. El índice de refracción del núcleo es mayor que el del revestimiento, ra-zón por la cual, y debido a la diferencia de índices de refracción, la luz introducida al interior de la fibra se mantiene y propaga a través del nú-cleo Se produce por ende el efecto denominado de Reflexión Total • La luz inyectada en el núcleo choca en las interfaces nucleo-clading • con un ángulo mayor que el ángulo crítico reflejándose hacia el núcleo • Desde que los ángulos de incidencia y reflexión son iguales, el rayo • de luz continúa en zigzag sobre toda la longitud de la fibra.

30. La luz es atrapada en el núcleo. La Luz que golpea las interfaces nucleo-clading con un grado menor al ángulo crítico se pierde en el cladding. Los Rayos de Luz con ángulo menor al ángulo crítico se pierden en el cladding, las otras son atrapadas en el núcleo por la reflexión total de la misma. Los rayos de luz pueden entrar a la fibra óptica si el rayo se halla contenido dentro de un cierto ángulo denominado CONO DE ACEPTACIÓN.

31. CONO DE ACEPTACIÓN Un rayo de luz puede perfectamente no ser transportado por la fibra óp-tica si no cumple con el requisito del cono de aceptación. El cono de aceptación está directamente asociado a los materiales con los cuales la fibra óptica ha sido construida. Cono de aceptación en Fibras ópticas

32. La apertura numérica (NA.) La apertura numérica (NA) De acuerdo a la estructura de la fibra el índice del núcleo n1 es ligera-mente superior a la de revestimiento n2 y su ángulo límite o crítico esta representado por la siguiente expresión: Todos a los rayos que inciden con un angulo menor que ( 90 – α0 ) con respecto al eje son conducidos por la fibra. Conducción de la luz en un conductor de fibra óptica

33. Para acoplar al núcleo un rayo luminoso desde el exterior de la fibra (aire con índice de refracción n0 =1), el ángulo (entre el rayo luminoso y el eje de la fibra) se rige de acuerdo a la ley de refracción: Considerando la condición de ángulo límite: Se obtiene: El máximo ángulo de acoplamiento Θmax se denomina ángulo de aceptación del conductor de fibra optica y depende únicamente de los indices de refracción Al (sen Θmax ) se denomina Apertura Numerica (AN) del conductor de la Fibra Optica

34. Observaciones: • Una NA alto recoge más luz, pero se reduce el ancho de banda. Una • NA más bajo aumenta en ancho de banda. • Una NA grande hace más fácil la inyección de la luz en una fibra, • mientras un NA pequeño tiende a dar un ancho de banda más gran- • de en la fibra. • Una NA grande permite una dispersión modal mayor permitiendo más • modos en los que la luz puede viajar. Un NA más pequeño reduce la • dispersión limitando el número de modos.

35. Principio de Fermat

36. Principio de Fermat Imagina que nos encontramos en la costa, lejos de la orilla, en un punto A y en el mar, alejado de la orilla, una persona cae de una barca en un punto B. Nosotros vemos el accidente y podemos acudir corriendo y luego nadando....¿Qué hacemos? ¿Vamos en línea recta?¡sí, sin duda!.... Sin embargo, si usáramos un poco más la inteligencia nos daríamos cuenta que es ventajoso correr una distancia un poco mayor por tierra para disminuir la distancia que debemos nadar, porque nos movemos más lentamente por el mar que por la tierra.

37. Principio de Fermat Es preferible recorrer un mayor camino para tardar el menor tiempo po-sible ya que ésta es la magnitudque interesa para salvar a la persona de morir ahogada. Pues bien, esto es lo que hace la luz para ir de A hacia B cuando cambia de medio de propagación.

38. Este principio afirma lo siguiente: El camino que, entre todos los posibles, sigue un rayo de luz para ir de un punto a otro, es aquel en que la luz emplea un tiempo mínimo. Y si cumple este principio debe incidir y rebotar con los ángulos que se ex-presan en la ley de la reflexión y refracción (ley de Snell). Por lo tanto el principio de Fermat y las Leyes de la reflexión son la expli-cación del mismo hecho desde dos puntos de vista diferentes

39. Explicación matemática del Principio de Fermat El medio superior aire tiene de índice de fracción n1 y el otro medio (agua) n2. La velo-cidad de la luz en el vacío es “c” y la velocidad en cada medio v1 y v2. n1= c/ v1 ; n2= c/ v2 L1 es la distancia recorrida en el medio 1 y L2la recorrida en el medio 2.El tiempo que tarda la luz en recorrer el camino total AB es t.

40. Explicación matemática del Principio de Fermat Cuando el rayo va por el camino en que se encuentra el punto P el camino recorrido será mínimo y sucede lo siguiente: Por el teorema de Pitágoras sabemos que las distancias L1 y L2 valen La derivada del tiempo respecto a la dis-tancia debe ser cero para el mínimo de la función tiempo frente a distancia. De todos los caminos posibles, el elegido por la luz, en la refracción, es aquel en el que emplea un tiempo mínimo.

41. Es un problema del mínimo de una función: Su derivada pri-mera será cero   Sustituimos L por su valor respecto a x:

42. Derivando se obtiene:  pero x /L1 es justamente el seno del ángulo. Procediendo de manera análoga para la distancia L2, tenemos  Reemplazando dL1 / dt y dL2 / dt en: se obtiene Ley de Snell 

43. Esto demuestra que la luz, cuando va de un lugar a otro, e incluso cuando cambia de medio, siempre va por el camino donde emplea menos tiempo, incidiendo y saliendo con los ángulos dados por la ley de Snell. Camino Óptico Camino óptico de un punto A a otro B, es el camino que recorrería la luz en el vacío en el mismo tiempo que tarda en ir de A hasta B. C = n1 d1 + n2 d2 = c ( t1 + t2 ) (d1 y d2 son las distancias recorridas en cada medio)