Algoritmer og Datastrukturer 1 Merge-Sort [CLRS, kapitel 2.3] Heaps [CLRS, kapitel 6]

1. Algoritmer og Datastrukturer 1 Merge-Sort [CLRS, kapitel 2.3]Heaps [CLRS, kapitel 6] Gerth Stølting Brodal

2. Merge-Sort(Eksempel på Del-og-kombiner) A sorteret sorteret n p q q+1 r 1 I startenkaldesMerge-Sort(A,1,n)

3. p k q r n 1 A } } sorteret sorteret n2 n1 kopi } R  sorteret flet n2+1 j 1 L  sorteret n1+1 1 i

4. Merge-Sort : Analyse Rekursionstræet Observation Samlet arbejde per lag er O(n) Arbejde O(n· # lag) = O(n· log2 n)

5. Heap-Sort

6. Binær (Max-)Heap 19 1 17 16 heap-order 12 ≤ 17 2 3 12 9 15 1 4 5 6 7 2 11 7 3 10 14 8 9 10 11 12 13 Williams, 1964

7. Max-heap : Egenskaber • Roden : knude 1 • Børn til knude i : 2i og 2i+1 • Faren til knude i: └i / 2┘ • Dybde : 1+└log2n┘ ( n= antal elementer) 19 1 17 16 2 3 12 9 15 1 4 5 6 7 2 11 7 3 10 14 8 9 10 11 12 13

8. 5 17 16 12 9 15 1 2 11 7 3 10 14 17 12 16 11 9 15 1 2 5 7 3 10 14 Max-Heapify Før Efter Tid O(log n)

9. Heap-Sort Floyd, 1964 Williams, 1964 Tid O(n·log n) Max-Heap sorteret

10. Build-Max-Heap Max-Heapify stierne (eksempel) Ikke-overlappende stier med samme #kanter (højre, venstre, venstre... ) Tid for Build-Max-Heap = Σ tid for Max-Heapify = #røde kanter ≤#røde kanter = n - dybde = O(n) Tid O(n)

11. Sorterings-algoritmer

12. 19 1 17 16 2 3 12 9 15 1 4 5 6 7 2 11 7 3 10 14 8 9 10 11 12 13 Max-Heap operationer

13. Max-Heap operation n = aktuelle antal elementer i heapen

14. Prioritetskø En prioritetskø er en abstrakt datastruktur der gemmer en mængde af elementer med tilknyttet nøgle og understøtter operationerne: • Insert(S, x) • Maximum(S) • Extract-Max(S) Maximum er med hensyn til de tilknyttede nøgler. En mulig implementationaf en prioritetskø er en heap.