Università degli Studi di Bologna

1. Università degli Studi di Bologna Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Ottimizzazione Combinatoria ALGORITMI EURISTICI PER PROBLEMI DI PACKING di Alberto Nuzzo Relatore: Chiar.mo Prof. Ing.Paolo Toth Correlatori: Prof. Ing. Alberto Caprara Dott. Ing. Michele Monaci Anno Accademico 2001-2002

2. Il Bin Packing Problem Dati: n oggetti (items) con peso wj > 0 (j =1,…,n) m contenitori (bin) identici con capacità c Obiettivo: inserire tutti gli items nei bin in modo che: • in ogni bin la somma dei pesi degli items inseriti non superi la capacità del bin stesso • il numero dei bin utilizzati sia minimo

3. Il Bin Packing Problem • Applicazioni: • taglio di unità standard di materia prima; • imballaggio per problemi di • immagazzinamento e di trasporto; • impaginazione articoli nei giornali; • problemi di determinazione di layout.

4. Indicando con : • n numero di oggetti da inserire • m numero di contenitori a disposizione • N = {1, .. ,n} insieme degli oggetti da considerare • M = {1, ..,m} insieme dei contenitori disponibili • wj peso dell’oggetto j con wj 1 ( j  N) • c capacità dei contenitori posta pari a 1 Il Bin Packing Problem Modello Matematico “tradizionale”:

5. min yi (1) subject to xij = 1  j  N (2) wj xij  yi i  M(3) yi {0,1} i  M (4) xij {0,1} i  M,  j  N (5) Il Bin Packing Problem Modello Matematico “tradizionale”: BPP Complessità: NP-HARD

6. Sia S la famiglia di tutti gli insiemi di oggetti costituenti riempimenti massimali ammissibili, ovvero: S = {S  N : wj 1 , wj > 1 i  N\S } risulta: min SSS subject to S 1  j  N S 0 S S S intero  S S dove: S = Il Bin Packing Problem Modello Matematico di tipo Set-Covering:

7. S 1  j  N S 0 S S S intero  S S Il Bin Packing Problem Modello Matematico di tipo Set-Covering: min SSS subject to dove: S = • Caratteristiche: • |S| elevata • Set Covering  NP-Hard

8. Il Two-Dimensional Vector Packing Problem Generalizzazione del BPP è l’m-Dimensional Vector Packing Problem (m-DVPP) in cui: • ogni oggetto j ha m attributi wj1,…,wjm ≥ 0 (j=1,…,n) con wji > 0 • i contenitori hanno m capacità c1,…,cm > 0 Ogni attributo è indipendente dagli altri. 2-DVPP: caso particolare del m-DVPP dove: gli attributi degli oggetti e dei relativi contenitori sono 2

9. min yi xij = 1  j  N wjxij yi i  M vjxij yi i  M yi0,1 i  M xij0,1 i  M,  j  N Il Two-Dimensional Vector Packing Problem Modello Matematico “tradizionale”: subject to dove: wj 1 peso dell’oggetto j nella prima dimensione (j=1,…,n) vj 1 peso dell’oggetto j nella seconda dimensione (j=1,…,n) c = d = 1 capacità contenitori nelle due dimensioni

10. Modello Matematico di tipo set-covering: Tale modello risulta invariato a meno della ridefinizione di S: S =  S  N : wj 1 AND vj 1 , wj > 1 OR vj > 1 i  N\S  Il Two-Dimensional Vector Packing Problem

11. Il Two-Dimensional Bin Packing Problem Generalizzazione del BPP è l’m-Dimensional Bin Packing Problem (m-DBPP) in cui:   ogni oggetto j ha m dimensioni wj1,…,wjm > 0 (j=1,…,n)   i contenitori hanno m capacità c1,…,cm > 0 Le varie dimensioni sono tra loro correlate. 2-DBPP: caso particolare dell’m-DBPP dove: le dimensioni degli oggetti e dei relativi contenitori sono 2

12. Il Two-Dimensional Bin Packing Problem Applicazioni: • Problemi di impaccamento e caricamento veicoli; • problemi di gestioni risorse; • problemi di taglio di unità standard di materia prima.

13. w1 h1 1 2 3 4 5 6 7 Items W y H 6 7 1 2 Bin 1 3 4 5 Bin 2 x Il Two-Dimensional Bin Packing Problem

14. Il Set Covering Problem Definiamo: A = (aij) matrice binaria di m righe ed n colonne se aij = 1 si dice che la colonna j copre la riga i c = (cj) vettore n-dimensionale dei costi dove cj rappresenta il costo della colonna j ( j  S ) Obiettivo: determinare un sottoinsieme di colonne S  N, di costo minimo, tale che ogni riga i  M sia coperta come minimo da almeno una colonna j  S

15. min cjxj (1) subject to aijxj 1  i  M (2) xj0,1 j  N (3) dove: (j  S) xj = Nel caso dei problemi in esame si considera: cj = 1 j  N Il Set Covering Problem Modello Matematico è il seguente:

16. MATRICE SCP Algoritmo Proposto Calcolo Lower Bound Algoritmi Euristici RIEMPIMENTI Algoritmo Esatto Soluzione Ottima Fine Algoritmo Algoritmi Euristici Perturbati Hashing C F T Y K I

17. Algoritmi Euristici RIEMPIMENTI Fase 1 Algoritmo Esatto Soluzione Ottima Fine Algoritmo Algoritmi Euristici Perturbati Hashing Algoritmo Proposto Calcolo Lower Bound Y K I MATRICE SCP

18. Sistema Utilizzato Gli algoritmi presentati relativamente alla Fase 1 sono implementati in FORTRAN 77, mentre l’algoritmo YKI è implementato in C++ e sono stati testati nel laboratorio di Ricerca Operativa su un calcolatore in dotazione al dipartimento del D.E.I.S., con le seguenti caratteristiche: Processore: PIII Frequenza: 700Mhz Memoria: 128Mb di RAM.

19. Le Istanze per il 2-DVPP • 10 Classi ( 1,...,3 Spieksma; 4,...,10 Caprara e Toth); • Per ogni Classe problemi con n oggetti, dove n assume i valori di: 25, 50, 100, 200 ( 4 Dimensioni ); • 10 Istanze per ogni categoria Classe-Dimensione; • Classe 10 Numero n di oggetti multiplo di tre, dove n assume i valori di: 24, 51, 99, 201.

20. Le Istanze per il 2-DBPP • 10 Classi ( 1,...,6 Berkey e Wang, 7,...,10 Martello e Vigo); • Per ogni Classe problemi con n oggetti, dove n assume i valori di: 20, 60, 80, 100 ( 5 Dimensioni ); • 10 Istanze per ogni categoria Classe-Dimensione.

21. Alberto Nuzzo: 2-DVPP TFASE1 = 90 sec, TES = 9, TCFT = 90, TYKI = 600

22. 2-DBPP TFASE1 = 45 sec, TES = 9, TCFT = 135, TYKI = 600

23. 2-DBPP TFASE1 = 45 sec, TES = 9, TCFT = 135, TYKI = 600 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

24. CONCLUSIONI Nei due problemi presi in esame, cioè il 2-DVPP e il 2-DBPP, l’algoritmo CFT offre in quasi tutte le istanze risultati migliori dell’algoritmo YKI. L’algoritmo YKI fornisce un lower bound sensibilmente più alto, quindi migliore, in quasi tutte le istanze considerate.