tesi d’esame di Stato di Giacomo Mezzedimi 5° E Liceo Scientifico A. Volta

1. GLI ALEPH DI CANTOR tesi d’esame di Stato di Giacomo Mezzedimi 5° E Liceo Scientifico A. Volta Anno scolastico 2012-2013

2. Indice • Introduzione • Cos’è l’infinito in matematica? • Il concetto di infinito • Le definizioni di ∞ • La prima definizione • La seconda definizione • ∞ e gli insiemi numerici • ∞,N, Z e Q • ∞ e r • L’ipotesi di Cantor • 0 e 1 • E dopo 1? • Accenni e considerazioni finali • Bibliografia/sitografia

3. Introduzione Al momento della decisione dell’argomento per la mia tesina d’esame, mi sono trovato subito in difficoltà. Avevo troppe (veramente!) idee per la testa, e l’eccesso forse è anche peggio della mancanza. Argomenti tutti di capitale importanza e incredibile fascino, dal teorema d’incompletezza di Gödel, alla vita del povero Evariste Galois e alla sua teoria degli insiemi, a Turing e alla sua famosa “macchina”, all’ipotesi del continuo (appunto). Ho sentito parlare per la prima volta di Cantor l’anno scorso, ad un seminario sull’infinito durante lo stage estivo della scuola Normale, e mi ha subito affascinato. Innanzitutto mi ha attirato l’ingegnosità dei passaggi logici della sua ipotesi, ma anche la sfacciataggine di arrivare a conclusioni paradossalmente corrette dal punto di vista matematico. Voglio subito precisare che la mia non è una spiegazione precisa: ho evitato le dimostrazioni più difficili cercando però sempre di comunicare almeno intuitivamente i vari perché. Prima di iniziare voglio chiedere scusa al lettore e a Gödel per aver introdotto il suo incredibile teorema in due righe e non averlo sufficientemente svolto: è ovvio intuire che questa decisione è stata presa per mancanza di tempo e di spazio, ma ho comunque voluto citarlo perché dà almeno una motivazione alla altrimenti paradossale ipotesi di Cantor. Scusandomi in anticipo per eventuali errori di ogni tipo, auguro una buona lettura.

4. Il concetto di infinito Da sempre il concetto di infinito è uno dei più affascinanti dell’intera matematica; anzi, dire così sarebbe addirittura riduttivo, in quanto non solo matematici hanno sudato per capirlo, ma anche filosofi, poeti e studiosi in generale. D’altro canto, i primi hanno affrontato lo scoglio in un modo diverso rispetto ai secondi: hanno cercato di spiegare e definire in un modo rigoroso e razionale l’infinito stesso, che appunto rappresenta l’irrazionale, il trascendente per eccellenza. Preliminarmente hanno assegnato ad esso un simbolo, ∞, con cui poter lavorare matematicamente; hanno cercato poi di definirlo, e qui hanno trovato difficoltà a prima vista insormontabili, che li portavano a conclusioni completamente illogiche e contro il senso comune. (Per inciso, l’infinito riesce sempre a sorprendere: Sia I1 = {1;2;4;8;…;2n} e sia n la somma di tutti questi numeri. Sia I2= {2;4;8;…;2n+1} , ottenuto raddoppiando ogni numero dell’insieme precedente; la somma di questi numeri sarà quindi 2n. Ma in I2 ci sono tutti i numeri di I1 tranne l’1, quindi 2n+1=n  n=-1 La somma quindi di tutte le potenze di 2 è uguale a -1)

