Sinais e Sistemas – Capítulo 4

1. Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin Aula 17

2. Representação por Transformada de Fourier para Sinais de Tempo Discreto • Considere as senóides complexas a seguir: e • Suponha que g[n] é igual às amostras de x(t), tomadas em intervalos β, isto é, o que implica que de modo que podemos definir • Logo, a frequência de tempo discreto Ω corresponde à frequência de tempo contínuo ω, multiplica pelo intervalo de amostragem β. Aula 17

3. Relacionando a FT com a DTFT • Considere a DTFT de um sinal de tempo discreto arbitrário x[n], isto é • Procuramos por um par FT que corresponda ao par Aula 17

4. Relacionando a FT com a DTFT • Começamos por substituir Ω=βω em obtendo • Tome a FT inversa de usando a linearidade e o par FT para obter Aula 17

5. Relacionando a FT com a DTFT • Consequentemente Aula 17

6. Relacionando a FT com a DTFS • Seja x[n] um sinal periódico. Logo sua representação por DTFT é dada por em que X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n] • Substituindo Ω=βω, obtemos a representação por FT, isto é Aula 17

7. Relacionando a FT com a DTFS • Aplicando a propriedade de mudança de escala da função impulso, isto é temos então que • Como X[k] é uma função com período N, então é periódica com período Aula 17

8. Relacionando a FT com a DTFS • O sinal correspondente à última FT é facilmente obtido usando Aula 17

9. Amostragem • Vamos agora utilizar a representação por FT de sinais de tempo discreto para analisar os efeitos de amostrar uniformemente um sinal. • A amostragem gera um sinal de tempo discreto a partir de um sinal de tempo contínuo. • São muito úteis para transformar sinais de tempo contínuo em sinais manipuláveis por sistemas de comunicação, controle e processamento digital. • A amostragem também é aplicável em sinais discretos para realizar mudanças na taxa efetiva de dados (subamostragem). Aula 17

10. Amostragem • Seja x[n] um sinal de tempo discreto que é igual às amostras de x(t) em múltiplos inteiros do intervalo de amostragem β, isto é, x[n]=x(βn). • O efeito da amostragem é avaliado relacionando-se a DTFT de x[n] com a FT de x(t). • A ferramenta que utilizamos para isto é a FT de sinais de tempo discreto. • Seja a representação em tempo contínuo de um sinal de tempo discreto, isto é Aula 17

11. Amostragem • Substituindo x(βn) em x[n], temos • Desde que então, podemos representar como um produto de funções do tempo, isto é, em que Aula 17

12. Amostragem • Amostragem por impulsos Aula 17

13. Amostragem • O efeito da amostragem por impulsos é avaliado relacionando-se a FT de com a FT de x(t) onde De modo que Aula 17

14. Amostragem • Logo em que é a frequência de amostragem. Aula 17

15. Amostragem Observe que a FT do sinal amostrado é uma soma infinita de versões deslocadas da FT do sinal original, as quais são espaçadas de múltiplos inteiros de ωs. Aula 17

16. Amostragem Observe ainda que as versões deslocadas de X(jω) podem se sobrepor umas às outras se ωs não for suficientemente grande em comparação com a extensão de frequência de X(jω). Alising Aula 17

17. Amostragem O fenômeno de Alising provoca distorção do espectro do sinal de tempo contínuo, de modo que não se pode recuperar o sinal de tempo contínuo original. Alising Aula 17

18. Amostragem • A DTFT do sinal amostrado é obtida de usando-se a relação Ω=βω, isto é, • Portanto, ω=ωs corresponde a Ω=2π. Aula 17

19. Amostragem Aula 17

20. Amostragem • Exemplo: Considere o efeito de extrair amostras de Determine a FT do sinal amostrado para os seguintes intervalos de amostragem: a)β=1/4; b) β=1; c) β=3/2. Solução: Aula 17

21. Amostragem Aula 17

22. Subamostragem • Admitamos que y[n]=x[qn] seja uma versão subamostrada de x[n], onde q é um número inteiro positivo. • Nossa meta é relacionar a DTFT de y[n] com a DTFT de x[n]. • Podemos conseguir tal relação utilizando a FT para representar x[n] como uma versão amostrada de x(t).

23. Subamostragem • Logo, expressamos y[n] como uma versão amostrada de x(t), porém usando um intervalo de amostragem q vezes o do associado com x[n]. • Consequentemente, a taxa de amostragem para y[n] é • Logo,

24. Subamostragem • Daí, • Observe que expressamos e como funções de X(jω). Mas X(jω) é desconhecido, pois conhecemos x[n] e não x(t). • Vamos então tentar expressar como uma função de . • Seja , onde l é a parte inteira e m é o resto da fração.

25. Subamostragem • Como -∞≤k≤∞, então -∞≤l≤∞. • Além disso, 0≤m≤q-1. • Assim, podemos reescrever

26. Subamostragem • Agora, convertemos a representação FT em uma representação DTFT, expressando como uma função de . • O intervalo de amostragem associado com é β’. • Daí, , de modo que

27. Subamostragem • O intervalo de amostragem associado com é β. • Daí, • Portanto, podemos substituir em • Assim