cours 26

1. CRITÈRE DE CONVERGENCE cours 26

2. Au dernier cours, nous avons vu • Somme infinie • Convergence et divergence de série • Série harmonique • Série arithmétique • Série géométrique

3. Critère du terme général • Critère de l’intégrale • Série de Riemann • Critère de d’Alembert • Critère de comparaison à l’aide d’une limite • Critère du polynôme

4. Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série il faut trouver une expression pour sa somme partielle. Or, cette tâche est plutôt difficile à faire. On va donc utiliser plusieurs critères nous permettant, sous certaines conditions, de déterminer la convergence ou divergence d’une série.

5. diverge Soit une série converge Théorème: (Critère du terme général) Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge.

6. La série harmonique diverge mais converge Exemple: Donc la série diverge. Remarque: L’inverse du théorème est faux.

7. Faites les exercices suivants p.353 # 2

8. On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur et la suite des éléments sommés et avec Considérons une série

9. et avec Donc si et si converge, alors diverge, alors diverge converge

10. En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge

11. Donc converge Exemple:

12. Faites les exercices suivants p. 353 #3

13. Si Si Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série. Une série de la forme est une série de Riemann ou une série-p c’est la série harmonique et elle diverge diverge par le critère du terme général

14. si Donc la série diverge par le critère du terme général. On peut donc appliquer le critère de l’intégrale

15. Si Donc converge et l’intégrale converge, donc la série aussi Sinon, ça diverge

16. Faites les exercices suivants p. 353 # 4

17. Si ??? Si et posons converge diverge Théorème: (Critère de d’Alembert) «Preuve»:

18. somme finie donc converge Série géométrique converge si «Preuve»: Si

19. Faites les exercices suivants p. 353 # 7

20. si converge converge Soient et Théorème: (Critère de comparaison à l’aide d’une limite) alors «Preuve»:

21. donc mais c’est la série harmonique qui diverge diverge. Exemple:

22. posons Il suffit de faire un comparaison à l’aide d’une limite avec la série de Riemann un polynôme de degré un polynôme de degré Si Si converge diverge Corolaire: (Critère du polynôme) Preuve:

23. Faites les exercices suivants p.353 # 6 et 10

24. Aujourd’hui, nous avons vu • Critère du terme général • Critère de l’intégrale • Série de Riemann • Critère de d’Alembert • Critère de comparaison à l’aide d’une limite • Critère du polynôme

25. Devoir: p. 353, # 1 à 7, 10 et 11. sauf 11 c)