5. Definire ∞ La prima, antica e banale definizione di ∞ concorda perfettamente con l’etimologia che ∞ ha presso tutte le lingue del mondo: in italiano è “in-finito”, cioè “non-finito”. Semplicemente i teorici affermavano che: se A è il finito, ∞ = ¬A. Per poter dire questo, però, davano per scontato il fatto di sapere cos’è il finito, A. Ed era qui la difficoltà maggiore che incontravano: come si può definire la finitezza in modo rigoroso, se si presenta in svariate e numerose sfaccettature? Dire “un insieme A è finito se contiene un numero finito di elementi” è una proposizione autoreferenziale, cioè cerca di definire l’oggetto tramite l’oggetto stesso, ed è quindi inutile. Non riuscendo a progredire in alcuna direzione, i matematici, ed uno in particolare, Bernard Bolzano, ebbero la brillante idea di capovolgere la situazione: definiamo in primo luogo ∞ come B e consideriamo il finito come ¬B. Per rendere l’idea, il finito dovrebbe chiamarsi “ininfinito”. Non rimaneva altro che definire ∞ senza mai utilizzare il concetto di finito, passo che lo stesso Bolzano riuscì a compiere: “Un insieme A si definisce infinito se e solo se si può stabilire una corrispondenza biunivoca fra A e ogni sottoinsieme di A” (xA  BA ! yB| xy)  A= ∞ In altre parole: “Un insieme si dice infinito se e solo se è equipotente (equinumeroso) rispetto a ogni suo sottoinsieme” A=∞ BA  |A|=|B|

6. Le definizioni di ∞ Fermiamoci un attimo ad analizzare le due definizioni: la prima sfrutta il concetto di relazione biunivoca fra due insiemi, la seconda quello di cardinalità (= numero degli elementi che contiene l’insieme). 1) Una relazione AB si definisce biunivoca quando ad ogni elemento di A associa UNO ED UN SOLO elemento di B. Esempio: A B

7. Conseguenze (più o meno) paradossali Se parliamo di insiemi finiti riusciamo senza problemi a stabilire se fra A e B è possibile costruire una relazione biunivoca, ed altrettanto facilmente riusciamo a definirla. Quando però iniziamo a trattare di insiemi infiniti, le cose si complicano. Partiamo dalla banale domanda “Sono più i numeri pari o i numeri naturali?”. A prima vista chiunque risponderebbe “i numeri naturali”, perché la matematica ci insegna che i numeri pari sono una parte dei naturali, e quindi sono di meno. Sfruttando però la prima definizione di insieme infinito, possiamo costruire una relazione del genere: associamo ad ogni numero naturale il proprio doppio. Nell’insieme A avremo quindi TUTTI i numeri naturali, mentre B conterrà TUTTI i numeri pari. Abbiamo evidentemente associato OGNI naturale ad UNO ed UN SOLO pari, senza tralasciarne alcuno. Possiamo quindi concludere che i numeri pari sono tanti quanti i numeri naturali. Analogamente potremmo dimostrare che i naturali sono tanti quanto i relativi, quanto i quadrati perfetti e così via…

8. Le definizioni di ∞ 2) La seconda definizione è più semplice, ma deriva direttamente dalla prima. Se esiste una relazione biunivoca fra due insiemi A e B, necessariamente gli insiemi A e B devono contenere lo stesso numero di elementi: poiché ad ogni elemento di A ne corrisponde uno e uno solo di B, essi devono essere in ugual numero. La seconda definizione afferma quindi che un insieme è infinito se contiene tanti elementi quanti un suo sottoinsieme. Questa seconda definizione appare decisamente paradossale: come è possibile che un sottoinsieme contenga lo stesso numero di elementi dell’insieme di cui è sottoinsieme? |A| significa “cardinalità di A” ed indica il numero di elementi che contiene A. Se A=1;2;a;n, allora |A|=4

9. Conseguenze (più o meno) paradossali IL PARADOSSO DELL’HOTEL DI HILBERT: Su un pianeta sconosciuto di un altro universo si trova un bellissimo hotel, l’hotel “∞”, che (non si sa come) ha un numero infinito di stanze singole. Questo hotel è completamente pieno, quando all’improvviso arriva uno sperduto viaggiatore dello spaziotempo che ha bisogno di una stanza. “Purtroppo siamo pieni”, dice il direttore. Il cameriere, che passa di lì, dice al capo: “Mi scusi direttore ma se ogni nostro cliente si spostasse dalla propria camera a quella successiva, cioè quello della 1 nella 2, quello della 2 nella 3 e quello della n nella n+1, la camera 1 rimarrebbe vuota e potrebbe ospitare questo viaggiatore. “Accidenti, è vero!”, esclama il direttore, e così il nostro amico hauna stanza per sé. Passano pochi minuti quando all’hotel arriva un’intera comitiva, e non una qualunque, ma una infinita! Il direttore è in crisi, ma il solito cameriere propone di nuovo: “Facciamo spostare ogni nostro cliente dalla propria camera a quella col numero doppio, cioè quello della 1 nella 2, quello della 2 nella 4 e quello della n nella 2n. Così rimarranno le stanze col numero dispari (che sono infinite) per questi infiniti clienti!” Così il direttore riuscea guadagnare un’infinità di soldi senza perdere neanche un cliente!

10. ∞ e gli insiemi numerici Dopo esserci abituati a questi risultati apparentemente paradossali potrebbe venire automatica questa domanda: “Gli insiemi numerici (n,z,q,r,c) sono tutti equinumerosi?” Dopo tutto quello che abbiamo detto la risposta potrebbe essere “Sì”, ma andiamo ad analizzarli uno per uno.

11. ∞ e gli insiemi numerici Come possiamo ben capire, N e Z sono equipotenti: basta associare ad ogni pari ogni positivo e ad ogni dispari ogni negativo e la relazione è pronta. Quindi |N|=|Z| Prendiamo in considerazione N e Q e costruiamo una tabella così: In questo modo abbiamo costruito una tabella che contiene TUTTI i razionali più alcune ripetizioni; eliminando queste ripetizioni possiamo associare ogni razionale a ogni naturale, nonostante i razionali non siano in ordine per grandezza (è infatti impossibile mettere “in fila” i razionali). Quindi |N|=|Q|. 1 - - - 2 4 5 3 -

12. ∞ e gli insiemi numerici Abbiamo dimostrato almeno intuitivamente che |N|=|Z|=|Q|. Andiamo ora ad analizzare se anche |N| |R|. Sappiamo che ogni numero reale compreso fra 0 e 1 può essere scritto come uno 0 seguito da infinite cifre (i numeri con decimali limitati avranno una sequenza infinita di 0 da un certo punto in poi); iniziamo a stabilire una relazione fra i numeri naturali e numeri reali qualsiasi, in questo modo: 1  0,637305845… 2  0,800752185… 3  0,116375010… 4  0,003538555… … Ora costruiamo un numero reale scrivendo 0, e posizionando nella sua n-esima cifra decimale una cifra diversa dall’n-esima cifra decimale del numero reale relativo all’n-esimo numero naturale (cioè ad esempio 0,1590…). Questo numero reale differisce di almeno una cifra datutti i numeri creati nel passaggio precedente, quindi esiste almeno un numero reale “fuori” dalla relazione N [0;1]. Di conseguenza |N|< [0;1]  |N|<|R|

13. R e N: la relazione Abbiamo quindi dimostrato che |R|>|N| (dove al posto di N ci potevano essere Z o Q), ma non sappiamo quanti elementi “in più” abbia l’insieme dei numeri reali rispetto a quello dei naturali. Vogliamo trovare quindi |R|=f(|N|). Considerando che la dimostrazione originale è lunga e abbastanza complessa, cerchiamo di determinare questa f(|N|) in modo più intuitivo. Ogni numero reale r può essere scritto nella forma: r = a0·10n + a1·10n-1 + a2·10n-2 + … + an + an+1·10-1 + an+2·10-2 + … + an+k·10-k , con a0, a1, a2,…,an+k > 0. Partendo da questa convenzione, possiamo scrivere r=a0; a1; a2; a3;…; an+k, cioè come un insieme di numeri interi. Se k = ∞, otteniamo un insieme con infiniti elementi. Ora, il numero reale r=235 può essere scritto come 2;3;5, ma anche come 23;5, oppure come 2;0;35 o 235. A questo punto possiamo affermare che ogni numero reale può essere rappresentato come un insieme composto da j numeri naturali tutti diversi fra loro, al più con finite ripetizioni di 0. Ad esempio 111111=1;0;11;0;0;111, ma soprattutto =3;1;0;41;5;9;2;6… e così avanti all’infinito, con la particolarità che ogni volta possiamo mettere un numero diverso nella rappresentazione di  poiché ha decimali illimitati e non è ripetitivo; in poche parole,  può essere scritto come l’insieme di tutti gli N. Quindi, poiché ogni numero reale può essere scritto come insieme di j numeri naturali sempre diversi, R è l’insieme delle combinazioni di tutti gli N. In gergo matematico, si dice che R è l’INSIEME DELLE PARTI di N, che si scrive R=P(N).

14. R=P(N) Una volta trovato che l’insieme dei numeri reali è equipotente all’insieme delle parti dell’insieme dei naturali, dobbiamo ancora scoprire qual è la f(|N|) che calcola la cardinalità di R. Intanto l’insieme delle parti di un insieme S, cioè P(S), è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di S (compresi  e S stesso). Ad esempio se S=1;3;5, P(S)=,1, 3, 5, 1;3, 1;5), 3;5, 1;3;5. Quindi |S|=3 e |P(S)|=8 La teoria degli insiemi dice che |P(S)|=2|S|; vediamo perché. La dimostrazione si basa sul procedimento induttivo: si dimostra che è valida per n=0 e che se è valida per n-1 è valida anche per n, con n>0. «Supponiamo che l’insieme S abbia n elementi. Se n=0  S=, quindi P(S)= ; |P|=0 e |P(S)|=1 e infatti 1=20 Se è valida per n-1, allora |S|=n-1 e |P(S)|=2n-1 n-10  n1. Quindi l’insieme S per ogni altro n comprende almeno un elemento. Chiamiamo x0 uno degli elementi di S: x0 S. I sottoinsiemi che non contengono x0 sono sottoinsiemi di S/x0, che ha evidentemente n-1 elementi, e quindi |P(S/x0)|= 2n-1 per l’ipotesi del processo induttivo. Al contrario, i sottoinsiemi che contengono x0 sono del tipo X  x0, dove X è un sottoinsieme di S/x0, quindi anche questi sono 2n-1 (basti pensare che ad ogni sottoinsieme del primo tipo si aggiunge x0 e si ottiene ogni sottoinsieme del secondo tipo, che sono quindi equinumerosi. Quindi |P(S)|= 2n-1 + 2n-1= 2n  Q.E.D» |R|=|P(N)|=2|N|

15. L’ipotesi di Cantor Arrivati a questo punto, abbiamo già capito molto delle relazioni che legano gli insiemi numerici. Abbiamo visto che |N|=|Z|=|Q| e che |R|=2|N|. Cantor fu il primo a notare che, in effetti, i primi tre insiemi sembrano appartenere ad un certo “grado” di infinità, mentre R sembra avere un “grado” superiore. Quindi chiamò la cardinalità dei primi tre 0 , mentre quella di R la chiamò 1 . Quindi: |N|=|Z|=|Q|= 0  |R|= 1 = 2|N| = 20  1 = 20 L’idea di Cantor era che non esisteva nessun insieme infinito A che aveva la cardinalità compresa strettamente fra 0 e 1 . In simboli: A | 0 < |A| < 1 (IPOTESI DEL CONTINUO) Quindi: se |A| 0  |A| 1  |A|= 0  |A|= 1 Ora rimaneva da dimostrare se tale ipotesi fossevera o falsa all’interno degli assiomi basilari della teoria degli insiemi, cioè gli assiomi di Zermelo-Fraenkel comprensivi dell’assioma della scelta. Nel 1940 Kurt Gödel dimostrò che all’interno degli assiomi l’ipotesi del continuo non poteva essere falsa, mentre nel 1963 Paul Cohen dimostrò che non poteva essere vera.

16. L’ipotesi di Cantor Sembra un po’ sconcertante il fatto che un’affermazione non priva di significato sia contemporaneamente vera e falsa: in tale caso si dice che l’ipotesi è INDECIDIBILE. In poche parole, sia che l’ipotesi del continuo sia vera oppure no, la teoria degli insiemi si regge comunque in piedi. D’altra parte Gödel, con i suoi leggendari teoremi di incompletezza, ha enunciato praticamente che, dato un sistema coerente, esiste almeno una affermazione p tale che è impossibile conferire ad essa a alla sua negazione p un valore di verità. Quindi, per quanto sconcertante questa conclusione di Gödel possa sembrare, dobbiamo ammettere che logicamente l’ipotesi del continuo è indecidibile. Negli ultimi anni i teorici esperti in teoria degli insiemi sono propensi ad attribuire all’ipotesi del continuo il valore di verità falso, ma è universalmente riconosciuto che non esista né mai potrà esistere una dimostrazione che convalidi questa ipotesi. Le uniche vie percorribili sono quelle di dare all’ipotesi del continuo un valore V/F assiomatico, oppure di introdurre nuovi assiomi nella teoria degli insiemi con cui dimostrare la verità/falsità dell’ipotesi. In entrambi i casi ci troveremo prima o poi di fronte ad un nuovo enunciato indecidibile; a quel punto saremmo di nuovo a questo stesso bivio, da qui ad indeterminandum.

17. E dopo 1? È la domanda che viene spontanea: in tutta sincerità è stata la prima che mi sono posto. Abbiamo dimostrato che i reali sono di un “grado” di infinità superiore a quello dei naturali, nonostante siano entrambi collocabili su una retta, cioè in un grafico unidimensionale. Istintivamente mi sono chiesto se C, l’insieme dei numeri complessi, non avesse cardinalità = 2 , poiché i numeri complessi sono individuabili su un piano, non su una retta. Credevo che questa loro “bidimensionalità” li rendesse di più dei reali. Come prevedibile, però, ho dovuto ricredermi, poiché i numeri complessi non sono altro che coppie di numeri reali (ogni numero complesso si scrive nella forma z = a + b i, in cui a, b sono numeri reali e i rappresenta l’unità immaginaria, la ben nota radice quadrata di -1), quindi C = R  R, dove “” indica il prodotto cartesiano fra insiemi. Di conseguenza |C|=|R|= 1. Senza approfondire troppo la questione, ci sono molte entità matematiche che hanno la cardinalità = 2:l’esempio più semplice è il numero delle curve su un piano bidimensionale. In generale: n = 2n-1 e chiaramente non esisterà l’aleph più grande di tutti. Inoltre: 0  1  2  3  4 …

18. Accenni e considerazioni finali • Non reputo questo argomento facile, anzi è indubbiamente difficile da afferrare. Dire che i numeri naturali sono quanti i razionali, insomma, appare veramente paradossale, se non stupido. Eppure la matematica, se applicata seriamente, non può fallire,quindi è preferibile chiedersi perché non riusciamo a intuire se un insieme infinito sia più o meno grande di un altro. Così come i paradossi, che nascono da difetti connaturati al linguaggio umano (matematico o meno che sia) e che appaiono “contro il senso comune”, allo stesso i paradossi mettono in evidenza certe nostre inadeguatezze. Vorrei concludere con qualche accenno, che mi sembra doveroso aggiungere anche solo per una pura ragione di completezza. • L’ipotesi di Cantor prevede l’esistenza di infiniti n , con nN, ma siamo in grado di “visualizzare” soltanto 0 (i naturali), 1 (i reali) e 2 (le curve sul piano). Non sappiamo minimamente quanto valgano gli altri n , ma da un punto di vista puramente matematico importa poco, ci si accontenta di sapere che esistono. • L’unione di tutti gli n , con nN, dà il più grande , che comprende tutti gli altri e se stesso. Anche se abbiamo detto che, preso un qualunque n , esiste sempre almeno un altro k tale che k> n (è il teorema di non esistenza del massimo cardinale, chiamato anche scherzosamente il “teorema della non esistenza del papa), i matematici hanno artificiosamente chiamato questo  come  , tale che: • È stato dimostrato che, modificando opportunamente l’ipotesi del continuo, potremmo porre 20 = n , con nN. Nonostante questo, non potremmo mai (questo è decidibile in ogni caso) porre 20 =  .

19. Bibliografia/sitografia • Martin Gardner – Paradossi stimolanti e divertenti • René Guénon – I principi del calcolo infinitesimale • Bernard Bolzano – I paradossi dell’infinito • R. Courant e H. Robbins - Che cos'è la matematica? • http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number • http://www.unisa.it/uploads/1720/3.161.pdf • http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_del_continuo • http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_incompletezza_di_G%C3%B6del • http://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_della_scelta • http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi_di_Zermelo-Fraenkel • Un grandissimo ringraziamento a Simone di Marino, studente al quinto anno di matematica alla Scuola Normale Superiore, per i contributi e i chiarimenti sugli argomenti più spinosi.